专题03 线段中的双（多）中点模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级上册

专题03 线段中的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.线段的双中点模型 2 模型2.线段的多中点模型 5 易错点与方法总结 10 模型运用 11 A组（基础题） 11 B组（能力提升题） 14 C组（综合压轴题） 18 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ 1）线段中点定义：中点将线段分为两条相等的线段，； 2）线段和差基本推理； 3）整式代数化简（去括号、合并同类项）； 4）数轴动点、线段动点问题。 模型1.线段的双中点模型 【模型提炼与证明】 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点在线段上，线段，，点、分别是、的中点，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴，．∴． 【典例2】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，已知为线段上一点，分别为的中点，若cm，cm，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵为的中点，， ∴ ∵为的中点，， ∴ ∴． 【典例3】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图， 直线上从左到右依次有A， B， C， D四点． M，N分别是线段，的中点， 且，， 则线段的长为 ． 【答案】10 【详解】解：∵M，N分别是线段，的中点，∴，， ∵，又， ∴，即：，∴，故答案为：10． 【典例4】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，在线段上取两点，，，，，分别是，的中点，其中，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：∵，，，分别是，的中点，∴ ∴ ∵，∴∴故选：C． 【典例5】（25-26七年级上·四川广安·期末）如图，已知直线l上的三条线段分别为，，，将线段固定不动，线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，，分别为， 的中点，设线段的运动时间为 秒，当时，的值为_______． 【答案】或 【详解】解：∵，，，，分别为， 的中点， 设当时，点代表的数为， 则点代表的数为，点代表的数为，点代表的数为，点代表的数为，点代表的数为， 则线段以每秒4个单位长度的速度向右运动时，则点为，点为，点为， 则，， 当时，则解得：或．故答案为：或． 【典例6】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的折中点，已知是折线的折中点，为线段的中点，，则线段的长为_____． 【答案】或 【详解】解：∵为线段的中点，且，∴． 情况一：当在上时，∵，∴． ∵是折线的折中点，∴，∴，∴． 情况二：当在上时，∵是折线的折中点，∴，∴， ∴，∴．故答案为：或． 【典例7】（24-25七年级上·山东青岛·期末）已知，点是直线上的一点，使得，、分别是线段的中点与的中点，则线段的长度是 ． 【答案】或 【详解】解：当点在线段的延长线上时，如图， ∵，, ，∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴，∴； 当点在线段上时，如图， ∵，,，∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴，∴， 综上所述，线段的长度是或，故答案为：或． 模型2.线段的多中点模型 【模型提炼与证明】 线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 【模型运用】 【典例1】（25-26·湖北襄阳·七年级期末）点是线段上任意一点，分别是线段上靠近点的三等分点，若，则线段的长是____． 【答案】 【详解】解：如图：由题意得，∴EC=AC，FC=BC， ∴EF=EC+CF=AC+BC=(AC+BC)=AB=，故答案为． 【典例2】（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图，点在线段上，且，点是线段的中点，点是线段的三等分点(即)，则下列结论：①；②；③，其中正确的结论有（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：设，，；点是线段的中点，； ，，． ，，∴，故①正确； ，，，故②正确； ，，， ，故③正确；综上，①②③均正确，故选：D． 【典例3】（25-26湖北武汉·七年级统考期末）已知点C是线段AB的一个三等分点，M是线段AB的中点，N是线段BC的中点，，则AB= ． 【答案】或 【详解】解：如图1，∵点C是线段上的三等分点，∴， ∵M，N是线段，的中点，∴，， ∴，∴； 如图2，∵点C是线段上的三等分点，∴， ∵M，N是线段，的中点，∴，， ∴，∴；故答案为或． 【典例4】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，点在线段的延长线上，且线段． 现进行如下操作：第一次操作：分别取线段和的中点； 第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；…… 连续这样操作8次，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ∵分别是线段和的中点，∴； ∵分别是线段和的中点，∴； ∵分别是线段和的中点，∴；…… ∴，当时，，故选：B． 【典例5】（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2)(3) 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为，所以． 两式相加，得．所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 【典例6】（25-26四川成都·七年级校考期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；    （2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【详解】解：（1）∵M，N分别是，的中点∴ ∵∴ （2）①∵∴ ∵∴； ② ． 模型常见易错点 1）分不清拼接型、内含型，乱用和差公式 解决：两段拼一起用和一半；一段包含一段用差一半，先看图结构，再套公式。 2）只算数、不会字母推理，题目无具体数值就不会做 解决：双中点模型核心是恒等式，不靠数值，靠倍半关系化简。 3）多层中点数错次数、指数写错 解决：第n次对半，分母一定是2n，不要写成2n。 4）点的位置不确定，忘记分类讨论 解决：题干未说明点在内部/外部，需分：点在线段上、点在线段延长线上两种情况。 解题方法总结 看图定结构：两段拼接 → 和一半；两段内含 → 差一半；多次中点 → 2n分母规律。 线段和差代换、合并化简；直接得出最终固定结论。 终极口诀： 双中点，看排布； 相接取半和，内含取半差； 多点层层半，二幂定长短。 1.（24-25七年级上·江苏·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】A 【详解】解：∵点M、N分别是的中点，，∴， ∵，∴，∴．故选：A． 2.（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，数轴上的点A，B分别表示数，5，C，D分别是线段的中点，则点D表示的数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵数轴上的点A、B分别表示数、5，∴， ∵C、D分别是线段的中点，∴，， ∴点D表示的数是，故选：D． 3.（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，点，在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：设，则，． 因为线段，的中点分别是，，所以，． 因为，所以，解得，所以．故选C． 4.（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知线段上有两点C，D，且，E，F分别为的中点，，，则（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∵E，F分别为的中点，∴， ∴．故选：D． 5.（24-25七年级上·上海·阶段练习）一条直线上依次有、、、四个点，如果，，和分别是和的中点，那么 ； 【答案】 【详解】解：如图， ∵在一条直线上且依次排列∴， ∵，，∴，即， ∵M、N分别是、的中点，∴，． ∴ ．故答案为：6． 6.（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段上有一点，其中，，若是的中点，是的三等分点（靠近点），求的长． 【答案】 【详解】解：如图：∵，，是的中点，是的三等分点（靠近点）， ∴，∴，， ∴．即的长为． 7．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点 (1)若，求的长；(2)若点C恰好是的中点，且，求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图：∵点D、E分别是和的中点，∴，， ， ∵，∴； （2）解：∵点C恰好是的中点，∴， ∵点D、E分别是和的中点，∴，， ∴，∴． 8．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，点在线段上，． (1)在线段上求作点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若为中点，，求线段的长． 【详解】（1）如图，点即为所作， ； （2）解：∵，∴， ∵，∴， ∵为中点，∴，∴． 1.（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，，∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，∴（）． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，，∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，∴（）． 综上所述，线段的长度是8．故选：A． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】解：①、由，得：，故正确； ②、由E是的中点，，得，则是的中点，故正确； ③、由D，E分别是的中点，得：，故正确； ④、由上述结论，得：，故正确； ⑤、由，，得到，又，则，，，， ，，， 图中所有线段之和为，故正确，综上所述，正确的结论共有5个，故选：D 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 【答案】D 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：，，∴，∴； 当点在线段上时，如图：则，， ∵，∴，∴；综上，线段的长是20或4．故选：D． 4.（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知点C在直线上，，，点分别是的中点．则线段的长为 ． 【答案】或 【详解】分类讨论：点C在线段上，点C在线段的延长线上，根据线段中点的性质，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 解：①当点C在线段上时，， 由点M、N分别是的中点，得，， 由线段的和差，得； ②当点C在线段的延长线上时，， 由点M、N分别是的中点，得，． 由线段的和差，得， 综上，MN的长或，故答案为：或． 5.（24-25七年级上·河南·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 【答案】1 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∵线段   和 的中点 ，∴， 同理：，∴，…… 依次类推， ，∴，故答案为：4． 6.（24-25·山东·七年级统考期末）点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，求线段的长． 【答案】线段BD的长为10cm或8cm． 【详解】解：∵C是线段AB的中点，AB=12cm，∴AC=BC=AB=×12=6（cm）， 点D是线段AC的三等分点，①当AD=AC时，如图，BD=BC+CD=BC+AC=6+4=10（cm）； ②当AD′=AC时，如图，BD′=BC+CD′=BC+AC=6+2=8（cm）．所以线段BD的长为10cm或8cm． 7．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】（1）如图1，求线段的长；（2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长；②若点是线段上的一点，，求的长． 【答案】（1）4；（2）①10，②7或1 【详解】解：（1），点是的中点，． 点是线段的中点，． （2）①，，，，． ②，，． 当点在点左边时，，，． 当点在点右边时，，，．综上可得的长为7或1． 1.（24-25七年级上·成都·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是；②点P到达点B时，；③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵，∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时，∵，∴，∴； 当点P在点B左边时，∵，∴，∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时，； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时，； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误；∴正确结论有①②，故选：A． 2.（24-25七年级上·广东·期末）点，，是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 【答案】或 【详解】解：如图，∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，，∴； 如图，∵点为线段的中点，点为线段的中点．，， ∴，，∴．∴的长为或．答案为：或． 3.（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作次，则 ． 【答案】 【详解】解：∵线段，线段和的中点，， ∴， ∵线段和的中点，；∴ 发现规律：，∴．故答案为：． 4．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【详解】解：∵，，N是线段的中点，∴，， ①若，如图1所示： ∵，∴，∵，∴∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，，∴； ②若，如图：∴， ∵，∴，∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴；故答案为：40或80． 5．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 【答案】或 【详解】解：、两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动，， ①当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点，， ，，， ②当点靠近点的的三等分点，如图所示： 为中点，， ，，， 综上，的长为或，故答案为：或． 6．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长；(3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1)(2)5厘米(3) 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴，故答案为：； （2）解：∵，∴； （3）解：∵， ∴． 7．（24-25七年级上·四川巴中·期末）【实例】求值： 解：设① 将等式两边同时乘2，得：② 将②式减去①式，得：， 即 【运用】（1）_______________﹔ 【拓展】（2）计算：； 【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少 【答案】（1）；（2）；（3） 或 【详解】解：（1）设① 将等式①的两边同时乘以2得： ② 将②式减去①式，得：，∴．故答案为：． （2）设① 将等式两边同时乘3，得：② 将②式减去①式，得 ∴，即 （3）∵，、是线段和的中点， ∴，同理可得…… ∴ 设① ∴② 将①式减去②式，得 ∴ 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 线段中的双（多）中点模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.线段的双中点模型 2 模型2.线段的多中点模型 5 易错点与方法总结 10 模型运用 11 A组（基础题） 11 B组（能力提升题） 14 C组（综合压轴题） 18 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ 1）线段中点定义：中点将线段分为两条相等的线段，； 2）线段和差基本推理； 3）整式代数化简（去括号、合并同类项）； 4）数轴动点、线段动点问题。 模型1.线段的双中点模型 【模型提炼与证明】 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点在线段上，线段，，点、分别是、的中点，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【典例2】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，已知为线段上一点，分别为的中点，若cm，cm，则的长为（     ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图， 直线上从左到右依次有A， B， C， D四点． M，N分别是线段，的中点， 且，， 则线段的长为 ． 【典例4】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，在线段上取两点，，，，，分别是，的中点，其中，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【典例5】（25-26七年级上·四川广安·期末）如图，已知直线l上的三条线段分别为，，，将线段固定不动，线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，，分别为， 的中点，设线段的运动时间为 秒，当时，的值为_______． 【典例6】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的折中点，已知是折线的折中点，为线段的中点，，则线段的长为_____． 【典例7】（24-25七年级上·山东青岛·期末）已知，点是直线上的一点，使得，、分别是线段的中点与的中点，则线段的长度是 ． 模型2.线段的多中点模型 【模型提炼与证明】 线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 【模型运用】 【典例1】（25-26·湖北襄阳·七年级期末）点是线段上任意一点，分别是线段上靠近点的三等分点，若，则线段的长是____． 【典例2】（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图，点在线段上，且，点是线段的中点，点是线段的三等分点(即)，则下列结论：①；②；③，其中正确的结论有（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【典例3】（25-26湖北武汉·七年级统考期末）已知点C是线段AB的一个三等分点，M是线段AB的中点，N是线段BC的中点，，则AB= ． 【典例4】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，点在线段的延长线上，且线段． 现进行如下操作：第一次操作：分别取线段和的中点； 第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；…… 连续这样操作8次，则（    ） A． B． C． D． 【典例5】（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【典例6】（25-26四川成都·七年级校考期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；    （2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 模型常见易错点 1）分不清拼接型、内含型，乱用和差公式 解决：两段拼一起用和一半；一段包含一段用差一半，先看图结构，再套公式。 2）只算数、不会字母推理，题目无具体数值就不会做 解决：双中点模型核心是恒等式，不靠数值，靠倍半关系化简。 3）多层中点数错次数、指数写错 解决：第n次对半，分母一定是2n，不要写成2n。 4）点的位置不确定，忘记分类讨论 解决：题干未说明点在内部/外部，需分：点在线段上、点在线段延长线上两种情况。 解题方法总结 看图定结构：两段拼接 → 和一半；两段内含 → 差一半；多次中点 → 2n分母规律。 线段和差代换、合并化简；直接得出最终固定结论。 终极口诀： 双中点，看排布； 相接取半和，内含取半差； 多点层层半，二幂定长短。 1.（24-25七年级上·江苏·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 2.（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，数轴上的点A，B分别表示数，5，C，D分别是线段的中点，则点D表示的数是（   ）    A． B． C． D． 3.（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，点，在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4.（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知线段上有两点C，D，且，E，F分别为的中点，，，则（    ） A．6 B．4 C． D． 5.（24-25七年级上·上海·阶段练习）一条直线上依次有、、、四个点，如果，，和分别是和的中点，那么 ； 6.（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段上有一点，其中，，若是的中点，是的三等分点（靠近点），求的长． 7．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点 (1)若，求的长；(2)若点C恰好是的中点，且，求的长． 8．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，点在线段上，． (1)在线段上求作点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若为中点，，求线段的长． 1.（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 4.（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知点C在直线上，，，点分别是的中点．则线段的长为 ． 5.（24-25七年级上·河南·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 6.（24-25·山东·七年级统考期末）点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，求线段的长． 7．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】（1）如图1，求线段的长；（2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长；②若点是线段上的一点，，求的长． 1.（24-25七年级上·成都·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是；②点P到达点B时，；③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2.（24-25七年级上·广东·期末）点，，是直线上三点，如果点是线段的中点，点是线段的中点，若，，则 ． 3.（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作次，则 ． 4．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 5．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 6．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长；(3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 7．（24-25七年级上·四川巴中·期末）【实例】求值： 解：设① 将等式两边同时乘2，得：② 将②式减去①式，得：， 即 【运用】（1）_______________﹔ 【拓展】（2）计算：； 【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $