3.4 函数的应用（一）同步练（拔高）—2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4 函数的应用（一） 1.红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼是我国的一种传统文化.小明在春节前购进一种红灯笼，灯笼每对的进价为30元，若该灯笼每对售价50元时，每天可售出100对，售价每提高1元，则每天少售出1对.市场监管部门规定其销售单价不得高于每对68元，则该种灯笼一天获得的最大利润为( ) A.2816元 B.3116元 C.3276元 D.3600元 2.“空气质量指数AQI”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当AQI大于200时表示空气污染严重，不宜开展户外活动.某地某天时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为( ) A.6小时 B.7小时 C.8小时 D.9小时 3.某企业一个月生产某种商品x万件时生产成本为（万元），每件商品售价为28元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是( ) A.当生产12万件时，当月能获得最大总利润144万元 B.当生产12万件时，当月能获得最大总利润160万元 C.当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为24元 D.当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元 4.某乡村要修建一条长的水渠，水渠的过水横断面为底角为的等腰梯形（如图），水渠底面与侧面的修建造价均为100元.为了提高水渠的过水率，则过水横断面的面积要尽可能大.现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度（即梯形的高）约为（参考数据：）( ) A. B. C. D. 5.小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.问：当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？( ) A.60 B.100 C.140 D.180 6.在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设每人限购1件的情况下，直播在线购买人数y与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式：，其中，m为常数.当该产品销售单价为25元时，在线购买人数为2015.假设该产品成本单价为20元，则下列说法错误的是( ) A.实数m的值为10000 B.销售单价越低，直播在线购买人数越多 C.当x的值为30时利润最大 D.利润最大值为10000元 （多选）7.“双11”购物节中，某电商对顾客开展购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠： （1）如果购物总额不超过50元，则不给予优惠； （2）如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券； （3）如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠； （4）如果购物总额超过300元，其中300元内的按第（3）条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠。 某人购买了部分商品，则下列说法正确的是( ) A.如果购物时一次性全部付款99元，则购物总额为104元 B.如果购物总额为228元，则应付款为205.2元 C.如果购物总额为368元，则应付款为294.4元 D.如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元 （多选）8.在线直播带货已经成为一种重要的销售方式，假设在线购买人数y与某产品销售单价x（单位：元）满足关系式：，其中，m为常数.当该产品销售单价为25元时，在线购买人数为2015，假设每件该产品的成本为20元，且每人限购1件，则( ) A.m的值为10000 B.销售单价越低，在线购买人数越多 C.当x的值为30时，利润最大 D.利润最大值为10000 9.秋游不仅能让人们放松身心，还能让人们了解自然，热爱自然.某班组织同学去秋游.若参加秋游的人数不超过25，则秋游费用为每人180元;若参加秋游的人数超过25，但不超过45，则秋游费用为每人150元;若参加秋游的人数超过45，则秋游费用为每人120元.若此次秋游的总费用为6600元，则参加此次秋游的人数是______. 10.如图，某小区要建一个八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为24 m的相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2000元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺上塑胶，造价为100元；在四个空角（图中四个三角形）内铺上草坪，造价为400元.若要使总造价不高于24000元，则正方形MNPQ周长的最小值为__________m. 11.某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值（单位：万元）的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于8万元，同时奖金不超过企业年产值的.若函数，则实数m的取值范围为_________. 12.某科技AI研发中心正在研发新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的. （1）求常数c和k的值； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，则有效训练时长取何值时，该模型的标准化训练效率最高？ 答案以及解析 1.答案：B 解析：设红灯笼每对售价提高x元，一天获得的利润为y元. 由题意得. 因为销售单价不得高于每对68元，所以，所以当时， 即该种灯笼的销售单价为68元时，一天获得利润最大，最大利润为3116元.故选B. 2.答案：C 解析：令，解得，此时； 令，解得，此时. 综上，，故该天适宜开展户外活动的时长至多为8小时. 3.答案：D 解析：由题意可得， 故当时，取得最大值128， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当生产12万件时，当月能获得最大总利润128万元， 当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元. 故选：D. 4.答案：B 解析：如图，设过水横断面为等腰梯形ABCD，过点B作于点E，，要使过水横断面面积最大，则需资金3万元都用完，此时，解得，设，则，，， 故，且，梯形ABCD的面积，当时，面积S取到最大值，为，此时，即水渠的深度约为. 5.答案：B 解析：当时，设，则解得，， 于是设车流量为q，则 当时，； 当时，，当且仅当时取等号，所以当时，车流量最大，最大值约为3333辆.故选B. 6.答案：D 解析：将代入，可得，解得， 所以A正确； 因为和在上单调递减，所以在上单调递减，所以B正确； 由题意可得利润，所以当时，利润取得最大值10100元，所以C正确，D错误.故选D. 7.答案：BD 解析：设购物总额为x元，应付款为y元，则， 即，对于A，若，则只能是，解得，即购物总额为110元，故A不正确； 对于B，当时，，即应付款为205.2元，故B正确； 对于C，当时，，即应付款为324.4元，故C不正确； 对于D，若，则只能是，解得，即购物总额为516元，故D正确.故选BD. 8.答案：ABC 解析：将，代入，得，解得，A正确. 是减函数，B正确. 由题意，得利润为，所以当时，利润最大，为10100元，C正确，D错误. 9.答案：44或55 解析：设此次参加秋游的人数为x，由题意可知此次秋游的总费用当，，不符合题意； 当，令，解得，符合题意；当 时，令，解得，符合题意. 综上，此次参加秋游的人数是44或55. 10.答案：4 解析：设正方形MNPQ的边长为，则矩形EFNM的长NF，宽MN分别为，，所以，，， 所以总造价，且， 所以，则，解得， 故，则正方形MNPQ周长的最小值为4 m. 11.答案： 解析：由题意可知为增函数，故，解得. 根据题意可得对恒成立， 故对恒成立. 由对勾函数性质可知，函数在区间上单调递增， 故. 因为在区间上单调递减，所以. 综上，，即m的取值范围为. 12.答案：（1）， （2） 解析：（1） 因为，所以， 所以当时，. 又的函数图象在处是连续不断的， 所以，解得. （2）由（1）可得 当时，. 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 此时，即的最大值为4. 当时， . 综上，当时，该模型的标准化训练效率最高. 学科网（北京）股份有限公司 $