专题4.5 线段中点与线段和差(几何模型梳理+解题方法归纳）- 2025-2026学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题4.5 线段中点与线段和差（几何模型梳理+解题方法归纳） 目录 一．基础篇 1 知识点（一）线段的和差 1 【题型1】利用线段的和差求线段 2 知识点（二）线段的单中点 2 【题型2】利用线段的单中点求线段 2 知识点（三）线段单中点与线段和差综合 3 【题型3】利用线段中点与线段和差求线段 3 二．提升篇 4 知识点（四）直线上的线段和与差 4 【题型4】利用分类讨论思想求直线上的线段和与差 4 【题型5】利用直线上的线段中点与线段和与差综合求值 4 知识点（五）线段上的双中点 5 【题型6】利用线段上双中点模型求线段长 5 三．培优篇 6 知识点（六）直线上线段的双中点 6 【题型7】利用双中点模型求直线上的线段长 7 【题型8】中点模型与动点问题 7 【题型9】多中点模型 8 一．基础篇 知识点（一）线段的和差 条件 基本图形 结论 点是线段上一点 【题型1】利用线段的和差求线段 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是线段上不同的两点．完成下列填空： （1） ， + + ． （2） ． 【变式1】（24-25七年级上·广西防城港·期末）如图，在一张零件图纸中，，，，则的长为 ． 【变式2】（23-24七年级上·江西上饶·期末）如图，下列关系式中与图不一定符合的式子是（    ） A． B． C． D． 知识点（二）线段的单中点 条件 基本图形 结论 点是线段中点 【题型2】利用线段的单中点求线段 【例题2】（24-25七年级上·云南保山·期末）如图，是线段的中点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·吉林辽源·期末）如图，，是线段的三等分点，是的中点，若，则 ． 【特别提示】如果一两个点把一条线段分成三条相等的线段，则这两个点叫做这条线段的三等分点. 【变式2】（24-25七年级上·江西九江·期末）如图，已知线段长为，点是线段上一点且，点是中点，求线段的长． 知识点（三）线段单中点与线段和差综合 条件 基本图形 结论 点是上一点， ，点是线段中点。 点是上一点， ，点是线段中点。 【题型3】利用线段中点与线段和差求线段 【例题2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，已知，M为的中点，点P在上，N为的中点． （1）图中共有 条线段； （2）若，求的长． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知，且点是的中点． （1）求的长； （2）若线段上有一点，且，求的长． 【变式2】（23-24七年级上·山东淄博·期末）已知点C在线段上，线段，点D是的中点，求的长度． 二．提升篇 知识点（四）直线上的线段和与差 条件 基本图形 结论 已知线段，点是直线上一点，，求的长 图一 当点C在线段AB上时， 图二 当点C在线段AB延长线上时， 当出现直线时，往往要进行分类讨论：点在线段上和点在线段延长线上两种情况 【题型4】利用分类讨论思想求直线上的线段和与差 【例题4】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知线段，点C在直线上，且，求线段的长． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知线段，点是直线上一点，，则线段的长为（  ） A． B． C． D．或 【变式2】（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，为线段上一点，点为线段的中点，且． （1）图中共有______条线段； （2）求线段的长； （3）若点在直线上，且线段，求线段的长． 【题型5】利用直线上的线段中点与线段和与差综合求值 【例题5】（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，且，． （1）图中共有 条线段． （2）求的长． （3）若点在直线上，且，求的长． 【变式1】（23-24七年级上·山东济南·期末）已知点C在直线上，若，E为线段的中点，则的长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁·期中）已知线段，点在直线上，且，当为线段的中点，则 ． 知识点（五）线段上的双中点 条件 基本图形 结论 点是线段上的一点， 、分别为、中点 点是线段上的一点， 、分别为、中点 点是线段上的一点， 、分别为、中点 总结：一个点把一条线段分成两条线段，得到三条线段，任意两条线段中点的距离等于第三条线段的一半。 【题型6】利用线段上双中点模型求线段长 【例题6】（23-24七年级上·广东江门·期末）如图，点C在线段上，M，N分别是线段，的中点． （1）若，，求线段的长度； （2）设，其他条件不变，你能猜出的长度吗？请用一句简洁的话表述你发现的规律． 【变式1】（24-25七年级上·广东湛江·期末）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点且，则的长为 ． 【变式2】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，数轴上的点A，B分别表示数，2，C，D分别是线段AB，AC的中点，则点D表示的数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的中点，线段． （1）求线段的长； （2）如果点在线段上，且，求线段的长． 三．培优篇 知识点（六）直线上线段的双中点 条件 基本图形 结论 点是直线上的一点， 、分别为、中点， 求的长 点在线段上 点在线段延长线上 点在线段延长线上 【题型7】利用双中点模型求直线上的线段长 【例题7】（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，点为线段上一点，，，点、分别是、的中点． （1）求线段的长； （2）如果点在直线上，，求线段的长度． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·期中）已知A，B，N为直线l上的点，M是线段的中点，．若，则表示为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）直线上有一点，点，分别为，的中点，线段． （1）如图，若点在线段上运动时，的长为_____； （2）若点在直线上运动时，试说明线段的长度与点在直线上的位置无关． 【题型8】中点模型与动点问题 【例题8】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． （1）当时，则线段________，线段________； （2）当为何值时，？ （3）点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 【变式1】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知线段，点是线段延长线上一个动点，是线段的中点． （1）如图，若，求线段的长； （2）若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是____________； ①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大． （3）若，画出所有符合条件的图形并求线段的长． 【变式2】（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为和8． 实践探究 （1）线段的长为________； （2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ①当时，线段________，线段________，点P表示的数为________；（用含t的代数式表示） ②若点M是线段的中点，点N是线段的中点，当动点P在（2）条件下运动时，线段的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段的长度． 【题型9】多中点模型 【例题9】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点，在线段的延长线上取一点，使是的中点…，按这样操作下去，线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·期中）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（　　） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 线段中点与线段和差(几何模型梳理+解题方法归纳） 目录 一．基础篇 1 知识点（一）线段的和差 1 【题型1】利用线段的和差求线段 2 知识点（二）线段的单中点 3 【题型2】利用线段的单中点求线段 3 知识点（三）线段单中点与线段和差综合 5 【题型3】利用线段中点与线段和差求线段 5 二．提升篇 7 知识点（四）直线上的线段和与差 7 【题型4】利用分类讨论思想求直线上的线段和与差 7 【题型5】利用直线上的线段中点与线段和与差综合求值 9 知识点（五）线段上的双中点 11 【题型6】利用线段上双中点模型求线段长 12 三．培优篇 14 知识点（六）直线上线段的双中点 14 【题型7】利用双中点模型求直线上的线段长 15 【题型8】中点模型与动点问题 18 【题型9】多中点模型 22 一．基础篇 知识点（一）线段的和差 条件 基本图形 结论 点是线段上一点 【题型1】利用线段的和差求线段 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是线段上不同的两点．完成下列填空： （1） ， + + ． （2） ． 【答案】（1） CD AB BC CD；（2） AC BD 【分析】本题主要考查线段的和差关系，通过观察线段上各点的位置，利用线段的和差来填空． 解：（1）观察图形可知，是由和组成的 所以 线段是由依次连接而成的 所以． 故答案为：． （2）从图中可以看出， 所以 又因为 所以． 故答案为：． 【点拨】本题考查了线段的和差关系，掌握线段的组成，利用和差关系确定线段之间的等量关系是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·广西防城港·期末）如图，在一张零件图纸中，，，，则的长为 ． 【答案】/52毫米 【分析】本题主要考查线段的和差，解题的关键是找准线段的和差关系．根据题意及线段的和差关系可知，进而问题可求解． 解：∵，，， ∴由线段的和差，得： ． 故答案为： 【变式2】（23-24七年级上·江西上饶·期末）如图，下列关系式中与图不一定符合的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．根据线段之间的和差关系依次进行判断即可得出正确答案． 解：A、，正确， B、，正确； C、，而，故本选项错误； D、，正确． 故选：C． 知识点（二）线段的单中点 条件 基本图形 结论 点是线段中点 【题型2】利用线段的单中点求线段 【例题2】（24-25七年级上·云南保山·期末）如图，是线段的中点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的中点，熟练掌握“把一条线段分为两条相等线段的点，叫做线段的中点”是解题的关键．根据线段中点的含义进行求解即可． 解：∵点是线段的中点， ∴． 故选：B． 【变式1】（23-24七年级上·吉林辽源·期末）如图，，是线段的三等分点，是的中点，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，由是的中点得出，再结合，是线段的三等分点计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵是的中点，， ∴， ∵，是线段的三等分点， ∴， 故答案为：． 【特别提示】如果一两个点把一条线段分成三条相等的线段，则这两个点叫做这条线段的三等分点. 【变式2】（24-25七年级上·江西九江·期末）如图，已知线段长为，点是线段上一点且，点是中点，求线段的长． 【答案】． 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质、线段的和差关系．根据已知条件易求得，然后结合线段中点的定义可以求得线段的长度，再根据即可得出答案． 解：∵线段，是线段上一点且， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴． 知识点（三）线段单中点与线段和差综合 条件 基本图形 结论 点是上一点， ，点是线段中点。 点是上一点， ，点是线段中点。 【题型3】利用线段中点与线段和差求线段 【例题2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，已知，M为的中点，点P在上，N为的中点． （1）图中共有 条线段； （2）若，求的长． 【答案】（1）10；（2）6 【分析】本题考查线段定义及线段的中点定义，根据图形进行线段的和与差是解答的关键． （1）根据线段定义求解即可； （2）根据线段中点定义求得，，进而进行线段和与差即可求解． 解：（1）解：如图，图中的线段共有（条）， 故答案为：10； （2）解：∵，M为的中点， ∴， ∵N为的中点，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知，且点是的中点． （1）求的长； （2）若线段上有一点，且，求的长． 【答案】（1）10；（2）2或4 【分析】本题主要考查线段的和差以及线段中点的定义，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题关键． （1）先根据线段的和差得到，再由线段中点的定义即可求解． （2）先求出的长，再根据线段的和求出的长． 解：（1）解：∵， ， 点是的中点， ； （2）解：， ∴， 当点在之间时，； 当点在之间时，； 综上，的长为2或4． 【变式2】（23-24七年级上·山东淄博·期末）已知点C在线段上，线段，点D是的中点，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和差，根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可． 解：如图， ， ． 又点D是的中点，   ． ． 二．提升篇 知识点（四）直线上的线段和与差 条件 基本图形 结论 已知线段，点是直线上一点，，求的长 图一 当点C在线段AB上时， 图二 当点C在线段AB延长线上时， 当出现直线时，往往要进行分类讨论：点在线段上和点在线段延长线上两种情况 【题型4】利用分类讨论思想求直线上的线段和与差 【例题4】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知线段，点C在直线上，且，求线段的长． 【答案】或 【分析】本题考查了线段长度的和与差，线段间的数量关系，在画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据题意正确地画出图形解题． 解：∵， ∴点C不可能在的延长线上， ①如图①，当C在线段上时， ∵，， ； ②如图②，当C在线段的延长线上时， ∵，， ， ； 综上所述，或． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知线段，点是直线上一点，，则线段的长为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，熟练掌握分情况讨论点的位置是解题的关键．分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别计算线段的长度． 解：当点在线段上时， ∵ ，， ∴ ； 当点在线段的延长线上时， ∵ ，， ∴ ． 综上，线段的长为或． 故选：． 【变式2】（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，为线段上一点，点为线段的中点，且． （1）图中共有______条线段； （2）求线段的长； （3）若点在直线上，且线段，求线段的长． 【答案】（1）6；（2）；（3）或 【分析】本题考查了两点间的距离公式，掌握线段的计算方法是解题的关键． （1）根据线段的定义数出结果即可； （2）先求，再求即可； （3）分两种情况讨论：①点在线段上，根据；②点在线段延长线上，根据进行计算即可． 解：（1）解：图中共有，共6条线段， 故答案为：6； （2）解：点为的中点，， ， ， ； （3）解：分两种情况讨论： ①点在线段上，如图所示： ； ②点在线段延长线上， ． 综上：或． 【题型5】利用直线上的线段中点与线段和与差综合求值 【例题5】（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，且，． （1）图中共有 条线段． （2）求的长． （3）若点在直线上，且，求的长． 【答案】（1）6；（2）的长是；（3）的长是或 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的和差，正确的理解题意是解题关键． （1）根据直线上线段的条数公式：直线上有n个点，线段的条数是，可得答案； （2）根据线段中点的性质和线段的和差即可得到结论； （3）根据线段的和差，可得答案． 解：（1）解：图中有四个点，线段有． 故答案为：6； （2）解：点为的中点，， ， ， 答：的长是； （3）解：，， 当点在线段上时， ， 当点在线段的延长线上时， ， 答：的长是或． 【变式1】（23-24七年级上·山东济南·期末）已知点C在直线上，若，E为线段的中点，则的长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点的相关计算，掌握线段的中点的计算方法是解题的关键．根据线段的和差，分类讨论，当点C在线段外时；当点C在线段之间时，根据线段的中点的计算方法即可求解． 解：如图所示， ， ， E为线段的中点， ； 如图所示， ， ， E为线段的中点， ； 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁·期中）已知线段，点在直线上，且，当为线段的中点，则 ． 【答案】2.5或5.5 【分析】本题主要考查两点间的距离的知识点，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键． 分类讨论：点在线段上，点在线段的延长线上两种情况讨论，根据线段中点的定义和线段的和差计算的长度． 解：当点在线段上时，，为的中点， 故，； 当点在线段的延长线上时，，为的中点， 故，． 故答案为：2.5或5.5． 知识点（五）线段上的双中点 条件 基本图形 结论 点是线段上的一点， 、分别为、中点 点是线段上的一点， 、分别为、中点 点是线段上的一点， 、分别为、中点 总结：一个点把一条线段分成两条线段，得到三条线段，任意两条线段中点的距离等于第三条线段的一半。 【题型6】利用线段上双中点模型求线段长 【例题6】（23-24七年级上·广东江门·期末）如图，点C在线段上，M，N分别是线段，的中点． （1）若，，求线段的长度； （2）设，其他条件不变，你能猜出的长度吗？请用一句简洁的话表述你发现的规律． 【答案】（1）；（2），规律：线段上任意一点把线段分成两部分，这两部分中点间的距离等于原线段长度的一半． 【分析】本题考查了线段中点的定义，如果点C把线段分成相等的两条线段与，那么点C叫做线段的中点，这时，或． （1）根据线段中点的定义作答即可； （2）根据线段中点的定义作答即可． 解：（1）∵M，N分别是线段，的中点 ∴， ∴ （2）∵M，N分别是线段，的中点 ∴， ∴． 规律：线段上任意一点把线段分成两部分，这两部分中点间的距离等于原线段长度的一半． 【变式1】（24-25七年级上·广东湛江·期末）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点间的距离，根据线段中点的定义解答即可，解题的关键是熟练掌握线段的定义，数形结合． 解：∵M是线段的中点， ∴， ∵N是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，数轴上的点A，B分别表示数，2，C，D分别是线段AB，AC的中点，则点D表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，线段的中点． 由题意可得的长度，然后利用线段的中点求得的长度，再结合数轴即可求得点D表示的数． 解：∵数轴上的点A，B分别表示数，2， ∴， ∵C，D分别是线段AB，AC的中点， ∴， ， ∴点D表示的数为：． 故选：B 【变式3】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的中点，线段． （1）求线段的长； （2）如果点在线段上，且，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查线段中点的有关计算，线段n等分点的有关计算，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据线段中点的特点得到对应线段之间的数量关系进行求解，即可解题； （2）根据得到的长，再根据求解，即可解题． 解：（1）解：点是线段的中点，线段， ， 点是线段的中点， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ． 三．培优篇 知识点（六）直线上线段的双中点 条件 基本图形 结论 点是直线上的一点， 、分别为、中点， 求的长 点在线段上 点在线段延长线上 点在线段延长线上 【题型7】利用双中点模型求直线上的线段长 【例题7】（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，点为线段上一点，，，点、分别是、的中点． （1）求线段的长； （2）如果点在直线上，，求线段的长度． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据中点，求出和的长度，从而求出的长度． （2）根据题意，分情况讨论，①在线段间，且靠近点，利用中点先求出的长度，进而求出的长度，结合已知条件即可求出的长度；②当点在线段的反向延长线上，则靠近点，观察线段，根据线段端点所在位置，即可直接算出的长度． 解：（1）解：点、分别是、的中点，，， ，， ， ． 故答案为：． （2）解：①当点在线段上，，则在线段间，且靠近点， 有． 点分别是的中点，， ． ，， ． ， ． ②当点在线段的反向延长线上，则靠近点，有， ， ． 综上所述：如果点在直线上，线段的长度为13cm或7cm． 故答案为：13cm或7cm 【点拨】本题考查了两点间的距离以及线段中点的定义，利用线段的和差以及分情况讨论是解题关键． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·期中）已知A，B，N为直线l上的点，M是线段的中点，．若，则表示为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的和差关系，线段中点的定义，分两种情况点在上和点在的延长线上“利用线段的和差关系与中点的定义义逐步求解”是解本题的关键. 解：如图：当点在上时，    ∵M是线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图：当点在的延长线上时，    ∵M是线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故长为或 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）直线上有一点，点，分别为，的中点，线段． （1）如图，若点在线段上运动时，的长为_____； （2）若点在直线上运动时，试说明线段的长度与点在直线上的位置无关． 【答案】（1）7；（2）见分析 【分析】本题考查的是两点间的距离，线段中点的性质． （1）由线段的中点的性质可求的长； （2）分点P在点A左侧，点P在线段上，点P在点B右侧，由线段的中点的性质可求． 解：（1）解：∵点M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 故答案为：7； （2）证明：分以下三种情况： 当点在点左侧时， 因为点，分别为，的中点， 所以，， 所以； 当点在线段上时， 因为点，分别为，的中点， 所以，， 所以； 当点在点右侧时， 因为点，分别为，的中点， 所以，， 所以． 所以综上所述：线段的长度与点在直线上的位置无关． 【题型8】中点模型与动点问题 【例题8】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． （1）当时，则线段________，线段________； （2）当为何值时，？ （3）点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 【答案】（1）4；3；（2）或；（3），定值为5 【分析】本题考查线段动点问题，线段中点性质，线段和差关系 （1）根据可求出的长以及的长，再由是线段的中点，即可求得； （2）分情况讨论，当时，存在；当时，存在，考虑两种情况即可； （3）根据点和点的速度，可以大概画出示意图，从而表示出线段，即可求得． 解：（1）解：∵，点以的速度运动， ∴时，，， ∵是线段的中点， ∴ 故答案为： （2）解：∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 当点从时， 当点从时， ∵点沿的路线需要 故 综上所述，当为或时，． （3）解：如图， 由题意得：点的速度是，点速度为 ∵， ∴点在点右侧， 由题意可知 ∴ ∵是线段的中点 ∴ 即 ∵线段的长度始终是一个定值 ∴ 故解得，定值为5 【变式1】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知线段，点是线段延长线上一个动点，是线段的中点． （1）如图，若，求线段的长； （2）若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是____________； ①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大． （3）若，画出所有符合条件的图形并求线段的长． 【答案】（1）线段的长为；（2）④；（3）画图见分析，的长为或 【分析】本题主要考查了线段之间的和差关系，线段中点的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意进行分类讨论． （1）先根据题意求出的长度，再根据中点的定义求解即可； （2）根据题意将的长度表示出来，即可进行解答； （3）分两种情况画出图形，讨论即可：当点D在上时，当点D在延长线上时． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴ ∴ ∴线段的长为； （2）解：∵随着的变长，越来越靠近点，当是点与重合，然后点离点越来越远， 故选：④； （3）解：当点在上时， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； 当点在延长线上时， ∵，， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴． 综上所述：的长为或． 【变式2】（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为和8． 实践探究 （1）线段的长为________； （2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ①当时，线段________，线段________，点P表示的数为________；（用含t的代数式表示） ②若点M是线段的中点，点N是线段的中点，当动点P在（2）条件下运动时，线段的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段的长度． 【答案】（1）10；（2）①，，；②的长与点P的运动时间t无关，的长度为5 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式计算即可得解； （2）①由题意可得点表示的数为，再根据两点间的距离公式计算即可得解； ②分两种情况：当时，线段，线段；当时，线段，线段；分别求解即可得解． 解：（1）解：线段的长为； （2）解：①∵动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为， ∴当时，线段，线段； 故答案为：； ② 当时，线段，线段； ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴； 当时，线段，线段， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴； 综上所述，的长与点P的运动时间t无关，的长度为5． 【题型9】多中点模型 【例题9】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点，在线段的延长线上取一点，使是的中点…，按这样操作下去，线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键．根据线段中点的定义，找出题目中的规律求出，因此，进而中点的定义即可解答． 解：∵，是的中点， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∵，是的中点， ∴， ．．．； ∴， ∴． ∵是的中点， ∴． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化规律问题，结合题意确定图形变化规律是解题关键．首先根据题意可知，即可获得答案． 解：根据题意，，和的中点、， ∴， ∴， 同理可得， ， …… ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·期中）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 解：线段，线段和的中点分别为，， ， 线段和的中点，， ， 发现规律： ， ， 故选：D． 【点拨】本题考查了线段规律性问题，与中点有关的计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $