2026-2027学年北师大版八年级上册数学第一次月考学情自测卷二（范围：第1-2章）-

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 第一次月考重难点学情自测卷二（范围：第1-2章） 一、选择题（共20分） 1．在2，，，10，8.19，六个数中，非负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：题中的非负数有2，10，8.19，，共4个． 2．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．2，3，4 D．1，2， 【答案】A 【分析】勾股数需满足两个条件，三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可. 【详解】解：A选项：∵，， ∴，且3，4，5都是正整数，因此是勾股数； B选项：，，，因此不是勾股数； C选项：，，，因此不是勾股数； D选项：不是正整数，不满足勾股数要求，因此不是勾股数. 3．3的平方根是（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：3的平方根是． 4．如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再结合轴对称性质求解即可． 【详解】解：，，， 在中，， 与关于直线对称， ． 5．下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母；根据定义逐一分析各选项即可． 解：A、：，其中为完全平方数，故A不是最简二次根式； B、：，被开方数含分母，故B不是最简二次根式； C、：分母含根号，故C不是最简二次根式； D、：，无完全平方因数，且被开方数不含分母，满足最简二次根式的条件． 6．下列各数：0，，，，，，，（每两个3之间多一个0）中无理数个数是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】先化简，再按无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：，， 整数、分数、循环小数均为有理数， ，，（循环小数），（整数），（分数）都是有理数， 无限不循环小数是无理数， ，，（每两个3之间多一个0，无限不循环）是无理数， 共3个． 7．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与不能合并，故本选项计算错误，本选项不符合题意； B、，故本选项计算错误，本选项不符合题意； C、，故本选项计算错误，本选项不符合题意； D、，故本选项计算正确，本选项符合题意． 8．如图，点O是一港口，渔船A从O出发沿北偏东方向以12海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以10海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船相距的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以12海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以10海里/时的速度出海， ∴， 两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）， D选项符合题意． 9．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 【答案】C 【分析】拼接前后图形的总面积不变，则边长为c的正方形面积为，即边长为c的正方形的边长为，则可证明，根据图形可知分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，拼接前后图形的总面积保持不变，原说法正确，不符合题意； B、∵拼接后的大正方形面积等于两个正方形纸片的面积， ∴拼接后的大正方形的面积为， ∴拼接后大正方形的边长为，原说法正确，不符合题意； C、拼接过程中，分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，原说法错误，符合题意； D、∵拼接后大正方形的边长为，又为c， ∴，即，原说法正确，不符合题意； 10．如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点（即小正方形的顶点）上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，然后通过勾股定理求出即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴． 二、填空题（共16分） 11．如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体．如果它的体积为，那么它的棱长为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了立方根的应用，由正方体的体积及立方根即可求解． 【详解】解：设正方体的棱长为a，则， ∴， 故答案为：4． 12．如图，一轮船以6海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距________海里． 【答案】20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方位角，由题意得出海里，海里，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，设一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行到，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行到， 由题意得：(海里)，(海里)，， (海里)， 离开港口2小时后，则两船相距海里. 13．观察式子：，， ，…，由此得到的规律，请你用含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来_____． 【答案】 【分析】根据前几个等式的变化规律可得结论． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …， 以此类推，第n个等式：． 14．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 【答案】 【分析】根据勾股定理并结合图形可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴，， ∵正方形A、D、E的面积依次是7、3、12， ∴，， ∴， ∴． 15．已知满足，则的值为______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性可得，进而得到，所以可化简为，即可求出． 【详解】解：， 根据算术平方根的非负性，， ， ， ， ． 可化简为， ， ， ． 16．如图，四边形是一张平行四边形纸片，为对角线，沿直线翻折得到，交于点，连接分别交，于点，．已知，，则线段________． 【答案】5 【分析】由翻折得：，，由勾股定理得． 【详解】解：由翻折得：，，， 平行四边形， ， ，， ． 17．如图，在等腰直角三角形中，，O是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理与逆定理，根据全等三角形的性质得出，， ，根据等式的性质得出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理的逆定理得出，然后根据求解即可． 【详解】解：连接． ， ，， ， ，即， 在中，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 18．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 【答案】/ 【分析】通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，， ∴， ∴， 同理，，……， 以此类推可得， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，， ∴． 三、解答题（共64分） 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) ． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．定义：若无理数的被开方数（N为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若整数x，y满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数，非负数的性质：绝对值与算术平方根，熟练掌握无理数的大小估算是关键．． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据非负数的性质求出x和y值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”为； 故答案为：； （2）解：   ， ，    的“共同体区间”为 的“共同体区间”为． 21．（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______cm． （2）如图2，小逸同学打算将一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形，使该长方形的长和宽之比为，你认为小逸能裁出符合条件的长方形吗？若能，计算出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）设长方形的长、宽分别为，宽为， 由题意可得， 解得（负值舍去）， 所以． 由正方形木板的面积为，得该正方形木板的边长为． 因为， 所以小逸不能裁出符合条件的长方形． 【分析】本题考查算术平方根及勾股定理： （1）利用勾股定理计算即可； （2）先求得正方形的边长，设长方形纸片的长为，宽为，列得方程后解得x的值后分别求得长和宽后与正方形的边长比较即可． 【详解】解：（1）由题意得， 即大正方形的边长为， 故答案为：； （2） 略 22．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法，现请你根据小明的说法解答： (1)为的小数部分，为的整数部分，求的值． (2)已知，其中x是一个正整数，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断和在哪两个整数之间，结合和的条件，判断和的值，即可求出的值． （2）利用正整数和，结合，判断和的具体值，代入即可求出答案． 【详解】（1）解： 为的小数部分，为的整数部分，，， ，， ∴． （2）解：，其中是一个正整数，，， ，， 23．图为某学校安装的自动伸缩式窗户，图为其侧面示意图，窗框高度，、分别为伸缩杆与窗框、玻璃底部的连结点，．当窗户闭合时，、恰好重合． (1)当窗户开启最大模式时（如图），伸缩杆长度为，请判断伸缩杆与窗框的位置关系，并说明理由． (2)如图，当、间的垂直高度差时，求伸缩杆的长度． 【答案】(1)解：，理由如下： 根据题意可知，， ，， ， ∵， ， ， 故伸缩杆与窗框的位置关系为． (2) 【分析】（1）借助勾股定理逆定理证出直角，得到伸缩杆与窗框的位置关系； （2）过点作，先求出线段、，根据勾股定理算出，再在中，利用勾股定理求出伸缩杆的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作， 根据题意可知，， ，， ， ， ， ， 在中，． 24．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图2），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)如图1，以直角三角形的三边为边分别向外部作正方形，已知，，求的值； (2)请根据图2中的“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程； (3)如图3，以直角三角形的三边为直径分别向外部作半圆，已知，，求的值． 【答案】(1)36 (2)见解析 (3)19 【分析】（1）根据题意得，再分别计算正方形的面积，即可完成求解； （2）图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可； （3）结合题意，首先分别求出以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角形的面积，根据图形特点表示出，结合勾股定理，即可得到答案． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， ∴； （2）解：∵． 即， 化简得：． （3）解：由勾股定理可得：． ∵，，， ∴， ∴． 25．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为____________，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________． 【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，如图， 由题意得， ， 故这只蚂蚁爬行的最短路程为． 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ，此时蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短，最短路程为的长， ， ∴， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 第一次月考重难点学情自测卷二（范围：第1-2章） 一、选择题（共20分） 1．在2，，，10，8.19，六个数中，非负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．2，3，4 D．1，2， 3．3的平方根是（     ） A． B． C． D．3 4．如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 6．下列各数：0，，，，，，，（每两个3之间多一个0）中无理数个数是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，点O是一港口，渔船A从O出发沿北偏东方向以12海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以10海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船相距的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 9．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 10．如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点（即小正方形的顶点）上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的值为（    ） A． B．5 C．4 D． 二、填空题（共16分） 11．如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体．如果它的体积为，那么它的棱长为_____． 12．如图，一轮船以6海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距________海里． 13．观察式子：，， ，…，由此得到的规律，请你用含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来_____． 14．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 15．已知满足，则的值为______． 16．如图，四边形是一张平行四边形纸片，为对角线，沿直线翻折得到，交于点，连接分别交，于点，．已知，，则线段________． 17．如图，在等腰直角三角形中，，O是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为______． 18．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 三、解答题（共64分） 19．计算： (1)； (2)． 20．定义：若无理数的被开方数（N为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若整数x，y满足关系式：，求的“共同体区间”． 21．（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______cm． （2）如图2，小逸同学打算将一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形，使该长方形的长和宽之比为，你认为小逸能裁出符合条件的长方形吗？若能，计算出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 22．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法，现请你根据小明的说法解答： (1)为的小数部分，为的整数部分，求的值． (2)已知，其中x是一个正整数，，求的值． 23．图为某学校安装的自动伸缩式窗户，图为其侧面示意图，窗框高度，、分别为伸缩杆与窗框、玻璃底部的连结点，．当窗户闭合时，、恰好重合． (1)当窗户开启最大模式时（如图），伸缩杆长度为，请判断伸缩杆与窗框的位置关系，并说明理由． (2)如图，当、间的垂直高度差时，求伸缩杆的长度． 24．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图2），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)如图1，以直角三角形的三边为边分别向外部作正方形，已知，，求的值； (2)请根据图2中的“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程； (3)如图3，以直角三角形的三边为直径分别向外部作半圆，已知，，求的值． 25．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为____________，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________． 【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 学科网（北京）股份有限公司 $