微专题4 一元二次方程的实际应用-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

4 微专题4一元 堡型①增长率问题 1.（中考·凉山)某钢铁厂一月份生产钢铁560 吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁 1860吨，若设月平均增长率为x,那么可列出 的方程是 () A.560(1+x)2=1860 B.560+560(1+x)+560(1+2x)=1860 C.560+560(1+x)+560(1+x)2=1860 D.560+560(1+2x)2=1860 2.（教材P41“问题2”变式)在国家积极研发和生 产调配下，某种型号的医疗器械连续两年降 价，第一年下降20%，第二年下降80%，那么 该医疗器械这两年的平均降价率是() A.30% B.40% C.50% D.60% 3.随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增 加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人 数为2.5万人 (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增 长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长， 但增长率不会超过前两个月的月平均增长率. 已知该景区5月1日至5月21日已接待游客 2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人 数最多是多少万人？ 39探究在线九年级数学（上）·HD 次方程的实际应用 堡型2利润问题 4.开封西瓜是河南省开封市特产，是开封市的地 理标志农产品.某水果摊位上销售一批开封西 瓜，平均每天可售出30箱，每箱盈利40元.为 了扩大销售，增加盈利，摊主采取了降价措施， 假设在一定范围内，每箱开封西瓜的价格每降 低1元，摊主平均每天可多售出2箱.如果该 摊主销售这批西瓜要保证每天盈利1400元， 同时尽快减少库存，那么每箱西瓜应降多 少元？ 5.近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新 兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双 语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书 热情.已知这本书的成本价为10元，规定销售 单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， 通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y (本)与销售单价x(元/本)之间近似满足一次函 数关系，部分对应数据如表： x(元/本) 15 25 y(本) 700 500 (1)根据表格提供的数据，求y关于x的函数 关系式，并写出x的取值范围； (2)若销售该书每天的利润为6000元，求该 书的销售单价； (3)销售该书每天的利润能否达到9000元？ 请说明理由 类型③传播问题 6.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81 人患了流感 (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染 后共有多少个人会患流感？ 类型④数字问题 7.一个两位数，十位数字比个位数字大3.若这 两个数字之积等于这个两位数的号，则这个两 位数是 8.如图，在某月日历表上用一个方框圈出4个数， 若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为 65,求这个最小数（请用方程知识解答） 日一二三四五六 11121314151617 18192021222324 25262728293031 类型⑤握手问题 9.一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手 一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会 议到会人数是人. 10.为响应党中央提出的“足球进校园”号召，我 市在今年秋季确定了3所学校为我市足球基 地实验学校，并在全市开展了中小学足球比 赛，比赛采用单循环制，即组内每两队之间进 行一场比赛，若初中组共进行45场比赛，问初 中组共有多少个队参加比赛？ 类型6面积问题 11.如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49 米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏 ABCD,且中间共留两个1米的小门，设栅栏 BC长为x米 (1)AB= 米（用含x的代数式 表示)； (2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米， 求栅栏BC的长. 第21章406.生态园的面积能为40m2,理由如下： ,四边形ABCD是矩形，∴.AB=CD,AD=BC. 10>号∴为让市民得到实惠，x应取10. 设AB的长度为xm,则BC的长度为182m, 答：每盆应降价10元 能力在线 由题意，得x.18,工=40， 5.B6.B7.208.40 2 9.(1)由题意，得256(1+r)2=400, 整理，得x2一18x+80=0, 解得r=0.25=25%或r=-2.25<0(不符合题意，舍去)， 解得x1=10,2=8, 答：月增长率r为25%. .生态园的面积能为40m,AB的长为10m或8m (2)设该品牌头盔的实际售价应定为y(y≥40)元/个，则月销 能力在线 售量为600-10(y-40)=(1000一10y)(个)， 7.28.2或4 由题意，得(y一30)(1000一10y)=10000, 9.(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70一2x+2= 解得y=50或y=80, (72-2x)m. 要尽可能让顾客得到实惠，∴y=50. 根据题意，得x(72-2x)=640, 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 化简，得x2一36x十320=0， 拓展在线 解得x1=16,x2=20, 10.(1)由题意，得当x>40时，每台学习机的售价为（单位：元）： 当x=16时，72-2x=72一32=40， 800-5(x-40)=-5x+1000. 当x=20时，72-2x=72一40=32. (2)设图中的直线解析式为y=x十b,把(0,700)和(50， 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m 时，能围成一个面积为640m的羊圈. 60代人0g6o (2)不能.理由如下： 由题意，得x(72-2x)=650, 解得/k一2， 1b=700. 化简，得x2一36x十325=0， 则直线解析式为y=一2x十700， .△=(-36)2-4×325=-4<0， 当x=60时，进价y=-2×60+700=580, 。一元二次方程没有实数根 售价为800-5×(60一40)=700（元）， ∴.羊圈的面积不能达到650m2. 则每台学习机可以获利700-580=120（元）. 拓展在线 (3)当x>40时，每台学习机的利润是（一5x+ 10.(1)根据题意知，0<t3.5,BP=AB-AP=(5一t)cm, 1000)-(-2x+700)=-3x+300, BQ=2t cm. 则x(一3x+300)=4800, (1)根据三角形的面积公式，得 解得x1=80,x2=20(舍)， 合BP,BQ=4,即5-0-4， 当0<x≤40时，每台学习机的利润是800-（-2x+ 700)=2x+100, 整理，得t一5t+4=0, 则x(2x+100)=4800, 解得=1，t2=4(不合题意，舍去). 解得x1=30,x2=-80(舍). 故1s后，△PBQ的面积等于4cm2. 答：该商店可能购进并销售学习机80台或30台. (2)根据勾股定理，得 微专题4一元二次方程的实际应用 PQ2=BP2+BQ2=(5-t)2+(2t)2=25, 1.C2.D 即5t-10t=0, 3.(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x, 解得t1=2,t2=0(不合题意，舍去). 依题意，得 故2s后，PQ的长度等于5cm 1.6(1+x)2=2.5, (3)根据三角形的面积公式，得2BP·BQ=8, 解得x=25%或x=一}（不合题意，合去）， 即t(5一t)=8,整理，得t2一5t+8=0. 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%. △=(-5)2-4×1×8=-7<0， (2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人， ∴此方程没有实数根， 由题意可得2.125+10a≤2.5(1十25%)， ∴.△PBQ的面积不能等于8cm2, 解得a≤0.1. 第2课时一元二次方程的应用 —平均变化率问题 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 基础在线 4.设每箱西瓜降价x元，则每箱盈利(40一x)元，平均每天可 1.B 售出(30十2x)箱，根据题意，得 2.设2023一2025年买书资金的年平均增长率为x, (40一x)(30十2x)=1400,整理，得x2一25.x十100=0， 则5000(1+x)2=7200, 解得x1=5,x2=20, 解得x=0.2或x=一2.2（舍去） 又要尽快减少库存，.x=20 答：2023一2025年买书资金的年平均增长率为20%. 答：每箱西瓜应降20元. 3.C 5.(1)设y关于x的函数关系式为y=kx+b,将(15,700)， 4.(1)(30-x)(20+1.5.x) (25,500)代入上式，得 (2)由题意，得(30-x)(20+1.5x)=700, 20 5十。相得信1那 1b=1000 解得x1=10,x2=3 ∴.y=-20x+1000(10≤x≤30) 20 一探究在线·九年 (2)依题意，有(x-10)(-20x+1000)=6000, =-m2, 解得x1=20,x2=40, ,-m2≤0， .10≤x≤30，.x=20. .(x1-1)(x2-1)≤0. 答：该书的销售单价为20元 15.(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x,由题意，得 (3)销售该书每天的利润不能达到9000元.理由如下： 125(1-x)2=80,解得x=0.2=20%或x=1.8(舍去)， 根据题意，得(x-10)(-20x十1000)=9000， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. 整理，得x2-60x十950=0， (2)设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件， .△=602-4×1×950=-200<0， 由题意，得 .该方程没有实数根 (125-25×2)m+80(100-m)≤7800， ∴.销售该书每天的利润不能达到9000元 ∴.75m+8000一80m≤7800，解得m≥40， 6.(1)设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意，得 .m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件 1十x+x(x+1)=81,整理，得x2十2x-80=0, 答：最少购进甲种商品40件. 解得x=8,x2=一10（不合题意，舍去）. 16.(1)2tcm(5-t)cm 答：每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)由题意，得(5-t)2+(2t)2=52,解得1=0,2=2， (2)81+81×8=729(人). ∴.当t=0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm. 答：经过三轮传染后共有729人会患流感. (3)存在，当t=1时，五边形APQCD的面积等于26cm. 7.63 理由如下： 8.设这个最小数为x,则最大数为(x十8)，依题意，得 长方形ABCD的面积是5×6=30(cm2), x(x+8)=65, 若使五边形APQCD的面积等于26cm,则△PBQ的面 解得x1=5,x2=一13（不合题意，舍去）. 积为30-26=4(cm2),即(5-)×2×号=4， 答：这个最小数为5. 9.12 解得=4（不合题意，舍去），t2=1. 10.设初中组共有x个队参加比赛，依题意，得 即当t=1秒时，五边形APQCD的面积等于26cm2. 数学活动运用化归的思想方法解决问题 2x(x-1)=45, 1.3y2-6y-1=0 解得x1=10,x2=-9(不合题意，舍去). 2.B 答：初中组共有10个队参加比赛. 11.(1)(51-3x) 3.设(2)班人数是x人，则(1)班人数是（合x+7）人， (2)依题意，得(51一3x)x=210, :八(1)班义卖善款1900元，八(2)班义卖善款2600元， 整理，得x2-17x十70=0， (2)班比(1)班的人均义卖款多5元， 解得x1=7,x2=10. :2600-190=5. 当x=7时，AB=51-3x=30>25,不合题意，舍去； 1 2x+7 当x=10时，AB=51-3x=21<25,符合题意， 整理，得x2十254x-7280=0. 答：栅栏BC的长为10米. 解得x1=26,x2=-280<0(舍去)， 阶段测评3(21.2.4一21.3) 经检验，x=26是原分式方程的解， 1.B2.D3.D4.B5.C6.C7.-38.2027 9.有两个不相等的实数根10.24或1511.7 ∴(2)班人数是26人.∴号×26+7=20. 12.30或32 则(1)班人数是20人. 13.使这个方程有两个不相等的实数根， 4.(1)设乙组每天分拣x件包裹，则甲组每天分拣(x十10)件 .b2>4c,.②③均可， 包裹，根据题意，得 选②解方程，则这个方程为x2+3x+1=0, 15(x+10)-14x=200,解得x=50, x1=-35,4=-325, 则x+10=60. 2 2 答：甲组每天分拣60件包裹，乙组每天分拣50件包裹. 选③解方程，则这个方程为x2+3x-1=0, (2)由题意，得培训后乙组每天分拣(50十y)件包裹，则甲 “m=-3+3 ,-3-5 组每天分拣(60十2y)件包裹，根据题意列方程，得 2 1200_1200=5, 14.(1)把1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2,得m2=6, 50+y60+2y 方程整理，得y2一40y十300=0， ∴.m=士√6， .(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0, 解得y=10,y2=30, 解得x1=一1，x2=4, :y≤20，∴y2=30不符合题意，舍去， 经检验，y=10是原方程的解，且符合题意. 故x2=4,m=士√6. 答：y的值为10. (2)证明：方程(x-1)(x一2)=m2可化为x2-3.x十2- 5.(1)-2,-5; m2=0, (2)根据题意，得 ,△=4m2+1>0, ∴.原方程有两个不相等的实数根， 。一日=2的两个解分别为=m,=, 由根与系数的关系，得x十x2=3,1x2=2-m. 则m十n=2,mn=一8， (x1-1)(x2-1)=x1x2-(x十x2)+1=2-m2-3+1 min+mn=mn(m2+n2)=mn[(m+n)2-2mn], 级数学（上）·HD一