3.3幂函数同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第8节 幂函数（详细解析） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题 1. 下列函数中是幂函数的是（ ） A. y = B. y = + x C. y = D. y = 【答案】 C 【解析】 幂函数的形式为 y = ，即底数是自变量、指数是常数。A 系数为 2，不是；B 是多项式，不是；C y = ，是幂函数；D 中自变量在指数位置，不符合 y = 的形式，不是幂函数。 2. 幂函数 y = f(x) 的图象过点 (2, )，则 f(x) =（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 设 f(x) = ，代入 (2, )： = = ，故 α = ，f(x) = 。 3. 函数 y = 的图象大致是（ ） A. 关于原点对称，在 R 上递增 B. 关于 y 轴对称，在 (0,+∞) 递增 C. 关于原点对称，在 (0,+∞) 递减 D. 关于 y 轴对称，在 (0,+∞) 递减 【答案】 D 【解析】 f(x) = = ，定义域为 x ≠ 0。f(−x) = = = f(x)，是偶函数，图象关于 y 轴对称；又 α = −2 < 0，在 (0,+∞) 上递减。 4. 下列函数中，在区间 (0, 1) 上递减的是（ ） A. y = B. y = C. y = D. y = 【答案】 C 【解析】 幂函数 y = ，当 α > 0 时在 (0,+∞) 递增；当 α < 0 时在 (0,+∞) 递减。只有 C 中 α = −1 < 0。 5. 幂函数 f(x) = ( − m − 1) 在 (0, +∞) 上单调递减，则 m =（ ） A. 2 B. −1 C. 2 或 −1 D. 0 【答案】 A 【解析】 由幂函数定义，系数 − m − 1 = 1，解得 m = 2 或 m = −1。当 m = 2 时，指数 α = 4 − 4 − 3 = −3 < 0，递减，满足；当 m = −1 时，α = 1 + 2 − 3 = 0，f(x) = 1 不递减，舍去。 6. 已知幂函数 y = 的图象过点 (3, )，则下列说法正确的是（ ） A. 函数图象过原点 B. 函数在 (0,+∞) 上递增 C. 函数是偶函数 D. 函数定义域为 R 【答案】 C 【解析】 = = ，α = −2，f(x) = = 。定义域 (−∞,0)∪(0,+∞)，不过原点；在 (0,+∞) 递减；f(−x) = f(x)，是偶函数。 7. 设 a = ，b = ，c = ，则 a、b、c 的大小关系为（ ） A. a < b < c B. c < a < b C. b < a < c D. c < b < a 【答案】 C 【解析】 先比较 a、b：幂函数 y = 在 (0,+∞) 上递减，因 2 < 3，故 > ，即 a > b。再比较 a、c：a = = = ，c = = ，由 < 得 a < c。综上 b < a < c。 8. 函数 y = 的图象是（ ） A. 关于原点对称，在 R 上递增 B. 关于 y 轴对称，在 (0,+∞) 递增 C. 关于原点对称，在 (0,+∞) 递减 D. 关于 y 轴对称，在 (0,+∞) 递减 【答案】 A 【解析】 f(−x) = = − = −f(x)，是奇函数，图象关于原点对称；又 α = 3 > 0，y = 在 (0,+∞) 上递增，且在 R 上递增。 二、多项选择题 9. 关于幂函数 y = ，下列说法正确的是（ ） A. 图象都过点 (1, 1) B. 图象都过点 (0, 0) C. 图象一定不过第四象限 D. α > 0 时在 (0,+∞) 上递增 【答案】 ACD 【解析】 A 任何幂函数在 x = 1 处 y = 1；B 当 α < 0 时 x = 0 无定义；C x > 0 时 > 0，图象在第一、二象限；D 由幂函数性质。 10. 已知幂函数 f(x) = （m ∈ Z）的图象与坐标轴无交点，则下列结论正确的是（ ） A. m 的可能取值为 0，1，2 B. 当 m = 1 时，f(x) 为偶函数 C. 当 m = 0 时，f(x) 为偶函数 D. f(x) 在 (0, +∞) 上单调递减 【答案】 ABD 【解析】 图象与坐标轴无交点，需指数 − 2m − 3 < 0，解得 −1 < m < 3，又 m ∈ Z，故 m = 0，1，2，A 对；m = 1 时 α = 1 − 2 − 3 = −4，f(x) = 为偶函数，B 对；m = 0 时 α = −3，f(x) = 为奇函数，C 错；α < 0 时幂函数在 (0,+∞) 上单调递减，D 对。 11. 已知幂函数 y = 在 (0, +∞) 上单调递减，且它的图象关于 y 轴对称，则 α 的取值可能是（ ） A. −2 B. −4 C. −1 D. 2 【答案】 AB 【解析】 在 (0,+∞) 上递减需 α < 0，排除 D；图象关于 y 轴对称需 f(x) 为偶函数。 A α = −2，f(x) = 为偶函数，满足； B α = −4，f(x) = 为偶函数，满足； C α = −1，f(x) = = 为奇函数，不满足。 三、填空题 12. 幂函数 f(x) = 的图象过点 (2, 8)，则 f(3) =________。 【答案】 27 【解析】 = 8 = ，α = 3，f(x) = ，f(3) = 27。 13. 比较大小：________ （填 >、< 或 =）。 【答案】 < 【解析】 函数 y = = 在 (0,+∞) 上递减，因 > ，故 < 。 14. 若幂函数 f(x) = ( − 3m + 3) 是偶函数，则 m =________。 【答案】 1 或 2 【解析】 由幂函数定义 − 3m + 3 = 1，即 − 3m + 2 = 0，解得 m = 1 或 m = 2。当 m = 1 时 f(x) = = 1（x ≠ 0），是偶函数；当 m = 2 时 f(x) = ，也是偶函数。 四、解答题 15. 已知幂函数 f(x) = ( − m − 1) 在 (0, +∞) 上单调递减。 （1）求 m 的值； （2）判断 f(x) 的奇偶性； （3）若 f(a) = ，求 a 的值。 【答案】 （1）m = 2；（2）奇函数；（3）a = 2 【解析】 （1）由幂函数定义，系数 − m − 1 = 1，即 − m − 2 = 0，解得 m = 2 或 m = −1。 当 m = 2 时，指数 α = 4 − 4 − 3 = −3 < 0，f(x) = 在 (0,+∞) 递减，满足； 当 m = −1 时，指数 α = 1 + 2 − 3 = 0，f(x) = 1 不递减，舍去。 故 m = 2。 （2）f(x) = ，f(−x) = = − = −f(x)，是奇函数。 （3） = ，即 = ，故 = 8，a = 2。 16. 已知幂函数 f(x) = （m ∈ Z）在 (0, +∞) 上是减函数，且为偶函数。 （1）求 f(x) 的解析式； （2）试判断 f(x) 在 (−∞, 0) 上的单调性，并用定义证明。 【答案】 （1）f(x) = ；（2）在 (−∞,0) 上递增 【解析】 （1）在 (0,+∞) 递减需 − 2m − 3 < 0，解得 −1 < m < 3，m ∈ Z，故 m = 0,1,2。 m = 0 时 α = −3，奇函数，不满足； m = 1 时 α = 1 − 2 − 3 = −4，偶函数，满足； m = 2 时 α = 4 − 4 − 3 = −3，奇函数，不满足。 故 f(x) = = 。 （2）f(x) 在 (−∞,0) 上递增。证明：任取 < < 0。 f() − f() = − = 。 由 < < 0 知 、 均为负数，且 离原点更远，故 > ，即分子 − > 0；又分母 > 0。 故 f() − f() > 0，即 f() > f()。 所以 f(x) 在 (−∞,0) 上是增函数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第8节 幂函数 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1. 下列函数中是幂函数的是（ ） A. y = B. y = + x C. y = D. y = 2. 幂函数 y = f(x) 的图象过点 (2, )，则 f(x) =（ ） A. B. C. D. 3. 函数 y = 的图象大致是（ ） A. 关于原点对称，在 R 上递增 B. 关于 y 轴对称，在 (0,+∞) 递增 C. 关于原点对称，在 (0,+∞) 递减 D. 关于 y 轴对称，在 (0,+∞) 递减 4. 下列函数中，在区间 (0, 1) 上递减的是（ ） A. y = B. y = C. y = D. y = 5. 幂函数 f(x) = ( − m − 1) 在 (0, +∞) 上单调递减，则 m =（ ） A. 2 B. −1 C. 2 或 −1 D. 0 6. 已知幂函数 y = 的图象过点 (3, )，则下列说法正确的是（ ） A. 函数图象过原点 B. 函数在 (0,+∞) 上递增 C. 函数是偶函数 D. 函数定义域为 R 7. 设 a = ，b = ，c = ，则 a、b、c 的大小关系为（ ） A. a < b < c B. c < a < b C. b < a < c D. c < b < a 8. 函数 y = 的图象是（ ） A. 关于原点对称，在 R 上递增 B. 关于 y 轴对称，在 (0,+∞) 递增 C. 关于原点对称，在 (0,+∞) 递减 D. 关于 y 轴对称，在 (0,+∞) 递减 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 9. 关于幂函数 y = ，下列说法正确的是（ ） A. 图象都过点 (1, 1) B. 图象都过点 (0, 0) C. 图象一定不过第四象限 D. α > 0 时在 (0,+∞) 上递增 10. 已知幂函数 f(x) = （m ∈ Z）的图象与坐标轴无交点，则下列结论正确的是（ ） A. m 的可能取值为 0，1，2 B. 当 m = 1 时，f(x) 为偶函数 C. 当 m = 0 时，f(x) 为偶函数 D. f(x) 在 (0, +∞) 上单调递减 11. 已知幂函数 y = 在 (0, +∞) 上单调递减，且它的图象关于 y 轴对称，则 α 的取值可能是（ ） A. −2 B. −4 C. −1 D. 2 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12. 幂函数 f(x) = 的图象过点 (2, 8)，则 f(3) =________。 13. 比较大小：________ （填 >、< 或 =）。 14. 若幂函数 f(x) = ( − 3m + 3) 是偶函数，则 m =________。 四、解答题（共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知幂函数 f(x) = ( − m − 1) 在 (0, +∞) 上单调递减。 （1）求 m 的值； （2）判断 f(x) 的奇偶性； （3）若 f(a) = ，求 a 的值。 16. 已知幂函数 f(x) = （m ∈ Z）在 (0, +∞) 上是减函数，且为偶函数。 （1）求 f(x) 的解析式； （2）试判断 f(x) 在 (−∞, 0) 上的单调性，并用定义证明。 学科网（北京）股份有限公司 $