第一次月考重难点学情自测卷一（范围：第1-2章）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 第一次月考重难点学情自测卷一（范围：第1-2章） 一、选择题（共20分） 1．在中， ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即可求解． 【详解】解：在中，，， ． 2． 的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 3．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质、立方根的定义、同类二次根式，分别判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； B．∵， ∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； C．∵， ∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； D．∵不是同类二次根式，不能合并， ∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意． 5．大于且小于的整数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】通过比较算术平方根和分数的大小，确定整数范围再进行求解即可． 【详解】解：设大于且小于的整数为， ∵，即， ∴， ∵， 整数n满足且 ， ∴且 ， ∴， 共5个整数． 6．电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知数据代入公式，直接求解电流． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴（舍去负值）， ∴ 电流为． 7．在中，，，，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】确定最长边，比较最长边的平方与两短边平方和的大小关系即可判断三角形类型． 【详解】解：∵为最长边，，， ∴， ∴是直角三角形． 8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形较长的直角边长是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是（     ） A．4 B．6 C．9 D．16 【答案】A 【分析】设直角三角形的斜边长为c，较短的直角边长为b，较长的直角边长为a，根据题意，得，，小正方形的边长为，计算的值即可． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为c，较短的直角边长为b，较长的直角边长为a， 根据题意，得，，，小正方形的边长为， ∴， 解得或负值舍去； 故，即小正方形的面积是4． 9．如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴； 由作图方法可得， ∵点B表示的数为2，且点A在点B的左侧， ∴． 10．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为（     ） A．米 B．米 C．4米 D．米 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故树高为米. 二、填空题（共16分） 11．王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________． 【答案】 【分析】原铁块总体积减去余料体积等于三个小正方体的体积和，据此列方程求解即可得到小正方体的棱长． 【详解】解：设制作成的每一个小正方体铁块的棱长为， 根据题意，得 ， 整理得 ， 解得， 因此制作成的每一个小正方体铁块的棱长为． 12．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形、记三个正方形的面积分别为，若，则__________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，结合正方形面积公式可得 ． 【详解】解：设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为 则 由勾股定理得 ∴ ∵ ∴． 13．如图，，在数轴上对应的点分别为，点是的中点，则数轴上点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的特征，以及两点间的距离的求法，解题的关键是要熟练掌握这些内容． 设表示的数是，根据，求出的值即可． 【详解】解：设表示的数是， ∵， ∴ ∴． 14．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，化简：________． 【答案】 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴． 15．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 【答案】 7 【分析】利用勾股定理求出 的长，根据折叠的性质得到 ，从而将 的周长转化为 求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴的周长 ． 16．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵所有的四边形都是正方形， ∴图中所有三角形都为直角三角形， 由勾股定理得：正方形E的面积． 【点睛】 17．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【答案】 【分析】先由速度与时间算出、的长度，再根据方位角推出，最后用勾股定理求出两船距离． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 在中，， 即此时两艘轮船相距． 18．如图，一只蚂蚁要沿长为15，宽为10，高为20的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为5，蚂蚁爬行的最短距离是________． 【答案】 【分析】把长方体的侧面展开，分三种情况求出线段的长，进而比较即可求解． 【详解】解：∵两点之间，线段最短， ∴蚂蚁沿着线段爬行时，路径最短， 把长方体的侧面展开，有三种情况： 如图①， ∵，， ∴； 如图②， ∵，， ∴； 如图③， ∵，， ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 三、解答题（共64分） 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 20．题目：请把实数，，，，表示在数轴上．粗心的小华做题时只将其中两个无理数对应的点表示在了数轴上，得到一个不完整的数轴，请帮他解决下列问题．    (1)题目的五个实数中，是无理数的有__________； (2)在数轴上把题目中的五个实数对应的位置表示出来，并比较它们的大小（用“”连接起来）． 【答案】(1)， (2) 实数在数轴上表示如下：    【分析】（）根据无理数的定义判断即可； （）估算出无理数的大小，进而找到原点位置，即可把各数在数轴上表示出来，最后根据数轴比较出各数的大小即可； 本题考查了无理数的定义及估算，利用数轴比较实数的大小，掌握无理数的定义及估算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴实数，，，，中，是无理数的有，， 故答案为：，； （2）解：∵，， 由数轴可得，． 21．阅读下面材料：；；． (1)根据以上规律，化简： ； (2)化简：（为正整数）= ； (3)比较和的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行化简； （2）利用平方差公式进行化简； （3）先进行变形，，，比较和，分数比较大小，分子相同时，分母大的分数反而小． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：，， ， ， ． 22．如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质证明，，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可； （2）连接，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 设，则，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 23．著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】(1)两 (2) (3)；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 24．“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，我们常用图形面积来解释一些公式或完成证明． (1)如图1，通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式：________； (2)图2是我国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为c，直角三角形的长直角边长为b，短直角边长为a，请通过面积证明：； (3)由（2）可知，在直角边分别为，斜边为c的直角三角形中，有．请你用这个结论解决问题：如图3，在中，，点E在上，将沿折叠，点C的对应点D恰好落在上，求的长． 【答案】(1) (2) 解：根据题意得，大正方形的面积为：， ∵大正方形是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的，直角三角形的长直角边长为 b，短直角边长为a， ∴， ∴； (3) 【分析】题目主要考查完全平方公式与图形的关系，勾股定理解三角形，折叠的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据图形计算面积即可得出相应公式； （2）根据题意利用两种方式计算正方形面积即可得出结果； （3）根据勾股定理得出，再由题意得出，，设，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，大正方形的面积可以表示为：，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵将沿折叠，点C的对应点D恰好落在上， ∴，， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的长为． 25．【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，它首次将代数与几何紧密联系，其证明过程培养了演绎推理能力，为后续几何学发展奠定基础． (1)【初步感知】勾股定理的证明方法非常丰富．如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为c．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理； (2)【问题解决】如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)【拓展延伸】如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使，现测得千米，千米，千米，求新修路的长为________千米．（只填空） 【答案】(1) 解：方法一：； 方法二：； 整理，得， 所以； (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据面积法求解即可； （2）先由勾股定理求解，然后由勾股定理逆定理证明，最后由求解即可； （3）设，则，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设千米，则千米， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴（千米）． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 第一次月考重难点学情自测卷一（范围：第1-2章） 一、选择题（共20分） 1．在中， ，则（　　） A． B． C． D． 2． 的绝对值是（     ） A． B． C． D． 3．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．大于且小于的整数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（     ）． A． B． C． D． 7．在中，，，，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形较长的直角边长是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是（     ） A．4 B．6 C．9 D．16 9．如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是（     ） A． B． C． D． 10．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为（     ） A．米 B．米 C．4米 D．米 二、填空题（共16分） 11．王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________． 12．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形、记三个正方形的面积分别为，若，则__________． 13．如图，，在数轴上对应的点分别为，点是的中点，则数轴上点表示的数是______． 14．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，化简：________． 15．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 16．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 17．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 18．如图，一只蚂蚁要沿长为15，宽为10，高为20的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为5，蚂蚁爬行的最短距离是________． 三、解答题（共64分） 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 20．题目：请把实数，，，，表示在数轴上．粗心的小华做题时只将其中两个无理数对应的点表示在了数轴上，得到一个不完整的数轴，请帮他解决下列问题．    (1)题目的五个实数中，是无理数的有__________； (2)在数轴上把题目中的五个实数对应的位置表示出来，并比较它们的大小（用“”连接起来）． 21．阅读下面材料：；；． (1)根据以上规律，化简： ； (2)化简：（为正整数）= ； (3)比较和的大小． 22．如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 23．著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 24．“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，我们常用图形面积来解释一些公式或完成证明． (1)如图1，通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式：________； (2)图2是我国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为c，直角三角形的长直角边长为b，短直角边长为a，请通过面积证明：； (3)由（2）可知，在直角边分别为，斜边为c的直角三角形中，有．请你用这个结论解决问题：如图3，在中，，点E在上，将沿折叠，点C的对应点D恰好落在上，求的长． 25．【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，它首次将代数与几何紧密联系，其证明过程培养了演绎推理能力，为后续几何学发展奠定基础． (1)【初步感知】勾股定理的证明方法非常丰富．如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为c．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理； (2)【问题解决】如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)【拓展延伸】如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使，现测得千米，千米，千米，求新修路的长为________千米．（只填空） 学科网（北京）股份有限公司 $