第23章 解直角三角形综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

第23章解直角三角形 解答：如图，过点O作O'C⊥A'B于点C, 5.427 O'C的延长线交y轴于点D. 5.829 A(0,4)、B(3,0), ∴.OA=4,OB=3. 由旋转的性质，得△O'A'B≌△OAB, .O'A'=OA=4,O'B =OB=3, 0 B ∠AO'B=∠AOB=90°. D 在Rt△O'A'B中，由勾股定理，得A'B= √OB2+OA2=√J32+42=5. 由三角形的面积公式，得S△oA'B= A'B. 1 (典例4图) 小结 解三角函数与旋转综合问题的方法 0c=20A'.0B. 1.利用旋转性质确定图形全等与角度关系； Oc-OA0B_4X3-2.4 2.结合坐标或几何模型，用三角函数定义 AB 5 或公式推导求解.需注意动态变化中的不变量 在Rt△O'BC中，由勾股定理，得BC= 对应练习 √OB2-0C=√32-2.42=1.8， 4.在△ABC中，∠C=90°，AC=6,将 :A'B∥y轴，O'C⊥A'B,.OD⊥y轴. .'CD=OB=3,OD=BC=1.8. △ABC绕点B旋转，使，点C落在边AB .OD=CD+OYC=3+2.4=5.4,AD= 上，点A的对应点为A1,直线A1B交直 OA+OD=4+1.8=5.8. 线AC于点D.若1am∠CDB=专则BC 在Rt△A0'D中，tan∠OA0'=OD AD 的长为 】综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，BC=8,tan∠ACB=3,AD⊥BC于点D.若将△ADC绕 点D逆时针方向旋转得到△FDE,当，点E恰好落在AC上，连结AF,则AF的长为() A丽 C.210 D.4 (第1题) (第2题) 2如图，在△ABC中，AC=10,BC-16,AD是BC边上的中线，tanC- 3 (1)AD的长为 (2)sin∠ABC的值为 29 数学（华师版）九年级上 3.材料阅读： 光从空气射入玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射.如图①，我 sin a 们把入射角α的正弦值和折射角B的正弦值之比称为折射率()，即n sin B 问题求解： 如图②，矩形ABCD为某透明玻璃，一束光线从点O以俯角45°射向玻璃上的点 P,折射后到达玻璃底部的点Q,若OA=4,AB=2√14，BQ=8,则折射率n= ,同样的光线从点E以俯角60°射向玻璃上的点F,折射后到达玻璃底部的点 G,若EA=√3，则BG= 0下145 ① ② (第3题) 4.在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°<α< 90°)得△ABC1,A1B交AC于点E,AC1分别交AC、BC于D、F两点. (1)一题多解如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与F℃有怎样的数量关系？ 并证明你的结论 (2)如图②，当α=30时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由， (3)一题多解在(2)的情况下，求ED的长. D D E ② (第4题) 30 第23章解直角三角形 5.“书香润泽心灵，阅读丰富人生.”某市少年儿童图书馆焕新亮相于园博园附近.如图，A、 B、C、D在同一平面内.图书馆B在A的东北方向上，且在少年宫C的北偏西60°方向 上，园博园正门D在A的正南方向千米处，且在少年宫C的南偏西60°方向1千米处 (参考数据：√2≈1.41,3≈1.73，√6≈2.45). (1)求图书馆B与少年官C之间的距离（结果保留根号）. (2)小依和小钟相约去图书馆B阅读，小依从少年宫C出发，沿着CB方向匀速运动，同 时小钟从园博园正门D出发，沿北偏东某方向匀速直线运动，两人在CB上某处相遇后 再一起前往图书馆B,已知小钟的速度为小依的速度的倍，求两人的相遇，点距日的地 B的距离（结果保留两位小数）. 北 东 A 60C 60 (第5题) 31∠C=∠DGE, 和△GED中 ∠CDF=∠GED,∴.△CDF≌△GED DF=ED, (AAS).∴.CD=GE=4.BE=6,∴.AB=AG+10. ∠A=60°，∠AGD=90°，∴.AD=2AG.∴.AC=2AG+ 4.:AB=2AC,AG+10=2(2AG+0,解得AG=号. AB-号+10-号 E (第1题)》 2(1)由题意，知∠ADC=60°，DC=16海里，AD=48× 器=16（海里.由结论0知，Sam=C·AD· 1 m∠Ac=号×16X16×sm60-号×16X16×9 64√3（平方海里）.∴.△AD℃的面积为643平方海里. (2)由(1)知DC=AD,∠ADC=60°，∴.△ACD是等边三 角形.∴.∠DAC=60°，AC=AD=16海里.又∠BAM= 75°，∴.∠BAC=180°一75°-60°=45.由题意，知 ∠NBC=15°，∠NBA=75°，.∠ABC=75°-15°=60° AC 由结论②，可得sn∠ABC= BC sin∠BAC,·BC= AC·sin∠BAC_16Xsin45° sin∠ABC sin 60 _166(海里). 3 3 2 ·乙船由B处到达C处航行的路程为6,5海里， 3 ③(1)如图，过点E作EH⊥AB于点H,过点C作CGL AB于点G,延长CD交EH于点M.∴.易得四边形 GHMC是矩形.∴.MH=CG,MC=GH.,斜坡BC的坡 度为1：24品品设cG=米则G= 12k米..BC=√CG+BG=13k米，即13k=1300,解 得k=100..BG=1200米，CG=500米...MH=CG= 500米.∴.EM=EH-MH=1400-500=900(米). :sin∠EDM= 影*0.6dD=1500米②)小开 先到达山顶E处.理由：由(1)得EM=900米，ED= 附：答案与解析 1500米，BG=1200米，：tan∠EDM= EM MD ≈0.75， ∴.MD=1200米.∴.CM=CD+MD=2600+1200= 3800(米)..GH=3800米.在Rt△AEH中，∠A=30°， EH=1400米，∴.AE=2800米.∴.AH= VAE-EH2=1400J3()...AB=AH+GH+GB- 1400W3+3800+1200=5000+1400W3(米)..·F为AB 的中点，∴.AF=BF=(2500+7003)米.∴.小南到达山 顶E处的时间为2500+700,5+2800≈2500+1211+ 50 40 50 2800=74.22+70≈14.2（分钟）；小开到达山顶E处的时 40 间为2500+7003+1300+2600+1500≈631+ 70 56 70 56 70 2800 ≈90.16+50≈140.2（分钟）.144.2>140.2，.小 56 开先到达山顶E处. M -37D H G B (第3题) ④3+35由题意画出图形，如图，过点A作AE⊥BD 于点E,则∠CBA=∠ABD.:AC⊥BC,AE⊥BD, ∴.AC=AE=6.设BC=x.,'∠C=90°，tan∠CDB= 1 1 AE CD=2x.·tan∠CDB=2=D能DE= (AB=AB. 2AE=12.在Rt△BCA和Rt△BEA中， AC-AE. ∴.Rt△BCA≌Rt△BEA(HL)..BC=BE=x..BD= x+12.BC2+CD2=BD2,.x2+(2x)2=(x+12)2, 解得x1=3+35,x2=3-35(不合题意，舍去. .BC=3+3√5. A (第4题) [综合素养提升] ①B过点D作DH⊥AF于点H.:∠ABC=45°， AD⊥BC,.△ABD是等腰直角三角形..AD=BD. 45 数学（华师版）九年级上 am∠ACB=0=3设D=z,则AD=z .BC=3x+x=8.∴.x=2.六.CD=2,AD=6.∴.AC= √CD+AD=√2+6=2√而.'将△ADC绕点D 逆时针方向旋转得到△FDE,∴.DC=DE,DA=DF=6, ∠CDE=∠ADF..∠DCE=∠DAF.∴.tan∠DAH= 3.设AH=a,则DH=3a.AH+DH2=AD2,∴.a2+ (P-G.a-8AH-8y.:AF 2AH=60 5 ②(1)2√7过点A作AE⊥B于点E.:tanC= 能=专设AE=,测CE=3:AE+CE= AC2,.(4x)2+(3x)2=102..x=2(负值舍去). ∴.AE=8,CE=6.:BC=16,AD是BC边上的中线， BD-CD-BC-8 DE=DXC-EC-8-6-2. AD=VDB+AE=2/7.(2)4④：BD= 41 8,DE=2,.∴.BE=BD+DE=10..AE⊥BC,AE=8, AB=√BE+AE=2V4L.&sin∠ABC-A5 84√4 2/41 41· O子万+1如图O,过点P作MN1BC于点N,易得 四边形APNB是矩形.∴.AP=BN,AB=PN.∴人射角 为∠MPO=45°，折射角为∠QPN.在Rt△OAP中， OA=4,∠OPA=45,∴.AP=OA=4..BN=4. :BQ=8,∴.NQ=BQ-BN=4.在Rt△NQP中， PN=AB=2√I4,.PQ=√NQ+PN=6√2. ·sin /QPN06E三g 3 ..sin∠MPO= m行号折新率-号号=子如因②，过点F 作KH⊥BC于点H,易得四边形AFHB是矩形，∴.AF= BH,AB=FH.∴.人射角为∠KFE=30°，折射角为 ∠GFH.:'在Rt△AEF中，AE=3,∠AEF=90° 60°=30°，.AF=AE·tan∠AEF=1..BH=1.折 射率一：品需-音即 3 'sin∠GF7= 46 1 sin∠GFH=3在Rt△GFH中，sin∠GFH= 0=号设GH=,则6球=，又：FH=AB= 24,GF2=GH+FH,.9x2=x2+56,解得x=7 (负值舍去)，即GH=7.∴.BG=GH+BH=√7+1. 0下145 E60 A D F P AF P C B H G ① ③ (第3题) ④(1)EA,=FC.解法-：：AB=BC,.∠A=∠C. 由旋转可知，AB=BC1,∠C=∠C,∠ABE=-∠C,BF, ∴.∠A=∠C.∴.△ABE≌△C,BF(ASA).∴.BE=BF 又BA,=BC,∴.BA,一BE=BC-BF,即EA,=FC. 解法二：AB=BC,∴.∠A=∠C.由旋转可知，∠A= ∠A1,AB=A,B,.∠A,=∠C,A,B=CB.:∠EBC= ∠FBA1,∴.△A,BF≌△CBE(ASA).∴.BE=BF. ∴.BA,-BE=BC-BF,即EA,=FC.(2)四边形 BC,DA是菱形.理由：易知∠A,=∠ABA,=30°， ∴A,C,AB.同理ACBC..四边形BC,DA是平行 四边形.又：AB=BC=BC,.四边形BC,DA是菱形. (3)解法-：.易知∠A=∠ABE=30°，∴.AE=BE.过 点E作EG⊥AB于点G,则AG=BG=1.在Rt△AEG 市A证-板0=5.向0知四边形M 是菱形AD=AB=2ED=AD-AE=2-号5 解法二：∠ABC=120°，∠ABE=30°，∴.∠EBC=90 在R△EC中，BE=C·mC=2X1am3D-号5. EA,=BA,-BE=2-号B.:AC∥AB, .∠ADE=∠A.∴.∠A,DE=∠A.∴.ED=EA,= 2-5 ⑤(1)如图，过点C作CH⊥AD于点H,则∠CHD= 90,∠HCD=30.DH=号CD=号千米，CH Cn-干米：AD-开米AH-号-合 子（千）米.过点B作G1CH于点G,过点A作AFG 于点F,则AF=HG,FG=AH=千米.：∠BAF 90°-45°=45°，.AF=BF..AF=BF=HG.设AF= BF=HG=x千米.BG=(x+)千米，CG=CH HG=(停-)千米：∠G=90-0=0器 1 tan30°.∴. 3 8 BG=55千 8 22 米.：C=2G=5一5千米.图书信B与少年宫C之 4 间的距离为5一3千米.(2)如图，设两人在CB上的，点 4 E处相遇，连结DE,过点E作EK⊥CD于点K.小钟 的速度为小依的速度的号倍，·设CE=2m千米，DE- 3m千米.∠ECK=180°-60°-60°=60°，.CK= E=m千米，K-号CE=Bm千米DK √DE2-EK=√6m千米.∴.√6m=1-m,解得m 6.CR-26千米E=C-E- 5 25-55-86+8≈0.24（千米）.两人的相遇点距目的 20 地B的距离约为0.24千米. 北 5 个，东 60C 60 (第5题) 第24章 随机事件及其慨率 [高频考点突破] O号画树状图（分别用A,B.CD表示可回收垃圾，不 可回收垃圾、有害垃圾、厨余垃圾四种垃坂箱，用a、b、c、d 表示装有可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾、厨余垃圾 的垃圾袋)如图所示.由图可知，共有24种等可能的结果， 附：答案与解析 其中将四袋垃圾中的三袋垃圾投放错误的结果有8种， “将四袋垃坂中的三袋垃圾投放错误的概率为3 81 A D dcdbeb de daca dbdaba cbcaba (第1题) ②如图，延长AD到点E,使AD=DE,连结BE.,AD 是BC边上的中线，.BD=CD.在△ADC和△EDB中， AD-ED. ∠ADC=∠EDB,∴.△ADC≌△EDB(SAS).∴.AC= DC-DB, BE=4.在△ABE中，AB-BE<AE<AB十BE,∴.6 4<2AD<6+4.∴.1<AD<5,即1<m<5.:m为正整 数，m=2、3,4解分式方程二1+4= 3-x 2-3得x -12.:x为正整数，m-4<0.·m<4.小m=2、 m-4 2“m使关于的分式方程一十4一己有正弦数 3-x 解的概率为2 B D (第2题) ③(1)不公平.理由：画树状图如图所示.由图可知，共有 9种等可能的结果，其中积为偶数的结果有7种，积为奇数 的结果有2种，“P(小强赢)=日，P(小华煮)=号 :子≠号“游戏规则对双方不公平。(2)不正确 共有9种等可能的结果，∴做不到公平.小华的想法 不正确. B45 积45 81012121518 (第3题) 47