3.3 幂函数同步练（拔高）—2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3 幂函数 1.已知函数是幂函数，且在上递增，则实数( ) A.-1 B.-1或3 C.3 D.2 2.若，，，则它们的大小关系是( ) A. B. C. D. 3.下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是( ) A. B. C. D. 4.“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇曲线（如图）.设点，，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么( ) A. B. C.1 D.3 6.设为定义在R上的奇函数，当时，（a为常数），则不等式的解集为( ) A. B. C. D. （多选）7.已知幂函数，则下列结论正确的有( ) A. B.的定义域是R C.是偶函数 D.不等式的解集是 （多选）8.已知幂函数的图象过点，则对任意的，下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 9.若幂函数为偶函数，则不等式的解集为__________. 10.若幂函数的图象过点，则的定义域是__________. 11.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，实数a满足，则实数a的取值范围是___________. 12.已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令. （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数在区间上的值域； （3）若存在，使得能成立，求实数a的取值范围. 答案以及解析 1.答案：C 解析：由题意知：，即，解得或， ∴当时，，则在上单调递减，不合题意; 当时，，则在上单调递增，符合题意， ∴， 故选：C 2.答案：A 解析：因为在上单调递增，所以，即.又，即，综上，.故选A. 3.答案：D 解析：函数为定义在R上的奇函数，在区间上单调递增，A错误； 函数为定义在R上的偶函数，B错误； 函数的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，C错误；函数为定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，D正确. 4.答案：C 解析：因为是幂函数，所以，解得或.当时，，其图象如图①所示，图象经过第一、二象限； 当时，，其图象如图②所示，图象分布在第一、三象限. 故可得“幂函数的图象分布在第一、二象限”等价于“”， 于是“”可推出“或”，而“或”推不出“”， 于是“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或”的充分不必要条件.故选C. 5.答案：C 解析：因为点，，，所以，， 不妨令点M，N分别在函数，的图象上，将点M，N的坐标分别代入，中，得，，所以，所以.故选C. 6.答案：D 解析：为定义在R上的奇函数， 因为当时，， 所以，故，， 在上单调递增， 根据奇函数的性质可知在R上单调递增， 因为，所以， 由不等式可得，，解可得，， 故解集为， 故选：D. 7.答案：ACD 解析：是幂函数， ，，，定义域为， 故选项B错误. ，故选项A正确. ，其定义域关于原点对称， 又，是偶函数，故选项C正确.，在上单调递减， 在上单调递增，结合选项C知不等式等价于，， 解得或，故选项D正确. 故选ACD. 8.答案：ABC 解析：设，因为幂函数的图象经过点，所以，即，解得，所以，定义域为. 对于A，设，定义域为，因为，所以在上单调递增，又，所以，即，A正确； 对于B，设，定义域为，因为，所以在上单调递减，又，所以，即，B正确； 对于C，D，，，，， 又，所以， 又，，所以，C正确，D错误. 9.答案： 解析：因为为幂函数，则，解得或. 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意，且在上单调递减，在上单调递增.若，则，解得或，即不等式的解集为.故答案为. 10.答案： 解析：设幂函数（为常数），由幂函数的图象过点得，则，所以. 所以.由解得，所以所求函数的定义域是. 11.答案： 解析：幂函数在上单调递减，，解得. ，或.当时，为偶函数，满足条件，当时，为奇函数，不满足条件，则.不等式，即，在R上为增函数，，解得. 12.答案：（1） （2） （3） 解析：（1）因为幂函数在区间上单调递增， 则解得，故. （2）当时，可得， 令，因为， 所以，可得， 所以函数在区间上单调递减， 当时，，当时，. 所以函数在区间上的值域为. （3）令，因为，所以. 因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以， 由基本不等式可得，当且仅当， 即当时，等号成立，所以. 综上可知，实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $