22.1.1 成比例线段 教学设计 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“成比例线段”核心知识点，以生活中相似图形实例导入，通过格点图度量线段比值引导学生自主发现规律，承接七年级线段度量、分式运算及一元二次方程旧知，为后续相似三角形学习搭建理论支架。 此资料突出数学抽象（从相似图形实例抽象成比例线段定义）、逻辑推理（严谨证明比例基本性质）与数学运算（解一元二次方程求黄金分割）核心素养，格点探究与分层作业设计贴合学生认知，助力学生提升抽象能力与推理意识，为教师提供清晰教学流程与重难点突破方案。

22.1.1 成比例线段 教学设计 学科 数学 年级 九年级 课型 新授课 单元 第二十二章 课题 22.1.1 成比例线段 课时 1课时 课标要求 1.理解相似图形、成比例线段的概念，掌握比例的基本性质，会判断四条线段是否成比例；能运用合比性质、分比性质进行比例变形；了解黄金分割的定义与数值意义。 2.过程方法：经历观察、度量、计算、证明的探究过程，体会数形结合、代数推理的思想方法。 3.素养发展：借助实例建立图形相似的直观认知，能用比例性质完成严谨代数证明；能结合黄金分割感受数学在生活美学中的应用价值。 4.应用层面：可以运用成比例线段知识解决线段求值、比例变形等题型，为后续相似三角形学习铺垫理论基础。 教材分析 本节课是第 22 章《图形的相似》开篇第一课，承接七年级线段度量、分式运算、一元二次方程旧知，开启相似几何板块学习：教材编排逻辑：从生活放大照片引入相似图形→格点图度量线段得到线段比值→归纳成比例线段定义→例题讲解判断成比例线段方法→推导比例基本性质、合分比性质→结合一元二次方程求解黄金分割；地位作用：成比例线段是相似三角形边长对应成比例的前置理论，比例性质是相似题型计算的核心工具；黄金分割实现几何与方程的跨模块融合。 学情 分析 九年级学生已熟练掌握线段长度测量、分式化简、一元二次方程求解，具备等式变形的代数基础；日常见过照片放大、投影成像等相似图形实例，对 “形状相同、大小不同” 有直观感受； 可完成简单等式证明，能模仿例题书写规范证明步骤。但是比例性质的代数证明逻辑性较强，部分学生只会套用结论、不会推导过程。 核心素养目标 数学抽象：从放大照片、格点矩形实例中抽象相似图形、成比例线段的数学定义； 逻辑推理：严谨证明比例基本性质、合比性质、分比性质，形成规范代数推理论证习惯； 数学运算：统一单位计算线段比值、解一元二次方程求黄金分割长度，精准完成比例变形运算； 教学重点 1.理解成比例线段的概念，四条线段成比例的判断方法； 2.掌握比例的基本性质和黄金分割的概念与黄金比数值。 教学难点 1.比例合比、分比性质的严谨代数证明； 2.判断成比例线段时 “统一单位、有序比对” 的操作规范。 教学 准备 多媒体课件、学习资料 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、引新 【想一想】观察下面图片，你能发现什么？ 右边的照片是由左边的照片放大得来的，尽管它们的大小不同，但其整体，包括其中各个花叶，形状完全相同。 日常生活中， 我们会碰到很多形状相同，大小不一定相同的图形，我们把这种具有相同形状的图形称为相似图形。 例如：同一底片扩印出来的不同尺寸的照片是相似图形. 放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像，也是彼此相似的。 相似图形之间存在着一些特殊的数学关系，现在让我们先研究与其密切相关的成比例线段. 观察对比两张图片，列举生活里相似图形实例，记录相似图形核心特征：形状相同、大小可不同。 依托生活实景降低抽象概念门槛，自然把图形相似问题转化为线段比值问题。 二、探究 探究：成比例线段 【试一试】观察下面的格点图，由格点图可知： ， 2 【概括】对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如 (或a：b=c：d)， 那么，这四条线段叫做成比例线段，此时也称这四条线段成比例。 注意：求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与单位的大小无关. 【例1】判断下列线段a、b、c、d是不是成比例线段： (1) a=4，b=8，c=5，d=10； ， ∴ ∴线段a、b、c、d是成比例线段. (2)、、、. 解：∵、 ∴. ∴线段a、b、c、d是成比例线段. 对于成比例线段，其线段的长度之间有下面的结论： 如果，那么ad=bc. 如果ad=bc ，那么. 以上结论称为比例的基本性质. 请试着证明这两个结论。这两个命题之间有什么关系? 由得，b≠0，d≠0 所以等式两边同时乘bd，得ad=bc. 反过来等式ad=bc两边同时除以bd得. 这两个命题互为逆命题. 【例2】已知 （1）求证： （2）求证： 证明： ∴ad=bc. 等式两边都减去ac，得ad-ac=bc-ac， ∴ac-ad=ac-bc. ∴a(c-d)=c(a-b). 由a≠b，且,知c≠d，从而a-b≠0，且c-d≠0， 上式两边都除以(a-b)(c-d)，得 【例3】如图，已知AB=1，试在线段AB上插入点P，使 ，即AP2 =AB · PB. 解：设AP=x，由题意，有x2=1×( 1-x ). 化简，得x2 +x-1=0. 解此方程， 得 舍去负解，所以 即所需点P与端点A的距离为 将一条线段AB分成两条线段AP和PB(AP>PB)，使AP2=AB·PB, 我们称AP为AB和PB的比例中项，点P为线段AB的黄金分割点，将线段AB黄金分割. 由于所以长为1的线段的黄金分割点，与一个端点的距离大约是0.618. 历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和图案设计等方面. 图中所示的框住古希腊神庙图形的长方形，它的宽与长之比就等于黄金比. 有趣的是，在自然界中也有很多黄金分割的例子，例如，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度之比接近黄金比的近似值0.618. 小组合作数格算比值，发现两组比值相等，齐读成比例线段定义，标注 “统一单位” 注意事项. 跟随教师演算两道例题，同桌互查比值计算过程，抄写比例基本性质。 模仿教师格式书写证明过程，小组讨论其他变形结论，标注分母不为零的前提条件。 独立列方程求解，理解 “线段长度为正所以舍去负根” 的逻辑，记录黄金分割定义与近似值。 用格点量化长度，让学生自主发现比值相等的规律，概念生成更自然。 两道例题分别适配整数、根式场景，覆盖常见题型，固化标准化解题流程。 完整示范代数推理论证格式，培养严谨逻辑推理素养，突破本节课证明类难点。 串联一元二次方程旧知，落实数形结合思想，用美学实例提升学习兴趣。 三、尝试 【知识技能类作业】必做题： 1.下列各组线段中，成比例的是(　D　) A．2 cm，3 cm，4 cm，5 cm　 B．2 cm，4 cm，6 cm，8 cm C．3 cm，6 cm，8 cm，12 cm D．1 cm，3 cm，5 cm，15 cm 2. 已知四条线段a，b，c，d成比例，且a＝1，b＝4，c＝2，则d的长度为( D )． A．2 B．4 C．6 D . 8 3.已知四条线段a、2、6、a+1成比例，则a的值为( B ). A. a=3或a=-4 B. a=3 c. a=-4 D. a=2 4. 小东在网上搜索到比例尺为1：250 000的郑州地图，若小东在地图上量得甲、乙两地之间的距离为6 cm，则两地之间的实际距离为___15___km. 【知识技能类作业】选做题： 5. 如图，东方明珠电视塔高468 m，如果把塔身看作一条线段AC，上面的球体看作点B，B是线段AC的黄金分割点(AB>BC)，则AB的长约为___289.2_____m(精确到0.1 m)． 6. 小明所使用的课桌桌面的长为1.2 m，宽为80 cm，课桌桌面的长与宽的比是（ D ）. A. 1.2：80 B. 8：12 C. 3：4 D. 3：2 【综合拓展类作业】 7.已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm. (1)求线段a与线段b的比. 解：∵ a=0.3m=30cm ; b=60cm，∴ a：b=30：60=1：2. (2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长. 解：∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∵c=12dm=120cm， ∴d=240cm. 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。 四、提升 适时小结，兴趣延伸 本节课你学到了什么？ 对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如 (或a：b=c：d)， 那么，这四条线段叫做成比例线段，此时也称这四条线段成比例。 比例的基本性质: 如果 ，那么ad=bc. 如果ad=bc ，那么. 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。 板书设计 22.1.1 成比例线段 ① 成比例线段. ② 比例的基本性质. ③黄金分割点 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 【知识技能类作业】必做题： 1.延长线段AB到点C，使得BC：AB=1：2，则AC：AB =( D ). A. 2：1 B. 3：1 C. 3：2 D. 4：3 2. 已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2cm，b=4cm，c=5cm，则d等于( B ). A.1cm B.10cm C.5cm D.8cm 【知识技能类作业】选做题： 3.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约是0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108 cm，则小凡的身高约为(　C　) . A．155 cm B．165 cm C．175 cm D．185 cm 4. 我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于( A ). A. B. C. D. 【综合拓展类作业】 5.已知a，b，c是△ABC的三边，且 a+b+c=12，求△ABC的面积. ∴a=3k-4，b=2k-3，c=4k-8，又∵a+b+c=12， ∴3k-4+2k-3+4k-8=12，∴k=3 ∴a=5，b=3，c=4. 又∵a2=25，b2+c2=25， ∴a2=b2+c2，b、c为两条直角边 ∴S△ABC= ×3×4=6，即△ABC的面积为6. 教学反思 本节课从荷花相似实景切入，格点定量探究，再过渡代数比例，由直观到抽象梯度合理；重难点落地扎实：例 1 固化判断步骤、例 2 规范证明格式、例 3 融合方程建模，三类题型覆盖考点；素养渗透到位：比例证明训练逻辑推理，黄金分割对接生活美学，兼顾应试与素养；易错点提前预警：反复强调统一单位、分母不为零、舍去负根三个高频失分点。 学科网（北京）股份有限公司 $