专题06 线段中的五类动态模型（几何模型讲义）数学人教版2024七年级上册

专题06.线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级上·山东·专题练习）如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题：(1)当时，______；当时，______． (2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长；②若，求线段的长． 例2（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，射线上有三点A、B、C，满足，，，点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． (1)若点Q运动速度为，经过多长时间P、Q两点相遇？ (2)当P在线段上且时，点Q运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点Q的运动速度； (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，求的值． 例3（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（24-25七年级·重庆·培优）如图，点是线段上一点，且两点分别从点同时出发以的速度沿直线向右运动，后，点恰好分别为的中点． (1)求的长度；(2)求证：；(3)若运动后，两点到点的距离相等，求的值． 例2（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，为的中点，为的中点． (1)点出发_____秒后，．(2)在点的运动过程中，有如下两个结论：①的长度不变；②的长度不变．请选择一个正确的结论，并求出其值． 例3（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知线段，线段在直线上运动（A在B左侧，C在D左侧），若(1)求线段的长．(2)若点M，N分别为线段的中点，且，求线段的长；(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，则是一个定值，请加以说明． 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知：如图，点是线段上一定点，cm，、两点分别从A、出发以、的速度沿直线向右运动（在线段上，在线段上）． (1)当点、运动了，求的长度；(2)若点、运动时，总有，则______ ； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且满足，与的数量关系为________． 例2（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________；(2)当时，求t的值； (3)若点C为的中点，点D为的中点，当点M、N在线段上运动，且点M在点N的左侧时，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 例3（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒．①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，直线上有两点，点是线段上的一点，． (1)若，则___________，___________． (2)在（1）的条件下，若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，、两点停止运动．当为何值时，． (3)为直线上一点，且满足，直接写出的值___________． 例2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ．(2)点D在线段上，．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q为的中点，设运动时间为t秒，①当t为何值时，？②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当时， ． 例3（24-25七年级上·湖北·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长；(2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒．①当为何值时，点与点重合？②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 例2（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”． 【新知理解】（1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值． 例3（24-25·七年级上·江苏无锡·期末）【定义】：若点P在线段上，当时，我们称m为点P在线段上的“分值”，记作． 【理解】：如点P是的中点时，即当，则；反过来，当时，则．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【应用】：(1)如图1，点P在线段上．若，则＝ ；若，则 ． (2)如图2，已知线段，点P，Q分别从点A、B同时出发，相向运动，点P到达点B时，P，Q都停止运动，设运动时间为． ① 若点P，Q的运动速度均为，试用含t的代数式表示和，并说明：； ② 若点P和点Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回B，当t为何值时，． 1．（24-25七年级上·广东·专题练习）如图所示，线段上的点C和点D将线段均分为等长的三部分．点P从点A出发，以每秒3个单位的速度去往点B，到达点B后立即回头向点A运动，以此往复．已知，下列时间中，使得点P在线段上的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A、B、C、D为直线l上从左到右的四个点，且，动点P、Q在直线l上，点P从点A出发向右运动，同时点Q从点D出发向左运动，点P的速度是点Q的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 4．（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知直线l上线段，线段（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若线段的端点C从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段的中点，则线段运动 秒时，． 5．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，若，线段在线段上移动， (1)如图1，当E为中点时，求的长；(2)当点C是线段的三等分点时，求的长． 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，已知直线l有两条可以左右移动的线段：，，且m，n满足 (1)求线段，的长；(2)线段的中点为M，线段中点为N，线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，，求移动前线段的长； (3)将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，M、N分别为、中点，，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 7．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点C在线段上，，． (1) ； ．(2)若点D、E在过线上，点D在点E的左侧，线段DE在线段上移动，． ①如图1，当E为中点时，求的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段上，，，画出图形，求的长； 8．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题：(1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 9．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点 　　这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”） (2)若 ，点C是线段A的巧点，则　　；(3)如图2，已知，动点P从点A出发，以 的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并说明理由． 10．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧． (1)若，，线段在线段上移动．①如图1，当为中点时，求的长； ②若点（异于、、）在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，则______． 11．（24-25七年级上·天津和平·期末）已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）． (1)若 满足 ①当 点与 点重合时， ；②、分别是 、的中点，当 时，求 的长；(2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，点以每秒的速度从点沿向点运动，经过1秒后点以每秒的速度从点沿向点运动，当点到达点时，、同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当时，求线段的长度；(2)当为何值时，线段的长为？ (3)当为何值时，使得点恰好是、、中两点为端点的线段的中点？ 13．（24-25七年级上·天津和平·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M，B出发以的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值；(2)若点C、D运动时，总有，求的值；(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，直接写出的值． 14．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长；(2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 15．（24-25·江苏南通·七年级月考）如图，数轴上点A，C对应的实数分别为和4，线段，，，若线段以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1cm/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时？(2)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间？ (3)P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式．若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 16．（24-25·四川·成都实外七年级开学考试）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP． （1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　 　； （2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由； （3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），线段AP、CQ、PQ有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 17．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】（3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    18．（24-25··江苏徐州·七年级校考期末）点是线段上一点，若（为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称是的最强点；，则是的最强点． (1)点在线段上，若，，点是的最强点，则______． (2)若，是的最强点，则______．（用的代数式表示） (3)一直线上有两点，，，点从点出发，以每秒的速度向运动，运动到点时停止．点从点出发，以每秒的速度沿射线运动，为多少时，点，，恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用的代数式表示） 19．（24-25·浙江·七年级专题练习）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 20.（24-25·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．(1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06.线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或1 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，． （2）解：设运动时间为t，则，，，， 又，，即， ，，； （3）解：当点N在线段上时，如图 ，又，，，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ，又，，即． 综上所述的值为或． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 【答案】(1)   (2)①　②　③ 【详解】（1）解：因为，所以． 因为，所以．所以．故答案为：    （2）①设，则，． 根据题意，得 解得 ．．所以． ②根据题意，得，．，． 根据题意，得解得 ③设．当点在点的左侧时：，，， ，可得解得；所以． 当点在点的右侧时：，，． ．可得 解得 所以．综上所述，或．故答案为：或 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级上·山东·专题练习）如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题：(1)当时，______；当时，______． (2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长；②若，求线段的长． 【答案】(1)，(2)①，②线段的长为或 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ，故答案为：， （2））①由题意，得，， 当点，相遇时，，，则，所以， 因为，所以，所以； ②由①可得，， 因为，所以， 当点C在点D左侧时，， 当点C在点D右侧时，，故线段的长为或． 例2（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，射线上有三点A、B、C，满足，，，点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． (1)若点Q运动速度为，经过多长时间P、Q两点相遇？ (2)当P在线段上且时，点Q运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点Q的运动速度； (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，求的值． 【答案】(1)(2)或(3)2 【详解】（1），，， 设经过时两点相遇，根据题意，得，解得，所以经过后两点相遇； （2），，，，点P，Q的运动时间为 ，，或40 Q的运动速度为或 （3）设运动时间为ts，，， ， ∵、分别是、的中点，，； ． 例3（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)(2)当或时，点与点之间的距离为个单位长度(3) 【详解】（1）解：∵点在线段上，，， ∴，依题意，， 当点与点相遇时，解得：； （2）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，，解得：， 相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则，解得：， 综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度； （3）∵，当在线段上时，，此时， ∵，∴，解得：（舍去） 当在线段上时，，此时， ∵，∴，解得：，∴ 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（24-25七年级·重庆·培优）如图，点是线段上一点，且两点分别从点同时出发以的速度沿直线向右运动，后，点恰好分别为的中点． (1)求的长度；(2)求证：；(3)若运动后，两点到点的距离相等，求的值． 【答案】(1)(2)见解析(3)或15 【详解】（1）解：由题意得，后，， 点恰好分别为的中点，． （2）证明：∵∴，∴， 当点在线段上时，，； 当点在线段的延长线上时，，．综上，． （3）解：当点是线段的中点时，两点到点的距离相等，∴，解得； 当点重合时，点在线段的延长线上， ，解得．综上，或15． 例2（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，为的中点，为的中点． (1)点出发_____秒后，．(2)在点的运动过程中，有如下两个结论：①的长度不变；②的长度不变．请选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)7(2)选①的长度不变，；选②的长度不变， 【详解】（1）解：设出发x秒后，，，， 由题意得，，解得：；故答案为：7； （2）解：选①，的长度不变． 点为线段的中点，点为线段的中点，，， 或选②，的长度不变． 点为线段的中点， ． 例3（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知线段，线段在直线上运动（A在B左侧，C在D左侧），若(1)求线段的长．(2)若点M，N分别为线段的中点，且，求线段的长；(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，则是一个定值，请加以说明． 【答案】(1)(2)(3)见解析． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴，∴ （2）解：分两种情况讨论：①当点C在点B右侧时，如图所示： ∵点M，N分别为线段的中点， ∴，． ∴； ②当点C在点B左侧时，如图所示： ∵点M，N分别为线段的中点，∴，， ∴；综上所述，； （3）解：定值为2，说明如下： 点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，如图所示： ∴，∵，∴， ∴． 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知：如图，点是线段上一定点，cm，、两点分别从A、出发以、的速度沿直线向右运动（在线段上，在线段上）． (1)当点、运动了，求的长度；(2)若点、运动时，总有，则______ ； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且满足，与的数量关系为________． 【答案】(1)(2)6(3)或 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ∵，∴；故的长度为； （2）解：根据C、D的运动速度知：， ∵，∴，即， ∵，∴，∴；故答案为：6； （3）解：①当点N在线段上时，如图1， ∵，，∴， ∴，∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2， ∵，，∴． 综上：或．故答案为：或． 例2（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________；(2)当时，求t的值； (3)若点C为的中点，点D为的中点，当点M、N在线段上运动，且点M在点N的左侧时，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，4(2)t的值为3或5(3)，理由见详解 【详解】（1）解：当时，点M表示的数是，点N表示的数是． 故答案为：，4； （2）解：由题意得，点M表示的数为，点N表示的数为， 当点M在点N左侧时，，解得； 当点M在点N右侧时，，解得．所以当时，求t的值为3或5； （3）解：．证明：如图，当点M在点N的左侧时，，， 所以，所以， 因为点C为的中点，点D为的中点，所以，， 所以，所以， 所以，所以． 例3（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒．①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，(2)①或；② 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点，∴，∴， ∵点在线段上且，∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时，∵，∴， ∵，∴，解得； 当P、Q相遇后，∵，∴，解得；故或；       ②，理由：∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵，∴， ∵，∴，∴．    模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，直线上有两点，点是线段上的一点，． (1)若，则___________，___________． (2)在（1）的条件下，若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，、两点停止运动．当为何值时，． (3)为直线上一点，且满足，直接写出的值___________． 【答案】(1)12；6(2)或12(3)或或1 【详解】（1）解：∵，且，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：12，6． （2）解：∵动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，得，，此时；， 当点与点重合时，，此时，解得， ∵，∴，∴或，解得或， 都符合题意，故当为或时，． （3）解：当点Q在上时，，， ∵，∴， ∴或， 解得或， 此时或； 当点Q在上时，，， ∵，∴， ∴或，解得（舍去）或，此时； 当点Q在点左侧时，，， ∵，∴，解得或（舍去），此时； 当点Q在点右侧时，，， ∵，∴，解得或（舍去）， 此时．综上所述，的值为或或1．故答案为：或或1． 例2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ．(2)点D在线段上，．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q为的中点，设运动时间为t秒，①当t为何值时，？②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当时， ． 【答案】(1)10或30 (2)①t为1或5；②2或4 【详解】（1）解：点C在线段上，∵，，∴； 点C在线段的延长线上，∵，， ∴∴．综上分析可知：或30． （2）解：①点Q在点D的左侧，依题意有，解得； 点Q在点D的右侧，依题意有，解得． 综上分析可知：当t为1或5时，； ②根据题意可知：∵点D在线段上，，∴，点P，R相遇时， ，解得， 点P，R相遇前，即当时，，，， 点P，R相遇后，即当时，，， ， 综上可得； 当时，，； 点P到达点B时，，解得， 当点P到达点B前，即当时，， 当点P到达点B后，即当时，， 综上可得； 点P，R相遇前，即当时，，， 点P，R相遇后，即当时，，， 综上可得； 当时，分三种情况： 当点P，R相遇前，即当时，依题意有，解得； 当点P，R相遇后，且点P到达点B前，即当时， 依题意有，解得（舍去）； 当点P，R相遇后，且点P到达点B后，即当时， 依题意有，解得． 综上分析可知：或4．故答案为：2或4． 例3（24-25七年级上·湖北·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长；(2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒．①当为何值时，点与点重合？②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 【答案】(1)，(2)①4或；②2或10 【详解】（1）解：∵，，∴，∴， ∵点D为线段的中点，∴， ∴，∴综上所述，，； （2）解：①点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒， 依题意得，当时，，则， ∵点与点重合，∴，即，解得：； 当时，，，则， ∵点与点重合，∴，即，解得：； ∴当为4或时，点与点重合； ②当时，，， ∵点，分别为线段，的中点，∴，， ∵，∴，即，解得：或（舍去），∴； 当，，，∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵，∴，即，解得：（舍去）或，∴； ∴综上所述，时，的值为2或10． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【详解】解：（1），根据题意得，，∴表示的数是； （2）①点C在线段上时，如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N，∴， 又，∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点，∴，∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下：①如图所示，当时，根据题意得，，解得； ②如图所示，当时，根据题意得，解得； ③如图所示，当时，根据题意得，解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得，解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 例2（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”． 【新知理解】（1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）或或 【详解】解：（1）设点为线段的中点，∴， ∵点在线段上，∴中点是线段的“奇点”，故答案为：是； （2）设点在数轴上表示的数为， ∵点和点在数轴上表示的数分别是和，∴，， ∵点是线段的“奇点”，∴点在线段上，且或或， 当时，得：，解得：； 当时，得：，解得：； 当时，得：，解得：； 综上所述，点在数轴上表示的数为或或； （3）秒后，，，， ∵点是线段的“奇点”，∴或或， 当时，得：，解得：； 当时，得：，解得：； 当时，得：，解得：； ∴当为或或时，点是线段的“奇点”． 例3（24-25·七年级上·江苏无锡·期末）【定义】：若点P在线段上，当时，我们称m为点P在线段上的“分值”，记作． 【理解】：如点P是的中点时，即当，则；反过来，当时，则．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【应用】：(1)如图1，点P在线段上．若，则＝ ；若，则 ． (2)如图2，已知线段，点P，Q分别从点A、B同时出发，相向运动，点P到达点B时，P，Q都停止运动，设运动时间为． ① 若点P，Q的运动速度均为，试用含t的代数式表示和，并说明：； ② 若点P和点Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回B，当t为何值时，． 【答案】(1)，(2)①和，见解析，②2或 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴；故答案为：，； （2）①∵点P，Q的运动速度均为，∴，， ∵，∴，，； ②∵点P到达点B时，P，Q都停止运动，∴点Q到达点A前，且点P未到达点B用时；点P到达点B时，且点Q从点A未到达点B前用时，用时， 当时，，，则，解得； 当时，，，则，解得； 综上所述，或时，． 1．（24-25七年级上·广东·专题练习）如图所示，线段上的点C和点D将线段均分为等长的三部分．点P从点A出发，以每秒3个单位的速度去往点B，到达点B后立即回头向点A运动，以此往复．已知，下列时间中，使得点P在线段上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵线段上的点C和点D将线段均分为等长的三部分，， ∴，设点P运动的路程为， 当时，，，点P在线段上， 当时，，，点P在线段上， 当时，，，点P在线段上， 当时，，，点P与点重合，不在线段上， 综上，C选项符合题意；故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A、B、C、D为直线l上从左到右的四个点，且，动点P、Q在直线l上，点P从点A出发向右运动，同时点Q从点D出发向左运动，点P的速度是点Q的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵∴设 ∵点P的速度是点Q的速度的2倍∴设 ∴ ；∴若要知道的长，则只要知道的长，故选：C． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 【答案】或 【详解】解：、两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动，， ①当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点，， ，，， ②当点靠近点的的三等分点，如图所示： ，为中点，， ，，， 综上，的长为或，故答案为：或． 4．（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知直线l上线段，线段（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若线段的端点C从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段的中点，则线段运动 秒时，． 【答案】2或18/18或2 【详解】解：设点A表示的数为0，则点B表示的数为6，当运动时间为t秒时，点C表示的数为，点D表示的数为，点M表示的数为， ∵点N是线段的中点，∴点N表示的数为， ∴．根据题意得：， 即或，解得：或， ∴线段运动2或18秒时，．故答案为：2或18． 5．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，若，线段在线段上移动， (1)如图1，当E为中点时，求的长；(2)当点C是线段的三等分点时，求的长． 【答案】(1)13(2)16或12 【详解】（1）解：，，，， 为中点，，，，； （2）解：点是线段的三等分点，， 当点靠近点时，，，； 当点靠近点时，，． 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，已知直线l有两条可以左右移动的线段：，，且m，n满足 (1)求线段，的长；(2)线段的中点为M，线段中点为N，线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，，求移动前线段的长； (3)将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，M、N分别为、中点，，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)，(2)或(3)，为定值． 【详解】（1）解：∵，∴，， ∴，，∴，； （2）若6秒后，在点左边时，，，， 由，即，解得， 若6秒后，在点右边时，， 则，即，解得，综上所述，或 （3）运动t秒后 ，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，为定值． 7．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点C在线段上，，． (1) ； ．(2)若点D、E在过线上，点D在点E的左侧，线段DE在线段上移动，． ①如图1，当E为中点时，求的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段上，，，画出图形，求的长； 【答案】(1)12，6(2)①7；②的长为3或5． 【详解】（1）∵，，，； （2）如图1， 为中点，， ，，； ②Ⅰ、当点在点的左侧，如图2， ，，点是的中点，， ，； ，故图2（b）这种情况求不出； Ⅱ、如图3，当点在点的右侧， ，，，，． ，故图3（b）这种情况求不出；综上所述：的长为3或5． 8．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知点A，点B是直线上的两点，且，点 P和点 Q是直线上的两个动点，点P的速度为，点Q的速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发在直线上运动，运动时间为t(s)． 请回答下列问题：(1)若点P向右运动，点Q向左运动，求t为何值时P、Q两点相遇？ (2)若点P、Q均向右运动，求 t为何值时 P、Q两点相遇？ (3)若点P、Q均向右运动，当P、Q两点之间距离为2时，求出 t的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：根据题意得，，解得，，∴时，P、Q两点相遇； （2）解：根据题意得，，解得，，∴时，P、Q两点相遇； （3）解：根据题意得，，解得，或 ∴或时，P、Q两点之间距离为2时． 9．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点 　　这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”） (2)若 ，点C是线段A的巧点，则　　；(3)如图2，已知，动点P从点A出发，以 的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并说明理由． 【答案】(1)是(2)或或(3)t为或3或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点，理由见解析． 【详解】（1）解：如图，当C是线段的中点，则， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”．故答案为：是； （2）解：∵线段，点C是线段AB的“巧点”， ∴①当时，此时； ②当时，此时； ③当时，此时； 综上，AC的长为或或，故答案为：或或． （3）解：t秒后，， ①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除； ②当P为A、Q的巧点时， i）当，即时，∴，解得：； ii）当，即时，∴，解得：； iii）当，即时，∴(12﹣t)，解得：； ③当Q为A、P的巧点时， i）当，即时，∴，解得：（舍去）； ii）当，即时，∴，解得：； iii）当，即时，∴，解得：； 综上，t为或3或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点． 10．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧． (1)若，，线段在线段上移动．①如图1，当为中点时，求的长； ②若点（异于、、）在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，则______． 【答案】(1)；或(2)或 【详解】（1）解：，，，， 为中点，， ，，； 分两种情况：i）当点在点的右侧时，如图， ，，， ，； 当点在点的左侧时，设，则，， ∴，， ∵，∴，解得：（舍去） ）当点在点的左侧时，如图， ，，， ，； 当点在点的右侧时，设，则，， ∴，， ∵，∴，解得：，此时，（不合题意舍去） 综上所述，的长为或； （2）解：按照线段在直线上从左向右移动，分种情况讨论： 当点在点的左侧时，如图， 设，则，， ，， 设，，， ，，，， ，； 当点在点的左侧、点在点的右侧时，此种情况无解； 当点在点的右侧、点在点的左侧时，如图， 设，则，， ，，设， ，， ，，，， ，，，故不合题意，舍去； 当点在、之间时，如图， 设，则，， ，，设， ， ， ，，，， ，； 当点在点的左侧、点在点的右侧时，此种情况无解； 当点在、之间时，此种情况无解； 当点在点的右侧时，此种情况无解； 综上所述，或，故答案为：或． 11．（24-25七年级上·天津和平·期末）已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）． (1)若 满足 ①当 点与 点重合时， ；②、分别是 、的中点，当 时，求 的长；(2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 【答案】(1)①；②；(2)8或4 【详解】（1）解：，，， ①当D点与B点重合时，； ②如下图1，分别为线段的中点， ， ； 如上图2，分别为线段的中点， ， ； （2）如下图， 由题意得：， ； 如下图，， ． 12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，点以每秒的速度从点沿向点运动，经过1秒后点以每秒的速度从点沿向点运动，当点到达点时，、同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当时，求线段的长度；(2)当为何值时，线段的长为？ (3)当为何值时，使得点恰好是、、中两点为端点的线段的中点？ 【答案】(1)(2)当为6或时，线段的长； (3)当为6，或时，使得点恰好是、、中两点为端点的线段的中点． 【详解】（1）解：当时，，， ∴． （2）由题意，，， 当点在点左侧时，，解得； 当点在点右侧时，，解得． 综上所述，当为6或时，线段的长． （3）当点为的中点时，，解得； 当点为的中点时，，解得； 当点为的中点时，，解得． 综上所述，当为6，或时，使得点恰好是、、中两点为端点的线段的中点． 13．（24-25七年级上·天津和平·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M，B出发以的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值；(2)若点C、D运动时，总有，求的值；(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，直接写出的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，， ∵，． （2）解：设运动时间为t，则，∵， 又，，即，∴； （3）解：由（2）可得：，∵，，， 点N在线段上时，如图， ∵，∴，，即． 当点N在线段AB的延长线上时，如图， ∵，，∴，即． 综上所述，的值为或． 14．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长；(2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 【答案】(1)；(2)或；(3)，定值为． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：设，当点在点左侧时，， ∵，∴，解得，∴； 当点在点右侧时，， ∵，∴，解得，∴； ∴的长为或； （3）解：由题意可得，当木棒和木棒重叠时，式子的值为定值， 定值即为， 当点与点重合时，，解得； 当点与点重合时，，解得； ∴当时，式子的值为定值，定值为． 15．（24-25·江苏南通·七年级月考）如图，数轴上点A，C对应的实数分别为和4，线段，，，若线段以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1cm/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时？(2)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间？ (3)P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式．若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1秒或2秒；(2)秒；(3)存在，或5． 【详解】（1）设运动t秒时为2单位长度， ①当点B在点C的左边时，由题意得：，解得：； ②当点B在点C的右边时，由题意得：，解得：． 综合①②得：当运动1秒或2秒时； （2）∵，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是4， ，而（秒），线段与线段运动秒后相遇， 又，（秒）， 线段与线段从开始相遇到完全离开共经过秒长时间； （3）存在，设运动时间为t秒， ①当时，点B和点C重合，， 点P在线段AB上，，， 当时，，即；此时， ②当时，点C在点A和点B之间，， 当点P在线段BC上时， ，， ，，有，故时，， ③当时，点A与点C重合，， ，，，， 有，故，此时，综上，线段PD的长为或5． 16．（24-25·四川·成都实外七年级开学考试）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP． （1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　 　； （2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由； （3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），线段AP、CQ、PQ有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】（1）4；（2）PQ是一个常数，即是常数m；（3）2PQ﹣2AP=CQ，见解析． 【详解】解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵点C恰好在线段AB中点，∴AC＝BC＝AB， ∵AB＝6，∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×AB+×AB＝×AB＝×6＝4；故答案为：4； （2）①点C在线段AB上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CQ+CP=AC+BC＝×（AC+BC）＝AB=m； ②点C在线段BA的延长线上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CP﹣CQ＝BC﹣AC＝×（BC﹣AC）＝AB＝m； ③点C在线段AB的延长线上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵AB＝m（m为常数）∴PQ＝CQ﹣CP＝AC﹣BC＝×（AC﹣BC）＝AB＝m； 故PQ是一个常数，即是常数m； （3）如图： ∵CQ＝2AQ，∴2AP+CQ﹣2PQ＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ＝CQ﹣2AQ＝2AQ﹣2AQ＝0， ∴2PQ﹣2AP=CQ． 17．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】（3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为或或，理由见详解 【详解】（1）解：C是线段的中点， ， C是线段的“巧点”；故答案：是； （2）解：①如图，点C是线段的“巧点”，，；      ②如图，点C是线段的“巧点”，，； ③如图，点C是线段的“巧点”，，；故答案：或或； （3）解：t为或或，理由如下： ①当是、的“巧点”，(ⅰ)如图，  ， ，，，，解得：， (ⅱ)如图，  ，，，，，解得：； ②当是、的“巧点”，(ⅰ)如图，  ， ，，，， ，，解得：； (ⅱ)如图， ，同理可得：，解得：；此种情况不合题意，舍去； 综上所示：当t为或或时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”． 18．（24-25··江苏徐州·七年级校考期末）点是线段上一点，若（为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称是的最强点；，则是的最强点． (1)点在线段上，若，，点是的最强点，则______． (2)若，是的最强点，则______．（用的代数式表示） (3)一直线上有两点，，，点从点出发，以每秒的速度向运动，运动到点时停止．点从点出发，以每秒的速度沿射线运动，为多少时，点，，恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用的代数式表示） 【答案】(1)(2)(3)或或或或 【详解】（1）解：点是的最强点，， ，，，故答案为：； （2）解：是的最强点，，， 又，，， ，故答案为； （3）解：根据题意，当时、相遇，，解得， 阶段一：点、未相遇时，即时， ①设时点为的最强点，， ，，，解得， 又，即，， 为大于1的正整数，不满足题意，舍去； ②设时，点为的最强点，， ，，，解得， 又，即，， 为大于1的正整数，符合题意； 阶段二：点、相遇后，且点未到达点，即时， ③设时，点为的最强点，， ，，，， 又，即，， 为大于1的正整数，符合题意； ④设时，点为的最强点，， ，，，， 又，即，， ∵n为大于1的正整数，符合题意； 阶段三：点经过点后，且点未到达点，即时， ⑤设时，点为的最强点，， ，，，， 又，即，，符合题意； ⑥设时，点为的最强点，， ，，，， 又，即，，不符合题意，舍去； 阶段四：点到达点后，即时， ，，点不可能为的最强点； ⑦设时，点为的最强点， ，，，， 又，即，，符合题意； 综上所述，当为或或或或时，点，，恰好有一个点是其余2个点的最强点． 19．（24-25·浙江·七年级专题练习）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，. 【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则， 由得，即 ，，，即所以点P在线段AB的处； （2）①如图，当点Q在线段AB上时， 由可知， ②如图，当点Q在线段AB的延长线上时， ， 综合上述，的值为或； （3）②的值不变. 由点、运动5秒可得， 如图，当点M、N在点P同侧时，点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 如图，当点M、N在点P异侧时， 点停止运动时，，点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 所以②的值不变正确，. 20.（24-25·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．(1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值．    【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， ∵，∴，∴， ∵，∴；    （2）解：设运动时间为，则，，∴，， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴． （3）解：∵，∴，，， ∵，∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时，∴， ∵，∴，∴，∴．    当点P在点B右边时，∵，，∴，∴； 综上，或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $