第二十四章 随机事件及其概率 单元测试培优卷 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 华东师大九年级上册“随机事件及其概率”单元培优卷，以生活情境（如动车座位分配）、文化传承（如围棋、“吉祥如意”卡片）为载体，覆盖概率计算、统计分析等核心知识，适配单元复习，提升数学思维与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题40分|事件分类、概率意义、频率估计概率|第3题结合对话辨析随机与不可能事件，体现数学眼光| |填空题|4题20分|树状图/列表法、几何概率|第12题电路图概率，融合物理情境，培养应用意识| |解答题|6题60分|统计图表分析、创新定义应用|第19题“完美数组”定义新运算，第20题快递公司选择结合统计，发展推理能力与数据观念|

华东师大九年级上册 第二十四章 随机事件及其概率 单元测试培优卷 一、单项选择题（每小题4分，满分40分） 1．下列说法正确的是（　　） A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式 B．为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图 C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次必有1次中奖 D．“投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为必然事件 2．下列事件为必然事件的是（　　） A．射击一次，中靶 B．画一个三角形，其内角和是 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D．12人中至少有2人的生日在同一个月 3．周一上午，在上学的路上，小明对小强说：“感觉要下雨了，今天的升旗仪式估计得改在室内举行了．”小强回应道：“不仅升旗仪式要改在室内，而且体育课也得改成室内健康课了．”小明叹了口气：“哎……太可惜了，我还打算在体育课上展示举起万斤的哑铃呢．”小强催促道：“快点啊，可能要迟到了．”对话内容中，随机事件和不可能事件分别为几件（　　） A．5，0 B．4，1 C．3，2 D．2，3 4．小军在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验可能是(　　) A．一个不透明的袋中装有除颜色外其他完全相同的 2个绿球和 1个蓝球.任意摸出 1个球，摸到蓝球的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，偶数点数朝上的概率 C．从一副去掉大、小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到红桃的概率 D．任意买一张高铁二等座票(一排五座)，座位靠窗的概率 5．小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮坐在靠窗位置的概率是（　　） A． B． C． D． 6．不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（　　）． A． B． C． D． 7．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外均相同，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到不同颜色的棋子的概率是（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（　　） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 9．某校九年级学生中有5人在省数学竞赛中获奖，其中3人获一等奖，2人获二等奖．老师从5人中选2人向全校学生介绍学好数学的经验，则选出的2人中恰好一人是一等奖获得者，一人是二等奖获得者的概率是（　　）． A． B． C． D． 10．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于n2，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（　　）． A． B． C． D． 二、填空题（每小题5分，满分20分） 11．现将背面完全一样，正面分别写有“吉”“祥”“如”“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，从中同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是　 　. 12．某设备的电路图如图所示，随机闭合三个开关S1，S2，S3中的两个，则灯泡L3亮的概率为　 　. 13．在平面直角坐标系中，作OOAB，其中三个顶点分别是O(0，0)，B(1，1)，A( ， )，其中点A，O，B不在同一直线上且-2≤ ≤2，-2≤ ≤2， ， 均为整数，则所作OOAB为直角三角形的概率是　 　. 14．有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为，则使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为　 　 ． 三、解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 15．一个箱子中共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同. （1）从箱子中随机摸出一个球后，放回箱子，搅匀后再摸出一个球，请画树状图或列表求两次摸出的球都是白球的概率. （2）小慧向这个箱子中再放入m个红球，若此时从箱子中随机摸出一个球是红球的概率为，求m的值. 16． 如图，图 1和图 2均是可以自由转动的转盘，图 1被平均分成 9等份，分别标有 1，2，3，4，5，6，7，8，9这 9个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字(当指针恰好指在分界线上时重转)；图 2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是 120°，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色(当指针恰好指在分界线上时重转). 小明转动图 1的转盘，小亮转动图 2的转盘. （1）求小明转出的数字大于 3的概率； （2）小颖认为，小明转出的数字大于 3的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同. 她的看法正确吗?为什么? 17．为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A.五谷画，B.彩陶，C.剪纸，D.排灯.现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查(每位学生必选且只能选一门课程)，根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图. 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为　 　人，并补全条形统计图； （2）“D课程”在扇形图中的圆心角的度数为　 　度； （3）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一门，用树状图或列表法求两人恰好选到同一门课程的概率. 18．已知甲同学手中藏有三张分别标有数 ， ，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数1，3，2的卡片，所有卡片外形相同.现从甲、乙两人手中各任取一张卡片，并将它们所标的数分别记为a，b. （1）请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果. （2）现制订一个游戏规则：若所选出的a，b能使得方程 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜.这个游戏规则公平吗?请用概率知识解释. 19．将个0或排列在一起组成一个数组，记为，其中取0或，称是一个元完美数组（且为整数）.例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组.定义以下两个新运算： 新运算1：对于， 新运算2：对于任意两个元完美数组和，．例如：对于3元完美数组和，有． （1）①在，，中是2元完美数组的有_____； ②设，，则______； （2）已知完美数组，求出所有4元完美数组，使得； （3）现有个不同的2022元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，满足，则的最大可能值是______． 20．随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 （1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是　 　； （2）表格中的m＝　 　；　 　（填“”“=”或“”）； （3）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】全面调查与抽样调查；统计图的选择；事件的分类；概率的意义 【解析】【解答】A了解灯泡的使用寿命，带有破坏性，适于抽样调查，故A正确B、C、D错误； 正确答案：A 【分析】了解灯泡的使用寿命，带有破坏性，适于抽样调查；条形图容易看出各小组的频数大小，扇形图才是体现各小组百分比；概率体现的随机性，不是必然性；投硬币“正面向上”是随机事件不是必然事件； 2．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；事件发生的可能性 【解析】【解答】A、射击一次，中靶，是随机事件，故A错误； B、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故B正确； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故C错误； D、12人中至少有2人的生日在同一个月，是随机事件，故D错误； 故答案为：B. 【分析】根据必然事件就是在一定条件下，一定要发生的事件，再对各选项逐一判断. 3．【答案】B 【知识点】事件的分类 【解析】【解答】解：下雨：可能发生，属于随机事件； 升旗仪式改在室内：是否发生取决于是否下雨，属于随机事件； 体育课改健康课：同样依赖下雨条件，属于随机事件； 举起万斤哑铃：万斤（5000公斤）远超人类能力，属于不可能事件； 可能迟到：是否迟到不确定，属于随机事件； 综上，随机事件共4件，不可能事件1件； 故选：B． 【分析】 随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件是指在一定条件必然发生或不可能发生的事件，包括不可能事件和必然事件的概念，再根据概念逐项判断即可． 4．【答案】A 【知识点】频数（率）分布折线图；利用频率估计概率；简单事件概率的计算 【解析】【解答】解：根据图像信息：频率稳定值约≈0.333，在0.3~0.4范围内， A选项：2绿1蓝，摸蓝球概率P=，符合区间； B选项：骰子偶数点(2，4，6)，P=，偏离区间，故不满足题意； C选项：去掉大小王共52张，红桃13张，P=，小于0.3，故不满足题意； D选项：五座车厢靠窗2个，P==0.4，理论值0.4，稳定频率略低于0.4，不符合题意. 故答案为：A . 【分析】折线图显示试验频率稳定在0.3~0.4之间，先计算每个选项理论概率，匹配落在该区间的选项即可. 5．【答案】D 【知识点】简单事件概率的计算 【解析】【解答】解：该排共有A、B、C、D、F五个座位，其中靠窗座位为A座和F座。 已知C座已售出，因此剩余可选择的座位为A、B、D、F，共4个等可能的结果，其中靠窗的结果有2个。 根据概率公式，可得小亮坐在靠窗位置的概率为 故答案为：D 【分析】本题考查古典概型的概率计算，属于概率基础应用题。解题时先确定C座售出后剩余的座位总数，即所有等可能的结果总数，再找出其中靠窗座位的数量，即符合条件的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到对应事件的概率。 6．【答案】C 【知识点】利用频率估计概率；概率公式；简单事件概率的计算 【解析】【解答】解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动， ∴抽取一个球是灰球的概率为， ∴袋中白球与灰球的数量相等： A、∵袋中白球与灰球的数量相等； ∴此选项不符合题意； B、∵袋中白球与灰球的数量相等； ∴此选项不符合题意； C、∵袋中白球与灰球的数量不相等； ∴此选项符合题意； D、∵袋中白球与灰球的数量相等； 故答案为：C． 【分析】当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，根据折线图可知抽取一个球是灰球的概率为，即袋中白球与灰球的数量相等，然后结合各选项即可判断求解． 7．【答案】D 【知识点】用列表法或树状图法求概率 【解析】【解答】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两次摸到不同颜色的棋子的结果数为4种， ∴两次摸到不同颜色的棋子的概率， 故答案为：D． 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到不同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算． 8．【答案】B 【知识点】折线统计图；用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率；概率公式 9．【答案】C 【知识点】用列表法或树状图法求概率 【解析】【解答】根据题意列树状图如下： 根据树状图可知，总共有20中情况，其中一人是一等奖获得者，一人是二等奖获得者的情况有12种，则一人是一等奖获得者，一人是二等奖获得者的概率是. 故答案为：C 【分析】利用树状图列出所有可能，即可求解。 10．【答案】A 【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式 【解析】【解答】解：∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关； ∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5， 列表得： 　 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况， ∴能过第二关的概率是： 故选：A． 【分析】将n用2代入，求出能过第二关所出现的点数之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的结果数和能过第二关的结果数，利用概率公式求解. 11．【答案】 【知识点】用列表法或树状图法求概率 【解析】【解答】解：列表如下： 共有12种等可能结果，恰好能组成“如意”的只有2种， 故答案为： 【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据. 12．【答案】 【知识点】用列表法或树状图法求概率 【解析】【解答】解：画树状图，如图， 一共有种等可能的结果，分别为，，，，， 由电路图可知，开关在干路上，灯泡也在干路上，要使灯泡亮，必须闭合开关，且与中至少闭合一个 符合条件的结果有，，，，共种 灯泡亮的概率是． 故答案为：. 【分析】先画出树状图得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 13．【答案】 【知识点】用列表法或树状图法求概率 【解析】【解答】解： ∵A（x，y）且-2≤ ≤2，-2≤ ≤2 ， ∴A的坐标可以为：（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2）， （-1，-2），（-1，0），（-1，1），（-1，2）， （0，-2），（0，-1），（0，1），（0，2）， （1，-2），（1，-1），（1，0），（1，2）， （2，-2），（2，-1），（2，0），（2，1）. 则以O、A、B为顶点的三角形共有20个. 当点A的坐标为：（0，2），（0，1），（1，0），（2，0），（1，-1），（-1，1），（2，-2），（-2，2）时，△OAB为直角三角形，一共有8种情况， ∴△OAB为直角三角形的概率是. 故答案为：. 【分析】根据已知条件列举出所有A点的坐标，然后求出△OAB为直角三角形时点A的个数，最后利用概率公式计算即可. 14．【答案】 【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；几何概率；用列表法或树状图法求概率 【解析】【解答】 列表法表示所有情况： 则的值可以是-1，-2，-1，2，， ∵关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数 ∴＜x＜5 ∴的值是2 ∴使关于的不等式组的解集中有且只有个非负整数的概率为 . 【分析】本题考查一元二次方程组的特殊解和概率的计算。 解决有关概率问题，需要熟练掌握列表法和树状图法，另外有时也会直接用公式法，利用频率估计概率要学会灵活运用。 一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法. 15．【答案】（1）解：画树状图如下， 一共有9种等可能的结果，两次都是白球的结果有4种， 所以两次摸到都是白球的概率是​​​​​​​ （2）解：由题意，得， 解得m=5. 经检验，m=5是原方程的解 【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用 【解析】【分析】 (1)本题考查了用树状图表示随机事件的概率，有放回摸球，两次抽取互不影响，用树状图枚举全部等可能结果，统计两次都是白球的结果数，再套用概率公式计算； (2)放入m个红球后红球总数、球总数量同步增加，根据红球概率列分式方程求解，检验后得到m的值。 16．【答案】（1）解：∵图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字， ∴共有9种等可能的情况，数字大于3的情况有6种 ∴小明转出的数字大于3的概率是 （2）解：她的看法对，理由如下： 图 2绿色部分的扇形圆心角是 120°， 则图 2红色部分的扇形圆心角是 所以转出的颜色是红色的概率是 所以两者概率相同 【知识点】几何概率；概率公式；简单事件概率的计算 【解析】【分析】(1)共有9种结果，“转出的数字大于3"的结果有6种，利用概率公式计算即可； (2)计算小亮转出的颜色是红色的概率，再与(1)算出的概率比较即可. 17．【答案】（1）160补全的条形统计图如下所示，​​​​​​​ （2）90 （3）树状图如下所示， 由上可得，一共有16种等可能性，其中两人恰好选到同一门课程的可能性有4种， ∴两人恰好选到同一门课程的概率为 ​​​​​​​ 【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率 【解析】【解答】解：(1)本次调查的学生人数为： 人)， 选择B的学生有：1160-48-32-40=40(人)， 故答案为： 160； (2)“D课程”在扇形图中的圆心角的度数为： 故答案为：90； 【分析】(1)根据选A的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出选B的人数，再将条形统计图补充完整即可； (2)根据统计图中的数据，可以计算出“D课程”在扇形图中的圆心角的度数； (3)根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出两人恰好选到同一门课程的概率. 18．【答案】（1）解：画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的结果，即 ( ，3)，( ，2)，(1，1)，(1，3)，(1，2) （2）解：当 时， 0，此时方程 无实数根； 当 时， 此时方程 有两个不相等的实数根； 当 时、 此时方程 有两个不相等的实数根； 当 时， 此时方程 有两个相等的实数根； 当 时， 此时方程 有两个不相等的实数根； 当 时， 此时方程 有两个不相等的实数根； 当a=1，b=1时， 此时方程 无实数根； 当a=1，b=3时，( 此时方程 有两个不相等的实数根； 当a=1，b=2时， 此时方程 有两个相等的实数根， ∴P(甲获胜) ∴P(乙获胜) ∴P(甲获胜)>P(乙获胜)， ∴这个游戏规则对甲有利，不公平 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；用列表法或树状图法求概率；游戏公平性 【解析】【分析】（1）根据题意用树状图列出所有可能的结果； （2）把（1）中所有情况都进行分析，通过计算判断根的情况，进而得出答案. 19．【答案】（1）①；② （2）解：∵， ∴当时，，当时，， 当时，或0， ∵， ∴， ∵， ∴或或或或或． （3） 【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；列出事件所有的可能性 【解析】（1）解：①∵中有， ∴不是2元完美数组； ∵中只有和0，且有2个数， ∴是2元完美数组； ∵中有3个数， ∴不是2元完美数组； 故答案为：． ② ． 故答案为：． （3）解：∵， ∴、中对应的元都不相等或、中对应的元都相等且为， ∵、是不同的两个完美数组， ∴、中对应的元都不相等， ∴的最大值为，当确定后，中的对应元与中的不同． 故答案为：． 【分析】（1）①根据定义进行判断即可求出答案. ②根据定义进行计算即可求出答案. （2）由定义可知当时，，当时，，当或0，再由此求解即可； （3）根据题意可知C、D中对应的元都不相等，的最大值为，当C确定后，D中的对应元与C中的不同即可． （1）解：①∵中有， ∴不是2元完美数组； ∵中只有和0，且有2个数， ∴是2元完美数组； ∵中有3个数， ∴不是2元完美数组； 故答案为：． ② ． 故答案为：． （2）解：∵， ∴当时，，当时，， 当时，或0， ∵， ∴， ∵， ∴或或或或或． （3）解：∵， ∴、中对应的元都不相等或、中对应的元都相等且为， ∵、是不同的两个完美数组， ∴、中对应的元都不相等， ∴的最大值为，当确定后，中的对应元与中的不同． 故答案为：． 20．【答案】（1） （2）； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果， ∴三家种植户选择同一快递公司的概率为． 【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；方差 【解析】【解答】（1）解：根据频数之和等于样本容量，得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人） 补全频数直方图如下： 根据题意，得． 故答案为：72°； （2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10，一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8， 故中位数， 根据题意，得． 得． ∴， 故答案为：，； 【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，可先计算甲快递公司在配送速度为9的人数，再补全频数直方图，扇形统计图周角表示单位1，用360°乘以乙快递公司配送得分7分的百分比即可算出对应的圆心角度数． （2）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案； （3）先画出树状图，列举出所有可能的结果数，从中挑出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解． （1）解：根据频数之和等于样本容量， 得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人） 补全频数直方图如下： 根据题意，得． （2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8， 故中位数， 故答案为：． 根据题意，得 ． 得 ． ， 故答案为：． （3）解：画树状图如下： 由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果， ∴三家种植户选择同一快递公司的概率为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $