专题03 线段中的双（多）中点模型（几何模型讲义）数学新教材人教版七年级上册

专题03 线段中的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.线段的双中点模型 2 模型2.线段的多中点模型 5 易错点与方法总结 10 模型运用 11 A组（基础题） 11 B组（能力提升题） 14 C组（综合压轴题） 18 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ 1）线段中点定义：中点将线段分为两条相等的线段，； 2）线段和差基本推理； 3）整式代数化简（去括号、合并同类项）； 4）数轴动点、线段动点问题。 模型1.线段的双中点模型 【模型提炼与证明】 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）七（1）班的小丽同学在学习了《6.1直线、射线、线段》后，对线段中点问题进行了如下探究：已知：如图，点C在线段上，点分别是的中点． 若线段，则线段的长度为 ； 【详解】解：∵，点分别是的中点， ∴，∴； 【典例2】（25-26七年级上·浙江·期末）如图，已知点C在线段的延长线上，线段，M，N分别是的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵M，N分别是的中点，∴， ∴，故答案为：． 【典例3】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图， 直线上从左到右依次有A， B， C， D四点． M，N分别是线段，的中点， 且，， 则线段的长为 ． 【答案】10 【详解】解：∵M，N分别是线段，的中点，∴，， ∵，又， ∴，即：，∴，故答案为：10． 【典例4】（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，线段，点E，F分别是，的中点，且，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．11 D．12 【答案】A 【详解】解：设线段，，， 因为点E，F分别是，的中点，所以​，， 所以， 又因为，所以，所以，所以．故选：A． 【典例5】（24-25七年级上·福建厦门·期末）已知数轴上三点表示的数分别为，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为的中点，点始终为的中点，点在从点运动到点的过程中，则线段的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解；设运动时间为t，点P的运动速度为v，则点P表示的数为， ∵点始终为的中点，点始终为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴，故选：A． 【典例6】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】解：∵是折线的“折中点”，∴点将折线分成的两部分长度相等，均为． 分两种情况讨论：①当点在线段上时，如图：此时从到的距离为，则， ∵，∴， ∴，∴； ②当点在线段上时，如图，此时从到的距离为，则， ∵，∴， ∴，∴．综上所述，的值为2． 【典例7】（25-26七年级上·安徽宿州·期末）已知C，D是线段上的任意两点，M，N分别是，的中点．若，，则______（用含a，b的代数式表示）． 【答案】或 【详解】解：如图1，当点在左侧，点在右侧时， ∵M，N分别是，的中点∴，， 又∵，，∴，∴； 如图2，当点在右侧，点在左侧时， ∵M，N分别是，的中点∴，， 又∵，，∴， ∴； 综上，或，故答案为：或． 模型2.线段的多中点模型 【模型提炼与证明】 线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上湖北·阶段练习）点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，若，则 ． 【答案】3 【详解】解：①若点D为靠近点A的三等分点，如图1所示 ∵，点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点， ∴AM=，AD=；∴DM=AM－AD=3； ②若点D为靠近点B的三等分点，如图2所示 ∵，点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点， ∴BM=，BD=；∴DM=BM－BD=3； 综上：DM=3 故答案为：3． 【典例2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点是线段的中点，，，下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：点是线段的中点，， ，， ，，，，若，则，故A正确； ，，若，则，故B正确； ，，，若，则，故C错误； ，，， 若，则，故D正确，故选：C． 【典例3】（25-26浙江·七年级校考期末）线段，点C是线段的三等分点，点M是线段的中点，则线段的长是_____． 【答案】8或10 【详解】解：如图，当AC=AB=4cm时，BC=8cm， ∵点M是线段BC的中点，∴CM=×8=4（cm），∴AM=4+4=8（cm）， 如图，当AC=AB=8cm时，BC=4cm， ∵点M是线段BC的中点，∴CM=×4=2（cm），∴AM=8+2=10（cm）， 综上所述，AM的长为8cm或10cm．故答案为：8或10． 【典例4】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 【答案】 【详解】解：是和的中点，， 是和的中点，， 是和的中点，，， 发现规律：，当时，，故答案为：． 【典例5】（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2)(3) 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为，所以． 两式相加，得．所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 【典例6】（25-26·辽宁·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 【答案】(1)6(2)①；②；③ 【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4， ∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC=4，CN=BC=2，∴MN=CM+CN=6；故答案为：6； （2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=AC+BC=AB， ∵AB=a，∴MN=a；故答案为：a； ②∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a； ③∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a，∴MN=a，故答案为：a． 模型常见易错点 1）分不清拼接型、内含型，乱用和差公式 解决：两段拼一起用和一半；一段包含一段用差一半，先看图结构，再套公式。 2）只算数、不会字母推理，题目无具体数值就不会做 解决：双中点模型核心是恒等式，不靠数值，靠倍半关系化简。 3）多层中点数错次数、指数写错 解决：第n次对半，分母一定是2n，不要写成2n。 4）点的位置不确定，忘记分类讨论 解决：题干未说明点在内部/外部，需分：点在线段上、点在线段延长线上两种情况。 解题方法总结 看图定结构：两段拼接 → 和一半；两段内含 → 差一半；多次中点 → 2n分母规律。 线段和差代换、合并化简；直接得出最终固定结论。 终极口诀： 双中点，看排布； 相接取半和，内含取半差； 多点层层半，二幂定长短。 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）课本中有这样一道题：如图，已知是线段的中点，是线段的中点，请完成下列填空．甲，乙，丙，丁四位同学分别填写了答案，四个同学说法正确的个数为（   ） 甲：    乙：    丙：    丁： A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵是线段的中点，是线段的中点， ∴，，故乙正确； ∵，∴，故甲正确； ∵，且，∴，故丙正确； ∵，∴，故丁正确；综上所述，正确的个数有4个，故选：D． 2.（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，是线段的中点，是线段的中点，若，则线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是线段的中点，，， 是线段的中点，，，故选：C． 3.（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则 ．（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【详解】解：由，得， ，， E、F分别是的中点，，， ， 解得：，，故选：C． 4．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．  以上说法正确的是 ． 【答案】②③④ 【详解】解：运动后，，∴， ∵为的中点， ∴，∴，故①错误； 设运动，则，， ∵为的中点，为的中点，∴，， ∴∴的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ∵，， ∴，∴的值不变，故③正确； ∵，， 当时，则， 解得，故④正确； 综上，说法正确的是②③④，故答案为：②③④． 5.（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点。(1)如果，求的长(2)如果，求的长 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点，∴ ∵；∴；∵；∴ ∵点N是线段的中点；∴ （2）∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，∴ ∵，∴ 6．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 【答案】(1)41(2)49 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，， ∵，∴，∴，∵，∴； （2）∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴．∵，∴． 7．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图，点是线段上一点，点是的中点，． (1)若，求的长；(2)若，点是的中点，求的长． 【答案】(1)15(2)7 【详解】（1）解：∵，点是的中点， ∴，，∴； （2）解：∵，，∴． ∵点是的中点，∴，∴． ∵点是BD的中点，∴，∴． 1．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段，，点M是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：如图，当点在点左侧时，可有， ∵点是线段的中点，∴； 如图，当点在点右侧时，可有， ∵点是线段的中点，∴； 综上：的长为或；故选：C． 2．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【详解】解：∵，，N是线段的中点，∴，， ①若，如图1所示： ∵，∴，∵，∴∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，，∴； ②若，如图：∴， ∵，∴，∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴；故答案为：40或80． 3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知线段，延长至点，使，点、均在线段的延长线上，且，是线段的中点，当点是线段的中点时，的长为 ．（用含有的式子表示） 【答案】 【详解】∵，，∴． ∵，是线段的中点，∴． ∵点是线段的中点，∴． ∵，∴．∴．故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，有公共端点的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】12或28 【详解】解：如图1，点为线段的中点，，，， 点是折线的“折中点”，，，即，解得：； 如图，点为线段的中点，，， 点是折线的“折中点”，，，即， 解得：；故答案为：12或28． 5．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知：点，分别是线段，的中点． (1)如图，点在线段上，且，，求线段的长； (2)若点为线段上任一点，且，，用含有，的代数式表示线段的长度； (3)若点为线段的延长线上，且，，请你画出图形，并求出线段的长度． 【答案】(1)(2) (3)如图当点在线段的延长线时； 【详解】（1）解：，点是的中点，， ，点是的中点，，； （2）解：点，分别是线段，的中点， ，， （3）解：当点在线段的延长线时，如图： 点，分别是线段，的中点， ，，． 6．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）七（1）班的小丽同学在学习了《6.1直线、射线、线段》后，对线段中点问题进行了如下探究：已知：如图，点C在线段上，点分别是的中点． (1)若线段，求线段的长度； (2)在第（1）题的条件下，小丽同学将题目中的“点C在线段上”改为“点C在线段的延长线上”，请你帮助小丽同学画出图形，求出线段的长度； (3)小丽同学发现，若，则第（1）题中的________；第（2）题中的________（用含a的式子表示），线段和线段的数量关系是________． 【详解】（1）解：∵，点分别是的中点， ∴，∴； （2）∵，点分别是的中点， ∴，∴； 由题意，画图如下： （3）∵点C在线段上，点分别是的中点，∴， ∴； 当点C在线段的延长线上时，点分别是的中点， ∴，∴； 综上线段和线段的数量关系是：，故答案为：，，． 1．（24-25·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点，∴，……由此可得：， ∴， 故选C． 2．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，两根木条的长度分别为和，在它们的中点处各打一个小孔M，N（木条的厚度，宽度以及小孔大小均忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离 ．    【答案】2.5或11.5 【详解】如图，设短的木条为，长的木条为，则：，，    ①当B、C两点重合时，此时；    ②当A、C两点重合时，此时；    综上所述，的长度为或，故答案为：2.5或11.5． 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 【答案】 【详解】∵，∴，∴， ∵，∴，∵M为的中点，∴，∴，∴， ∵N为的中点，∴,∴， ∴，故答案为：． 4．（24-25·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)3(2)①；②；③ 【详解】（1）解：，，， ，分别是，的中点，，， ；故答案为：； （2）解：①，分别是，的中点， ，，， ，；故答案为：； ②，，，，， ，； ③，，，， ， ，，故答案为：． 5．（25-26七年级上·广东·期末）已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足． (1)　　，　　． (2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； ②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②是，为定值 【详解】（1）解：，且， ，且，解得，故答案为：； （2）解：①如图所示： 是线段的中点，是线段的中点， ，， ，； ②是定值；理由如下：点与点重合时，如图所示：由①知，， 点是线段的中点，，，， 将线段放在数轴上，使点与原点重合，设运动时间为，如图所示：令点表示的数为， 点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，线段以个单位长度/秒的速度向左运动， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点与点相遇秒后与点相遇， 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则，解得； 当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则，解得； ，解得， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为， 在整个运动过程中，，， 则，即在整个运动过程中，为定值． 6．（25-26七年级上·天津·期末）（1）如图1，点B，D在线段上． ①填空： __________． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 【答案】（1）①，；②；（2）①；②1或4 【详解】解：（1）①，故答案为：，． ②设，，， 是线段中点，，，，． （2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为， ∴时间为（秒），∴，故答案为：； ②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点， 当为中点，，即，解得； 当为中点，，即，解得，； 当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 为中点，，即，解得．综上，的值为1或4． 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知：直线上两点、，，是线段上一点，，，且满足． (1)直接写出：______，______；(2)是直线上点右侧一点，是直线上点右侧一点，满足，用含的整式表示线段的长；(3)在（2）的条件下，F是直线m上点B左侧一点，，是中点，N是中点，当时，求t的值． 【答案】(1)(2)(3)4或17 【详解】（1）解：∵，．，∴．，∴． （2）解：∵，∴，如图：当点D在点O的左侧时，点E在点B的左侧， ∵，，∴，∴； 如图：当点D在点O的右侧时，点E在点B的右侧， ∵，，∴， ∴；综上，线段的长． ． （3）解：∵，，∴， 如图：当点D在点O的左侧时，点E在点B的左侧，∴ ∵是中点，N是中点，， ∴，∴， ∵，∴，解得：； 如图：当点D在点O的右侧时，点E在点B的右侧， ，∴， ∵是中点，N是中点，， ∴， ∴， ∵，∴，解得：． 综上，t的值为4或17． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 线段中的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.线段的双中点模型 2 模型2.线段的多中点模型 5 易错点与方法总结 10 模型运用 11 A组（基础题） 11 B组（能力提升题） 14 C组（综合压轴题） 18 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ 1）线段中点定义：中点将线段分为两条相等的线段，； 2）线段和差基本推理； 3）整式代数化简（去括号、合并同类项）； 4）数轴动点、线段动点问题。 模型1.线段的双中点模型 【模型提炼与证明】 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）七（1）班的小丽同学在学习了《6.1直线、射线、线段》后，对线段中点问题进行了如下探究：已知：如图，点C在线段上，点分别是的中点． 若线段，则线段的长度为 ； 【典例2】（25-26七年级上·浙江·期末）如图，已知点C在线段的延长线上，线段，M，N分别是的中点，则线段的长为 ． 【典例3】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图， 直线上从左到右依次有A， B， C， D四点． M，N分别是线段，的中点， 且，， 则线段的长为 ． 【典例4】（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，线段，点E，F分别是，的中点，且，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．11 D．12 【典例5】（24-25七年级上·福建厦门·期末）已知数轴上三点表示的数分别为，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为的中点，点始终为的中点，点在从点运动到点的过程中，则线段的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【典例6】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【典例7】（25-26七年级上·安徽宿州·期末）已知C，D是线段上的任意两点，M，N分别是，的中点．若，，则______（用含a，b的代数式表示）． 模型2.线段的多中点模型 【模型提炼与证明】 线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上湖北·阶段练习）点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，若，则 ． 【典例2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点是线段的中点，，，下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例3】（25-26浙江·七年级校考期末）线段，点C是线段的三等分点，点M是线段的中点，则线段的长是_____． 【典例4】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 【典例5】（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【典例6】（25-26·辽宁·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 模型常见易错点 1）分不清拼接型、内含型，乱用和差公式 解决：两段拼一起用和一半；一段包含一段用差一半，先看图结构，再套公式。 2）只算数、不会字母推理，题目无具体数值就不会做 解决：双中点模型核心是恒等式，不靠数值，靠倍半关系化简。 3）多层中点数错次数、指数写错 解决：第n次对半，分母一定是2n，不要写成2n。 4）点的位置不确定，忘记分类讨论 解决：题干未说明点在内部/外部，需分：点在线段上、点在线段延长线上两种情况。 解题方法总结 看图定结构：两段拼接 → 和一半；两段内含 → 差一半；多次中点 → 2n分母规律。 线段和差代换、合并化简；直接得出最终固定结论。 终极口诀： 双中点，看排布； 相接取半和，内含取半差； 多点层层半，二幂定长短。 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）课本中有这样一道题：如图，已知是线段的中点，是线段的中点，请完成下列填空．甲，乙，丙，丁四位同学分别填写了答案，四个同学说法正确的个数为（   ） 甲：    乙：    丙：    丁： A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，是线段的中点，是线段的中点，若，则线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 3.（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则 ．（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 4．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．  以上说法正确的是 ． 5.（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点。(1)如果，求的长(2)如果，求的长 6．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 7．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图，点是线段上一点，点是的中点，． (1)若，求的长；(2)若，点是的中点，求的长． 1．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段，，点M是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知线段，延长至点，使，点、均在线段的延长线上，且，是线段的中点，当点是线段的中点时，的长为 ．（用含有的式子表示） 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，有公共端点的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为 ． 5．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知：点，分别是线段，的中点． (1)如图，点在线段上，且，，求线段的长； (2)若点为线段上任一点，且，，用含有，的代数式表示线段的长度； (3)若点为线段的延长线上，且，，请你画出图形，并求出线段的长度． 6．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）七（1）班的小丽同学在学习了《6.1直线、射线、线段》后，对线段中点问题进行了如下探究：已知：如图，点C在线段上，点分别是的中点． (1)若线段，求线段的长度； (2)在第（1）题的条件下，小丽同学将题目中的“点C在线段上”改为“点C在线段的延长线上”，请你帮助小丽同学画出图形，求出线段的长度； (3)小丽同学发现，若，则第（1）题中的________；第（2）题中的________（用含a的式子表示），线段和线段的数量关系是________． 1．（24-25·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，两根木条的长度分别为和，在它们的中点处各打一个小孔M，N（木条的厚度，宽度以及小孔大小均忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离 ．    3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 4．（24-25·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 5．（25-26七年级上·广东·期末）已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足． (1)　　，　　． (2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长； ②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 6．（25-26七年级上·天津·期末）（1）如图1，点B，D在线段上． ①填空： __________． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知：直线上两点、，，是线段上一点，，，且满足． (1)直接写出：______，______；(2)是直线上点右侧一点，是直线上点右侧一点，满足，用含的整式表示线段的长；(3)在（2）的条件下，F是直线m上点B左侧一点，，是中点，N是中点，当时，求t的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $