专题08 动态几何模型与绝对值中的最值模型（几何模型讲义）数学人教版2024七年级上册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了动态几何与绝对值最值的知识体系，涵盖数轴、线段、角度的动态模型及绝对值最值、计数模型等模块，呈现动态变化中的数量关系、分类讨论要点和模型思想，突出动点速度、旋转角度与时间的关系等重难点。 讲义亮点在于动态问题与定义新运算结合，如“美点”“智慧点”题型培养抽象能力和几何直观，基础题如数轴动点中点问题与综合题如角度旋转中的三等分线综合题分层设计，引导学生用代数式表示动态过程，通过分类讨论和方程思想解决问题，帮助学生掌握分析方法，教师可实施分层教学提升复习效率。

专题08.动态几何模型与绝对值中的最值模型 本专题包含数轴中的动态模型、线段中的动态模型、角度中的动态模型、绝对值中的最值模型、计数模型等。 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，现在点，点同时分别按图示方向运动，点以每秒速度向左移动，点以每秒速度向右移动．问（   ）秒时，点是线段的中点． A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：设秒时，点是线段的中点，此时，,根据题意可得，解得，即秒时，点是线段的中点，故选：D 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，设点的运动时间为，∴，， 当时，相遇，即，解得： 当时，， 当时，，∴， 由新定义可知或或， 当时，则，解得或（舍去） 当时，则，解得； 当时，则，解得或， ∴的最大值为，最小值为，∴， 3．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）    A．对 B．2对 C．对 D．对 【答案】C 【详解】解：两条直线相交只有1个交点，对顶角有对， 三条直线相交有3个交点，对顶角有对，四条直线相交有6个交点，对顶角有对， 则n条直线相交，交点最多时，所组成的角中，对顶角有对，故选：C． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为 ． 【答案】7 【详解】解：的几何意义数轴上x所对应的点到的距离与x所对应的点到5的距离之和， 当在数与5之间时，的和为7， 当在的左侧或5的右侧时，，的最小值为7，故答案为：7． 5．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ． 【答案】或 【详解】解：设旋转时间为秒， 当时，则，∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分，∴， ∴，解得：； 当时，则，∴， ∵射线始终是的三等分线，且，∴， ∵射线始终平分，∴， ∴，解得：； 当时，则，∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分，∴， ∴，解得：（舍去）． 综上可得，的值为或．故答案为：或． 6．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ． 【答案】或 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，， 设旋转运动时间为秒，则，， ∵射线从出发向终边旋转所需时间为（秒），射线从出发向终边旋转所需时间为（秒），∴， 当与在一条直线上时，则，即，解得． ①如图1，当时，则， ∴，， ∵，，∴，， ∴，即，∴； ②如图2，当时，则， ∴，， ∵，，∴，， ∴，即，∴； 综上，或，故答案为：或． 7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 【答案】或 【详解】解：、两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动， ， ①当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点，， ，，， ②当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点，， ，，， 综上，的长为或，故答案为：或． 8.（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线上的三条线段分别为：，，，将线段固定不动，线段以每秒个单位的速度向右运动，、分别为、中点，设线段的运动时间为，当时， ． 【答案】6 【详解】解：设运动秒后，点表示，点表示，点表示，点表示， 为中点，为中点，点表示，点表示， ，，， 当时，．故答案为：． 9．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 【答案】3或6 【详解】解：，，． 设点的运动时间为 ， 当时，，，根据题意得：，解得：； 当时，，，根据题意得：，解得：． 综上所述，当点出发或时，，两点重合．故答案为：3或6．故选：D． 10．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧． (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长；②当点是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，则_________． 【答案】(1)①15；②19或14 (2)或 【详解】（1）解：①，， 为中点，， ，的长为15； ②点是线段的三等分点，或， 当时，，则， ，，， 当时，，则，， ，，，的长为19或14； （2）设，则，， ， ①当点在线段之间时，如图，    设，则，，， ，，，，， ②当点在点的左侧时，如图，    设，则，，， ，，， ，， ③当点在线段上及点在点右侧时，无解，综上所述，或． 11．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题：①如图1，若，求的长 ；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下： ∵，分别是、的中点 ∴ ， ∴ ∵，不变∴的长不变； (2)【类比探究】小聪继续探究发现角与线段类似，如图2，已知在内部转动，和分别平分和，则与、有数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】如图3，已知在内部转动，若，，，，求 （用含有的式子表示计算结果）． 【答案】(1)①；②；(2)，见解析(3) 【详解】（1）解：①∵点、分别是、的中点． ∴，， ∴，故答案为：； ②∵点、分别是、的中点． ∴，，故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵和分别平分和， ∴，， ∴ ，； （3）解：∵，，∴， ∵，，∴，， ∴，故答案为：． 12．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度；(2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度；(3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米(2)(3)①   ②或 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米，厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ，； （3）解：①当 时，为线段的中点，，解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) ,综上所述：或 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________；(2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为；②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16，8(2)①或或；②存在， 【详解】（1）解：，，故答案是：16，8； （2）①当M、N第一次相遇时，，当M到达E点时，，如图1， 当时，，∴， 如图2，当时，，∴， 如图3，当时，，∴，综上所述：或或； ②如图4，当时，由得，，∴， 如图5，当时，，∴，此时不构成四边形，舍去 综上所述：． 14．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）（1）如图，点是线段的中点．若点在线段上，且，，求线段的长度； （2）若将（1）中的“点在线段上”改为“点在直线上”，其他条件不变，求出此时线段的长度； （3）若线段，点在线段上，点、分别是线段、的中点． ①当点恰好是的中点时，______cm；②当时，______cm； ③当点在线段上运动时（点不与点、重合），求线段的长度． 【答案】（1）（2）或（3）①6；②6；③ 【详解】解：（1）∵点在线段上，且，，∴， ∵点是线段的中点，∴，∴； （2）当点在线段上时，由（1）知：； 当点在点的右侧时，， ∵点是线段的中点，∴， ∴；综上：或； （3）①∵线段，点为的中点，∴， ∵点、分别是线段、的中点，∴， ∴；故答案为：6； ②当时，则：，， ∴，∴；故答案为：6； ③∵点、分别是线段、的中点， ∴，∴． 15．（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“智慧点”． (1)线段的中点______这条线段的“智慧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“智慧点”，则______； (3)如图2，已知，，动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，若A、P、Q三点中，一点恰好是以另外两点为线段的“智慧点”，求出所有可能的t值． 【答案】(1)是(2)或或(3)或或或或 【详解】（1）解：如图， ∵点为的中点，∴点C是线段的“智慧点”，故答案为：是； （2）解：∵，点C是线段的“智慧点”， ∴①时，则； ②时，则； ③时，则， 综上所述，点C为线段的“智慧点”，则等于或或， 故答案为：或或； （3）解：秒后，，， 由题意可知点不可能为的“智慧点”，则当为的“智慧点”时， ①时，则，∴，解得：； ②当时，则，∴，解得：； ③当时，∴，解得：； 当为的“智慧点”时，④当时，则，∴，解得：（舍）； ⑤当时，则，∴，解得：； ⑥当时，∴，解得：， 综上所述：t值为或或或或． 16．（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，P是线段上一点，，C、D两点分别从P、B出发以、的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为． (1)当时，，求出的长； 根据C、D的运动速度知：，，则 ， ∵，∴ ，即 ， ∵，，∴ ，则 (2)当时，，根据（1）可得的长是 ； (3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出的长． 【答案】(1)，，，，(2)(3) 【详解】（1）解：根据C、D的运动速度知：，，则， ∵，∴，即， ∵，，∴，则 （2）当时，，∴ 又，∴，即，∴ 又，∴． （3）当运动时间为t时，，∴ 又，∴，即 ∴ 又，∴． 17．（24-25七年级上·河南漯河·期末）如图，点C在线段上，，． (1)求的长．(2)若，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧．①当D为的中点时，求的长．②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，且，，求出的长． 【答案】(1)(2)①；②12或14 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴． （2）①∵D为的中点，∴，∴． ∵，，∴，∴． ②分两种情况讨论：（ⅰ）如图1，当点F在点C的左侧时． ∵，，∴. ∵，，∴，∴； （ⅱ）如图2，当点F在点C的右侧时． ∵，，∴． ∵，，∴，∴． 综上所述，的长为12或14． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 【答案】(1)是(2)或或(3)为或时，点恰好是线段的二倍点 【详解】（1）解：根据题意得：一条线段的中点是这条线段的“二倍点”，故答案为：是； （2）解：设，则， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：， 综上所述，或或，故答案为：或或； （3）解：(秒)，(秒)， 当时，，，， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得（不符合题意，舍去）， 答：当为或时，点恰好是线段的二倍点． 19．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知点C，O，B在同一条直线上，射线在上方，且．(1)若射线平分，则 ．(2)射线以每秒的速度从射线开始逆时针运动，开始时与重合，其中与重合、与重合，若以每秒的速度顺时针运动．试探究是否存在运动到某一时刻使得？若存在，求出所有符合条件的的度数；若不存在，请说明理由． (3)将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，平分，为的三等分线，，若．直接写出的值为 ． 【答案】(1)(2)的度数为或(3) 【详解】（1）解：∵点C，O，B在同一条直线上，射线在上方，且， ∴， ∵射线平分，∴； （2）解：∵射线以每秒的速度从射线开始逆时针运动，∴， ∵开始时与重合，其中与重合、与重合，以每秒的速度顺时针运动，∴，， 如图，当在外部时， ， 此时，， ∵，∴，解得：，此时； 如图，当在内部时，此时 ， ∵，∴，解得：，此时； 综上所述，的度数为或； （3）解：如图：∵将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后对应射线为， ∴，∴， ∵为的三等分线，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴， 解得：或（不符合题意，舍去）；∴的值为． 20．（24-25七年级上·广东湛江·期末）综合与实践 数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． 【问题情境】（1）将两块三角板如图1方式摆放，其中，，作平分，平分．①当为时，求的度数；②当在内转动时，的度数是否保持不变，请说明理由． 【探究实践】（2）如图2，在内，设，，，作平分，平分，请用含，的代数式表示． 【拓展应用】（3）如图3，固定不动，将绕点P按顺时针方向旋转，设，，，作平分，平分，直接写出的大小（用含α，β的代数式表示）． 【答案】（1）①；②当在内转动时，∠MPN的度数保持不变，理由见解析 （2）（3）或者 【详解】解：（1）①，，， 平分，平分，，， 当时，，则，， ； ②当在内转动时，的度数保持不变；理由如下： ，，， 平分，平分，，， ，； （2）当在内转动时，，，， 平分，平分，，， ，． （3）分两种情况：①当在内转动时；由（2）可知：； ②当在外转动时，如图3， ∵，，， 平分，平分，，， ， ．． 21．（24-25七年级上·四川达州·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)若射线保持位置不变，当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由．(2)若射线的初始位置不变，且． ①在直角三角板旋转的过程中，若射线保持位置不变，当边与射线相交时（如图3），求的值．②在直角三角板旋转的过程中，将射线绕着点O按每秒的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停止），是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②，，， 【详解】（1）解：与之间的数量关系为，理由如下： ，，， 平分，，． （2）①∵， ∴； ②由题意得： 当平分时，，即，解得； 当在上方，第一次平分时，，即，解得； 当在下方，第二次平分时，，即，解得； 当第二次平分时，，即，解得：． 综上，的值为，，，． 22．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t（，单位：秒） (1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当恰好平分时，求t的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)t的值为秒(3)存在，t的值为15秒或秒 本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）当时，． （2）平分，解得：（或者11.25） 答：当恰好平分时，t的值为秒． （3）当，重合时，解得： 当时：解得： 当时，解得：（或者22.5） 答：在旋转过程中存在这样的t，使得，t的值为15秒或秒． 23．（24-25七年级上·福建福州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)(2)当旋转的角度为时，是的内半角，理由见解析(3)能，秒；30秒；90秒 【详解】（1）解∶∵，是的内半角，∴， ∵，∴，；故答案∶； （2）解：当旋转的角度为时，是的内半角；理由如下： 由旋转得：，∴ ， ∵∴，， ∵是的内半角，∴，∴，解得：﹔ （3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1：∵是的内半角，， ∴，∴，解得：， 如图2，∵是的内半角，， ∴，∴，解得：，， 如图3，是的内半角，， ∴，∴，解得：，， 24．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________． (2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）． ①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值． ②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①或；②存在，的值为或 【详解】（1）解：∵，∴， ∵射线平分，∴，故答案为：． （2）解：①（Ⅰ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，∴， ∵，∴，∴； （Ⅱ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，∴； （Ⅲ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，∴， ∴此时旋转角大于，不符合题意，舍去； 综上，满足要求的所有的值为或． ②（Ⅰ）如图，当时，∵，，， ∴，， ∵，∴，解得，符合题设； （Ⅱ）如图，当时， ∵，，， ∴，， ∵，∴，解得，符合题设； （Ⅲ）如图，当时，∵，，， ∴，， ∵，∴，解得，不符合题设，舍去； 综上，在旋转过程中存在，此时的值为或． 25．（24-25七年级上·海南儋州·期中）如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)________；________；________；(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，(2)，或(3)存在， 【详解】（1）解：，，，，， 的相反数为，，故答案为：，，； （2）解：与重合，即，重合，折点为，与点重合的点是， 由三等分点得或， ∴表示的数为或．故答案为：；或； （3）解：存在， ∵点表示的数是，向左的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， 为定值，的值与无关，，∴． 26．（24-25七年级上·天津河北·期末）如图1，已知，，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转． (1)试求的度数．(2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？ (3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求x． 【答案】(1)160°(2)30秒或34秒(3) 【详解】（1）∵，∴3，解得，， ∴，∴； （2）设他们旋转x秒时，使得，则， ①当射线与射线相遇前有：， 即：，解得：； ②当射线与射线相遇后有：， 即：，解得：， 答：当他们旋转30秒或34秒时，使得； （3）设t秒后这两条射线重合于射线处，则， ∵为的平分线，∴，∴， ∵，∴， 则，°，∴，解得：，∴，解得：． 27．（24-25七年级上·四川巴中·期末）若数轴上两点分别表示数与数，则两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．    (1)已知点在数轴上表示的数分别为，且． ①______，______． ②是数轴上任意一点，且点表示的数是，求的最小值． (2)某条街上有3家新开的自习室．小东的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点．如图，小东家在处，自习室在小东家西边50米处，在小东家东边150米处，在小东家东边200米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值为多少？ 【答案】(1)①，；②3 (2)点在之间（包含在点或上）时，的值最小，最小值为400米 【详解】（1）①∵∴，∴，； ②表示在数轴上对应的到两点之间的距离之和． 当在左边时，．当在2右边时，． 当在之间时（包含在和2这两个点上时），． ∴的最小值是3． （2）由（1）②可知，点在之间（包含在点或上）时，的值最小，设表示的数为，则有当在0至150（包含0和150）时，有最小值， 当时，原式（米） 答：的最小值为400米． 28．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)，(2)当最大值为；当最小值为(3)，最小值为 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 29．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 【答案】(1)(2)，，，(3)或(4)有，最小值为，和为 【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为，故答案为； （2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 为到之间的整数，这样的整数有、、、，故答案为、、、； （3）∵的最小值是，即表示到的和为 由于与之间的距离为，小于最小值，则或； ①当时，即，则在到之间时，最小值为 ∴∴ ②当时，即，∴ 综上所述，或 （4）有最小值，理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，∴当在和之间时，取得最小值， ∴最小值为∴符合条件的整数为 ∴所有符合条件的整数的和为 30．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】(1)(2)(3)有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 【详解】（1）解：与3的距离是； （2）解：∵表示在数轴上数对应的点与数，对应的点的距离之和， ∴当数在与之间时，即时，最小， ∴当时，式子有最小值，最小值是， （3）解：根据题意，（辆），（辆），即共有40辆车，每个公司10辆， ∴调运方案如下： ∴有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 31．（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】（2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】（3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 【答案】（1）3，6，10；（2）；（3）他们共握了次手 【详解】解：（1）根据图形得： 如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线；故答案为：3，6，10； （2）如果平面上有个点，且任意3个点均不在同一条直线上， ∴（条）那么经过两点最多可以画条直线；故答案为：； （3）某班级聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次， 把代入，得（次）．答：他们共握了次手． 32．（24-25·湖北恩施·七年级校考阶段练习）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点、，分别以点、、、为端点的线段共有________条． （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有___________条线段． （3）【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ 【答案】（1）6；（2）；（3）45场 【详解】（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD， 以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB， 以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3＋2＋1＝6（条）．故答案为：6； （2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条， 则x＝（m−1）＋（m−2）＋（m−3）＋…＋3＋2＋1， ∴倒序排列有x＝1＋2＋3＋…＋（m−3）＋（m−2）＋（m−1）， ∴2x＝m＋m＋m＋…＋m＝m（m−1），∴x＝m（m−1）．故答案为：； （3）把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段， 由题知，当m＝10时，． 答：一共要进行45场比赛． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08.动态几何模型与绝对值中的最值模型 本专题包含数轴中的动态模型、线段中的动态模型、角度中的动态模型、绝对值中的最值模型、计数模型等。 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，现在点，点同时分别按图示方向运动，点以每秒速度向左移动，点以每秒速度向右移动．问（   ）秒时，点是线段的中点． A． B． C．1 D． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）    A．对 B．2对 C．对 D．对 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．请结合数轴探究，当表示数x的点在数轴上移动时，代数式的最小值为 ． 5．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ． 6．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ． 7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 8.（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线上的三条线段分别为：，，，将线段固定不动，线段以每秒个单位的速度向右运动，、分别为、中点，设线段的运动时间为，当时， ． 9．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 10．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧． (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长；②当点是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，则_________． 11．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题：①如图1，若，求的长 ；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下： ∵，分别是、的中点 ∴ ， ∴ ∵，不变∴的长不变； (2)【类比探究】小聪继续探究发现角与线段类似，如图2，已知在内部转动，和分别平分和，则与、有数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】如图3，已知在内部转动，若，，，，求 （用含有的式子表示计算结果）． 12．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度；(2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度；(3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________；(2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为；②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 14．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）（1）如图，点是线段的中点．若点在线段上，且，，求线段的长度； （2）若将（1）中的“点在线段上”改为“点在直线上”，其他条件不变，求出此时线段的长度； （3）若线段，点在线段上，点、分别是线段、的中点． ①当点恰好是的中点时，______cm；②当时，______cm； ③当点在线段上运动时（点不与点、重合），求线段的长度． 15．（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“智慧点”． (1)线段的中点______这条线段的“智慧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“智慧点”，则______； (3)如图2，已知，，动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，若A、P、Q三点中，一点恰好是以另外两点为线段的“智慧点”，求出所有可能的t值． 16．（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，P是线段上一点，，C、D两点分别从P、B出发以、的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为． (1)当时，，求出的长； 根据C、D的运动速度知：，，则 ， ∵，∴ ，即 ， ∵，，∴ ，则 (2)当时，，根据（1）可得的长是 ； (3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出的长． 17．（24-25七年级上·河南漯河·期末）如图，点C在线段上，，． (1)求的长．(2)若，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧．①当D为的中点时，求的长．②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，且，，求出的长． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 19．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知点C，O，B在同一条直线上，射线在上方，且．(1)若射线平分，则 ．(2)射线以每秒的速度从射线开始逆时针运动，开始时与重合，其中与重合、与重合，若以每秒的速度顺时针运动．试探究是否存在运动到某一时刻使得？若存在，求出所有符合条件的的度数；若不存在，请说明理由． (3)将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，平分，为的三等分线，，若．直接写出的值为 ． 20．（24-25七年级上·广东湛江·期末）综合与实践 数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． 【问题情境】（1）将两块三角板如图1方式摆放，其中，，作平分，平分．①当为时，求的度数；②当在内转动时，的度数是否保持不变，请说明理由． 【探究实践】（2）如图2，在内，设，，，作平分，平分，请用含，的代数式表示． 【拓展应用】（3）如图3，固定不动，将绕点P按顺时针方向旋转，设，，，作平分，平分，直接写出的大小（用含α，β的代数式表示）． 21．（24-25七年级上·四川达州·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)若射线保持位置不变，当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由．(2)若射线的初始位置不变，且． ①在直角三角板旋转的过程中，若射线保持位置不变，当边与射线相交时（如图3），求的值．②在直角三角板旋转的过程中，将射线绕着点O按每秒的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停止），是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由． 22．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t（，单位：秒） (1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当恰好平分时，求t的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 23．（24-25七年级上·福建福州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 24．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________． (2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）． ①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值． ②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 25．（24-25七年级上·海南儋州·期中）如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)________；________；________；(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 26．（24-25七年级上·天津河北·期末）如图1，已知，，且m、n满足等式，射线从处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转． (1)试求的度数．(2)如图1，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得？ (3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点O开始逆时针旋转，同时射线从射线处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线处（在的内部）时，且，试求x． 27．（24-25七年级上·四川巴中·期末）若数轴上两点分别表示数与数，则两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．    (1)已知点在数轴上表示的数分别为，且． ①______，______． ②是数轴上任意一点，且点表示的数是，求的最小值． (2)某条街上有3家新开的自习室．小东的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点．如图，小东家在处，自习室在小东家西边50米处，在小东家东边150米处，在小东家东边200米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值为多少？ 28．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 29．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 30．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 31．（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】（1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】（2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】（3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 32．（24-25·湖北恩施·七年级校考阶段练习）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点、，分别以点、、、为端点的线段共有________条． （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有___________条线段． （3）【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $