第24章 随机事件及其概率高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

第24章 随机事件及其概率 ]高频考点突破 聚焦高频考点，各个击破 考点一复杂古典概型 小结 这类题的核心是先确定基本事件总数，再枚 典例1现有三个正方体的骰子，每个骰子的 举满足“两数之和等于第三数”的组合，并考虑其 六个面上分别标有点数1、2、3、4、5、6.投掷 排列数 这三个骰子，则其中两个骰子的点数之和恰 对应练习， 好等于余下的一个骰子的点数的概率是 1.创建文明城市，推行垃圾分类.小区里有 ( 可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾和 7 13 A.36 B. 厨余垃圾四种垃圾箱.一天，小林把家里 72 分好类的四袋不同的垃圾拿去投放，则 D.24 小林将四袋垃圾中的三袋垃圾投放错误 的概率是 分析 先求得总的可能情形，根据题意得出有 概率与方程（组）/不等 216种可能，按照不同方式可得共有45种符合 考点 式（组)的综合 题意的情形，进而根据概率公式，即可求解」 典例2从1、2、3、4四个数中任选两个不同 解答：根据树状图法，可得总可能的结果有 的数分别记为m、n,则关于x的不等式组 6×6×6=216(种). x一m<3, 有且只有两个整数解的概 依题意，得1+1=2,1+2=3,1+3=4,1十 2(x-n)+3>1 4=5,1+5=6,2+2=4,2+3=5,2+4=6, 率为 3十3=6，共有9种可能， 1 A.2 B.3 其中1、1、2；2、2、4；3、3、6的排列有(1,1， 1 2)、(1,2,1)、(2,1,1);(2,2,4)、(2,4,2)、 C. 4 D. (4,2,2)；(3,3,6)、(3,6,3)、(6,3,3),共 分析 9种可能， 本题考查了解一元一次不等式组、概率公 1、2、3的排列有(1,2,3)、(1,3,2)、(2,1， 式求概率.简化不等式组得到解集范围，求整数 3)、(2,3,1)、(3,1,2)、(3,2,1),共6种可 解个数为m一n十3，令其等于2得m一n=-1, 再计算满足条件的概率」 能，同理，可得其余排列也有6种可能. .符合题意的共有6×6+9=45（种）. x一m<3, 解答：不等式组 ∴.其中两个骰子的点数之和恰好等于余下 2(x-n)+3>1, 的一个歌了的点数的藏率是完京故 ∴.解集为n-1<x<3十m. 由题意，得m、n均整数， 选D. ∴.整数解的个数为(3+m)一(n一1)-1= 32 第24章随机事件及其概率 m-n+3. 不等式组有且只有两个整数解， x一3有正整数解的概率 ∴.令m-n+3=2,得m-n=-1. 从1、2、3、4中选两个不同的数作为m和n, 列表如下： 2 3 1 (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) 考点三 游戏公平性的判断与规则修改 由表可知，共有12种等可能的结果，其中满 典例3骰子有六个面，点数分别为1、2、3、 足m一n=一1的为(1,2)、(2,3)、(3,4)，共 4、5、6.甲、乙两人玩骰子，他们各自掷一枚 骰子，对掷出的两个数进行某种运算，根据 3种，：满足条件的概率为号子故选℃ 运算的结果来定胜负.但进行什么样的运算 小结 才公平，两人争论不休.后来他们提出了下 概率与不等式组综合的解题方法 面两个方案： 1.先对不等式组进行化简，得到形如a< ①两数之和等于8时甲胜，两数之和等于9 x<b的连续区间，其中a、b由含m、n的式子表 时乙胜； 示.这是后续分析的基础。 ②两数之和大于8时甲胜，两数之差的绝对 2.根据“有且只有k个整数解”的条件，反 值小于2时乙胜， 推出a、b必须满足的不等式范围. 请你用画树状图的方法分析这两个方案是 3.将a、b与m、n代入上一步得到的不等 式，解出m、n需满足的约束条件. 否公平.如果不公平，试修改相应的规则，使 4.结合m、n的取值范围（如从1、2、3、4中 游戏变得公平. 任选两数)，枚举所有满足约束的有序无序组 分析 合.特别注意区分“有序”和“无序”，避免漏数或 分别求出方案①和方案②中甲、乙获胜的 概率，即可求解 重复计数， 5.用有效组合数除以总的基本事件数，得 解答：画树状图如图所示， 到最终概率。 由图可知，共有36种等可能的结果，其中“两 对应练习 数之和等于8”的结果有(2,6)、(6,2)、(3,5)、 2.在△ABC中，AB=6,AC=4,AD是BC (5,3)、(4,4),共5种 边上的中线，记AD=m且m为正整数. “两数之和等于9”的结果有(4,5)、(5,4)、 求m使关于x的分式方程二十4= (3,6)、(6,3),共4种 3-x “两数之和大于8”的结果有(3,6)、(6,3)、 33 数学（华师版）九年级上 (4,6)、(6,4)、(5,6)、(6,5)、(4,5)、(5,4)、 对应练习 (5,5)、(6,6),共10种 3. 境游戏活动如图，有两个质地均匀 “两数之差的绝对值小于2”的结果有(1,1)、 的转盘A、B,转盘A被平均分成3份，分 (2,2)、(3,3)、(4,4)、(5,5)、(6,6)、(1,2)、 别标有数字1、2、3；转盘B被平均分成 (2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(2,1)、(3,2)、 3份，分别标有数字4、5、6.小强与小华 (4,3)、(5,4)、(6,5),共16种 用这两个转盘玩游戏，小强说：“随机转 设事件A:“两数之和等于8”；事件B:“两数 动A、B转盘各一次，转盘停止后，将A、 之和等于9”. B转盘的指针所指的数字相乘，积为偶数 P(A)= 6P(B)= 41 我赢；积为奇数你赢（指针指向两个扇形 69 的交线时，重新转动转盘).” .·P(A)≠P(B), (1)小强指定的游戏规则对双方公平吗？ 方案①不公平 请说明理由， 设事件C:“两数之和大于8”；事件D:“两数 (2)小华认为只要在转盘B上修改其中 之差的绝对值小于2” 一个数字，就可以使这个游戏对双方公 ·P(C)=105 3618,P(D)= 164 3691 平.你认为小华的想法正确吗？ P(C)≠P(D), .方案②不公平 使得游戏公平，需要确保甲、乙两人获胜的 概率相等， (第3题) .·两数之和为偶数的情况有18种，两数之 和为奇数的情况也有18种， .两数之和为偶数、两数之和为奇数的概 率都为2 ∴.可将规则改为两数之和为偶数时甲胜， 两数之和为奇数时乙胜（修改方法不唯一）. 4 6 123456123456123456123456123456123456 (典例3图) 小结 游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机 会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等， 或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜 所包含的情况数目是否相等， 34子（千）米.过点B作G1CH于点G,过点A作AFG 于点F,则AF=HG,FG=AH=千米.：∠BAF 90°-45°=45°，.AF=BF..AF=BF=HG.设AF= BF=HG=x千米.BG=(x+)千米，CG=CH HG=(停-)千米：∠G=90-0=0器 1 tan30°.∴. 3 8 BG=55千 8 22 米.：C=2G=5一5千米.图书信B与少年宫C之 4 间的距离为5一3千米.(2)如图，设两人在CB上的，点 4 E处相遇，连结DE,过点E作EK⊥CD于点K.小钟 的速度为小依的速度的号倍，·设CE=2m千米，DE- 3m千米.∠ECK=180°-60°-60°=60°，.CK= E=m千米，K-号CE=Bm千米DK √DE2-EK=√6m千米.∴.√6m=1-m,解得m 6.CR-26千米E=C-E- 5 25-55-86+8≈0.24（千米）.两人的相遇点距目的 20 地B的距离约为0.24千米. 北 5 个，东 60C 60 (第5题) 第24章 随机事件及其慨率 [高频考点突破] O号画树状图（分别用A,B.CD表示可回收垃圾，不 可回收垃圾、有害垃圾、厨余垃圾四种垃坂箱，用a、b、c、d 表示装有可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾、厨余垃圾 的垃圾袋)如图所示.由图可知，共有24种等可能的结果， 附：答案与解析 其中将四袋垃圾中的三袋垃圾投放错误的结果有8种， “将四袋垃坂中的三袋垃圾投放错误的概率为3 81 A D dcdbeb de daca dbdaba cbcaba (第1题) ②如图，延长AD到点E,使AD=DE,连结BE.,AD 是BC边上的中线，.BD=CD.在△ADC和△EDB中， AD-ED. ∠ADC=∠EDB,∴.△ADC≌△EDB(SAS).∴.AC= DC-DB, BE=4.在△ABE中，AB-BE<AE<AB十BE,∴.6 4<2AD<6+4.∴.1<AD<5,即1<m<5.:m为正整 数，m=2、3,4解分式方程二1+4= 3-x 2-3得x -12.:x为正整数，m-4<0.·m<4.小m=2、 m-4 2“m使关于的分式方程一十4一己有正弦数 3-x 解的概率为2 B D (第2题) ③(1)不公平.理由：画树状图如图所示.由图可知，共有 9种等可能的结果，其中积为偶数的结果有7种，积为奇数 的结果有2种，“P(小强赢)=日，P(小华煮)=号 :子≠号“游戏规则对双方不公平。(2)不正确 共有9种等可能的结果，∴做不到公平.小华的想法 不正确. B45 积45 81012121518 (第3题) 47 数学（华师版）九年级上 [综合素养提升] B设“我”“爱”“祖”“国“四个字对应的字母为a、b、c、 d,则所有的结果有(abcd)、(abdc)、(acbd)、(acdb)、(adbc)、 (adcb)、(badc)、(bacd)、(bcad)、(bcda)、(bdac)、(bdca)、 (cabd)、(cadb)、(cbad)、(cbda)、(cdab)、(cdba)、(dabc)、 (dacb)、(dbac)、(dbca)、(dcab)、(dcba),共24种.其中，都 不相同的结果有(badc)、(bcda)、(bdac)、(cadb)、(cdab)、 (cdba)、(dabc)、(dcab)、(dcba),共9种..能中奖的结果 155 有24-9=15（种）.·小嘉宾中奖的概率为24=8 日号分成两种情况：当一次向上走两个单位长度时，即 从4列中选一列，一次向上走两个单位长度，共有4种走 法；当分两次向上走一个单位长度时，即从4列中选2列， 共有4×3：2=6（种）..从A点到B点的路线共有4十 6=10(种)：再计算由A到C再到B的情况：步骤一，从A 点到C点的路线共有3种：步骤二，从C点到B点的路线 共有2种，∴.从A点经过B点再到C点的路线共有2× 36(种).“小明能够不绕路的概率是19。号 ③(1)画树状图如图所示.由图可知，共有12种等可能的 结果，其中可进人迷宫中心的结果有4种，∴.小军能进人 迷宫中心的概率为是-子（②）不公平由图可知，P(6 的倍数)-号P(非5的倍数的奇数)最日，P年5的 倍数的隔数)是子：不公平要想游戏公平，可将带 二道环上的数4改为任一奇数.(3)设小军x次进人迷 宫中心，则2x十3(10一x)≤28，解得x≥2.∴.小军至少 2次进入迷官中心」 135135135135 积3915412206183082440 (第3题) x+2y=2①， ④记 ①×m-②，得(2m-n)y=2m-3. x+ny=3②， 当2m-n=0时，方程组无解；当2m一n≠0时，y= 细将)领代人①.得=8：二元-次 2m-n' 48 x+2y=2, 方程组 只有非负解， 6-2m 2m-3 ≥0， mx+ny=3 2m-n 2m-n 0.当2m-n>0时，6-21≥0,2m-3≥0，解得2m>,n≤ 3m≥号当0=1时，m=2.3.56:当0=2时m=2 3、4、5、6;当n=3时，m=2、3、4、5、6.当2m-n<0时，6- 2u≤0,2m-3<0,解得2m<,n≥3，m≤.当m=1时， n=3、4、5、6.综上所述，共有36种等可能的结果，其中只有 非负解的结果有19种，“只有非负解的概率为36 19 01方（②）：关于：的分式方程号+3=产 有整数解，∴3-ax十3(x-3)=一x,解得x=4一0 6 x≠3a≠2当a=-21时，分式方程号十 3=3二2有整数解.：关于x的-次函数y=(a十1)x十 a一4的图象不经过第二象限，∴.a十1>0，a一4≤0. ∴-1<a≤4.∴当a=0、1、2时，关于x的一次函数y= (a十1)x十a一4的图象不经过第二象限.综上所述，当a= 1时，使得关于x的分式方程号十3一3号有整数解。 且关于x的一次函数y=(a+1)x十a一4的图象不经过第 二象限·使得关于x的分式方程号+3=3号有整 数解，且关于x的一次函数y=(a十1)x十a-4的图象不 经过第二象限的概率是行.(3)：一元二次方程十 2a.x十b2=0的两根均为正数，∴.x1十x2=一2a>0, x1x2=b2>0,4=4a2-4b2=4(a+b)(a-b)≥0..a< 0,b≠0，且|a|≥|b.画树状图如图所示，由图可知，共有 20种等可能的结果，其中使一元二次方程x2+2ax十b2= 0的两根均为正数的结果有4种.∴.使一元二次方程x2+ 2a:十6-0的两根均为正数的概率为易号· -2 -1 0 6个2介2④22 (第5题)