第23章 专题复习及章末测试-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

指南针·课堂优化· 专题练习4求锐角三角函数值的常用方法：11.路灯的高度约为8.4m 方法11.C2.AC的长为4，simA的值为号 12.(1)观景平台MN的长为(15√3-15)米， (2)轻轨所穿楼栋AB的高度约为35.7米 方法23.D4.D方法35.C6.A方法47.B8. 第3课时坡度 23.4解直角三角形 基础导学 第1课时解直角三角形 1.此i=h 2.1:m3.坡面与水平面4.越大越陡 基础导学 典例探究 1.解直角三角形2.(1)两条边(2)一条边一个锐角 【例1】斜坡AB的坡角a约为18°26'，坝底宽AD为132.5m, 典例探究 斜坡AB的长约为72.7m 【例1】AB=2W2,∠A=30°，∠B=60°， 【变式训练1】330°(65+2) 【变式训练1】(1)∠B=60°，a=45,c=85 【例2】树DE的高度为(3十23)米. (2)b=2W6,∠A=∠B=45°. 【变式训练2】大楼MN的高度约为92米. 【例2】AB=3+√5. 【例3】(1)所以整修后背水坡面的面积为90×8=720（平方米）. 【变式训练2】4455E (2)种植花草至少需要16000元. 3 3 【变式训练3】210 【例3】小岛A与小岛B之间的距离约为100km 课后演练 【变式训练3】花洒顶端C到地面的距离CE约为192cm 1.B2.A3.B4.75°5.(50W6-50W2) 课后演练 6.塔高约为115.5m 1c2c3.c4号 5.2√3或6√36.50 7.楼房AB的高为(35十10W3)米8.1 13 9.(83-5.5) 7.(1)c=2√15(2)b=2+√3(3)∠B=45° (4)a=35 10.(1)BG=8cos12°(cm); 8.A、B两点之间的距离约为94米. (2)DN=GH=BG+BH=(8cos12+20-8sin12)cm. 9910.35±81cD=15, 11.(1)两渔船M,N之间的距离为20米， 2 (2)该施工队原计划平均每天填筑600m的土石方. 第2课时仰角与俯角 第23章《解直角三角形》专题复习 基础导学 仰角俯角 【例1】tanl5°=2-√5. 典例探究 【例2】(1)点M的坐标是(8,6). (2)cos∠MN0=25 5 【例1】点P到AD的距离为(183一8)米. 【例3】 mc=最 【例4】25 【例2】电缆线BC至少长146.4m 【变式训练1】C 【例5】背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米. 【变式训练2】(1)C,D两点的高度差为9m, 第23章章末测试 (2)居民楼的高度AB约为24m 1.A2.D3.D4.D5.D6.A7.A8.C9.1 课后演练 10.30°30°120°11.√2-112.(30+103) 1.D2.A3.A4.1035.12.76.423 13.7414.(153+1)m15.(1)-2(2)-2 7.(1)300(2)白塔BC的高度约为45米. 8.旗杆的高EF为10.3m9.1710.(mtana十mtanB) 16.DAD=32(2)sina=号 43 九年级上册·数学(HS) 17.塔高CM约为27.7m 18.(1)证明略 (2)△ECG为等腰直角三角形，理由略 (3)sin∠BFE=子 第24章随机事件及其概率 24.1在重复试验中观察随机现象 第1课时事件的认识 基础导学 1.(1)试验一定会发生(2)一定不会发生 (3)必然事件不可能事件2.100%00~1 典例探究 【例1】解：必然事件：(1)不可能事件：(2) 随机事件：(3)(4)(5)(6)(7)(8) 【变式训练1】(1)B(2)B(3)必然不可能必然 随机 【例2】1号盒子中可能摸到红球，也可能摸不到红球；2号盒 子中一定能摸到红球；3号盒子中一定摸不到红球 【变式训练2】红灯 课后演练 1.B2.D3.D4.(3)5.D6.随机 7.必然事件：(4)不可能事件：(1)(5) 随机事件：(2)(3)确定事件：(1)(4)(5) 8.A9.(1)可能(2)必然(3)不可能(4)可能 10.(1)当n=7或8或9时，这件事情必然发生； (2)当n=1或2时，这件事不可能发生； (3)当n=3或4或5或6时，这件事可能发生， 第2课时在重复试验中观察不确定现象 基础导学 1.频率2.反复比较多 典例探究 【例1】(1)表中依次填：180.55(2)略 (3)“兵”字面朝上的机会大约为0.55. 【2】(1)3点朝上的颜率是品=0“5点朝上”的频率 1 是器 (2)小颖的说法是错误的，理由略 【变式训练】（①)A(2) 课后演练 1.D2.D3.A4.B5.(1)0.6(2)0.6(3)16个，24个 621.品 8.(1)相同(2)n=2 9.(1)a=120,b=0.1: (2)1<t≤1.5的人数为120X0.4=48,图略 (3)估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为 1200×(0.4+0.1)=600(人) 10.(1)抽出黑桃K必胜，抽出方块A必输 (2)N队要胜出的可能性有号，理由略， 24.2随机事件的概率 第1课时随机事件的概率 基础导学 1.可能性大小2.频率 典例探究 【例1】投掷骰子的次数很多时，平均每投掷6次，会出现一 次掷得“6”. 【变式训练1】略 【例2】(1)0.6(2)0.60.4(3)白球个数：20×0.6=12 (个)；黑球个数：20×0.4=8（个）.(4)略 【变式训练2】0.9 【例3】(1)中奖的概率是号，不中奖的概率是号. (2)不同意他的想法，每次摸奖，得到一张精美图片的概率都 【变式训练3】A 课后演练 1.B2.C3.D4.D5.9 5 6.20 7.(1)1200.2(2)频数分布直方图略 (3)全体参赛选手成绩的中位数落在第4组 (4)这名选手恰好是获奖者的概率是0.55 8.是9.a+6=10 10.红球占40%，黄球占60%；盒中有红球40个 11.(1)共有三种可能.即第一种可能为：x2十2x2一1=3x2 44第23章解直角三角形 第23章《解直角三角形》专题复习 一、知识结构 在Rt△ABC中 三角函数 ∠C=90° sinA ∠A的对边 斜边 基本概念 CosA ∠A的邻边 斜边 tanA ∠A的对边 ∠A的邻边 量 锐角三角) sin30°= 2,os30°= 2,tan30°- 3 特殊角的 三角函数值30°，45°， sin45° √2 cos45°=V 2 ,tan45°=1 60°角 sin60° √3 2 ,c0s60°= ,tan60°=√3 解直角 >解直角三角形的应用 三角形 二、专题精讲 【例2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标 类型一三角函数的概念 原点，点N的坐标为(20,0)，点M在第一象限，且 OM=10,sin∠MON= 【例1】求tanl5°的值. 求 (1)点M的坐标； (2)cos∠MNO的值. 规律与方法：有目的地构造Rt△ABC,根据 正切的定义求出tanl5° 145· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 类型二解直角三角形 【例5】（郴州中考）如图是某水库大坝的横 截面，坝高CD=20m,背水坡BC的坡度为ia 【例3】如图，△ABC中，AD⊥BC,垂足是 1：1.为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的 D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=,求sinC 倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2 的值. 1:√3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离. (参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73.结果精确到 0.1m) i2=1:5 /i=1: 类型三利用解直角三角形的知识解决 实际问题 【例4】如图，在平地上种植树时，要求株 规律与方法：解决解直角三角形的实际问 距（相邻两树间的水平距离）为4米，如果在坡度 题，有图的要先将题干中的已知量在图中表示出 为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4米，那 来，再根据以下方法和步骤解决：①根据题目中 么相邻两树间的坡面距离为 米 的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的 数学问题；②画出平面几何图形，弄清已知条件 中各量之间的关系；③若三角形是直角三角形， 根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角 形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决. 第23章 章末测试 一、选择题 1.满足c0s180°-C-号的△ABC-定是 2 ( D A.直角三角形 B.锐角三角形 第2题图 第3题图 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A= C.钝角三角形 D.不能确定 2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 65°，CD⊥AB,垂足为D,E是BC的中点，连 A,B,O都在格点上，则sin∠AOB的值是 结ED,则∠DEC的度数是 () A.25° B.30 A.30 B司 c号 D.10 C.40° D.50° 10 10 ·146· 第23章解直角三角形 4.在△ABC中，∠C=90°，且两直角边a,b满足 二、填空题 a2-5ab+6b2=0,则tanA的值为 () 9.在等腰△ABC中，∠C=90°，则tanA= A.5或6B.2 C.3 D.2或3 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12,AB的 10,等腰三角形的底边为2，面积为号，则它的三 垂直平分线EF交AC于点D,连结BD,若 个内角分别是 cos∠BDC=号，则BC的长是 ( ) 11.如图，△ABC中，AB=AC,∠A=45°，AC的垂 直平分线分别交AB,AC于D,E两点，连结 A.10 B.8 C.43 D.26 CD,如果AD=l,那么tan∠BCD= 0 第5题图 第6题图 5 6.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于 点D,AC=4,AB=5,则tan∠BCD的值为 第11题图 第12题图 12.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行 ( 30√2km至B港，然后再沿北偏西40°方向航 A B告 c. D. 行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A, 7.如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 C两港之间的距离为 km. 1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为 13.(泰安中考)在综合实践课上，数学兴趣小组 45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的 用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度， 他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人 测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子 机.如图，无人机在河上方距水面高60米的 厂AB的高度为 ( 点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为 (参考数据：sin53°≈4 0s53°≈3 ,tan53≈ 4、 50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已 知瞭望台BC高12米（图中点A,B,C,P在 A.22.7m B.22.4m 同一平面内).那么大汶河此河段的宽AB为 C.21.2m D.23.0m 米.（参考数据：sin63.6°≈号，tan50 5,tan63.6°≈2) D 50°63.6 第7题图 第8题图 8.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，AD D ∥BC,BC=AD,AC与BD交于点E,AC1 B 第13题图 第14题图 BD,则tan∠BAC的值是 () 14.(济宁中考)某数学活动小组要测量一建筑 物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上 A.是 B. c. D 选择一点A,在点A和建筑物之间选择一点 ·147· 格南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS)》 B,测得AB=30m,用高1m(AC=1m)的测 C的仰角∠CDE=31°，已知山坡倾斜角 角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为 ∠MAB=18°，求塔高CM. 30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的 (结果精确到0.1m.参考数据：tanl8°≈ 高是 0.32,sinl8°≈0.31，cosl8°≈0.95，tan23°≈ 三、解答题 0.42,sin23°≈0.39，tan31°≈0.6，sin31°≈ 15.计算： 0.52.) a)(-3)厂'+(2o243°-4sin60+1V厄I: (2) _1十4cos60°·sin45°-√(tan60°-2). 2-5 16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上 一点，AB=5,BD-1,tanB=3 41 (1)求AD的长； 18.在梯形ABCD中，AB∥DC,∠BCD=90°， (2)求sina的值. 且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2. (1)求证：DC=BC; 22 (2)点E是梯形内一点，点F是梯形外一点， 且∠EDC=∠FBC,DE=BF,试判断 △ECF的形状，并证明你的结论； (3)在(2)的条件下，当BE：CE=1:2, ∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值. 17.（无锡中考)某山顶有一座观光塔CM,山脚 A处有一条笔直山路直通塔底M.某数学兴 趣小组为测量该塔的高度，先在山脚A处测 得塔顶C的仰角∠CAB=23°，沿着山坡AM 向上走200m到达点D处，在D处测得塔顶 ·148·