第二十一章一元二次方程—— 一元二次方程的认识与解方程 讲义 2026-2027年华东师大版数学 九年级上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统构建一元二次方程的复习体系，先拆解定义要素“一元、二次、整式方程”，再按“直接开方法、配方法、公式法、因式分解法”分类梳理解法，用对比表格呈现不同方法的适用场景与步骤，清晰呈现知识内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如“由定义求参数”题型通过5道变式题梯度提升，“换元法”例题详细示范整体代换步骤，培养抽象能力与运算能力。每种解法配有易错点提醒，基础生可掌握通法，优生能探究技巧，助力教师实施精准分层教学。

第2讲 一元二次方程的认识与解方程 知识点一：一元二次方程的定义: 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 拆开就可以这样理解： 一元:必须只含有一个未知数； 二次:所含未知数的最高次数是2； 方程:必须是整式方程； 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 题型一：识别一元二次方程 例1．下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上所述，③和④是一元二次方程． 变式练习 1．下列方程中，是一元二次方程的有（     ） A． B． C． D． 【详解】A．方程含有分式，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程，不符合题意； B．中未规定，若，方程不是一元二次方程，不符合题意； C．原方程展开整理，得，满足一元二次方程的全部条件，因此是一元二次方程，符合题意； D．方程含有多个未知数，不是一元方程，因此不是一元二次方程，不符合题意． 2．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 3．在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【详解】选项A中方程含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义，所以A不符合题意； 选项B中方程整理为，只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程定义，所以B符合题意； 选项C中方程含，分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，所以C不符合题意； 选项D中方程展开化简得，即，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，所以D不符合题意． 4．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元二次方程的判断，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程解答即可． 【详解】解：A、当时，，是一元一次方程，不符合题意； B、该方程不是整式方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、该方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 5．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 题型二：由一元二次方程定义求参数的值及范围 例1．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 变式练习 1．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 2． 已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 3． 若关于的方程是一元二次方程，则________． 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 4．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 5．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 题型三：一元二次方程的一般形式 例1．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 变式练习 1．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，再对应找出系数即可得到答案． 【详解】原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． 3．把方程化为一般形式是__________． 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 题型四：由一元二次方程的解求参数值 例1．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 变式练习 1．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 2．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 例2．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 变式练习 1．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 例3．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【分析】所求代数式的二次项、一次项系数与方程对应系数成比例，可通过整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 变式练习 1．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【分析】将代入，可得，整体变形可得答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 2．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 【分析】根据方程根的定义，方程的根满足原方程，将代入原方程变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 移项得， ∴代数式的值为． 3．若，则的值是（     ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【分析】把已知等式整体代入所求代数式，化简求值． 【详解】解：∵ ∴． 4．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，利用根的定义得到含的关系式，再整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得 ， 整理得， ∴． 例4．若实数x满足，则______． 【分析】利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算即可得到结果． 【详解】 ， ∴ 变式练习 1． 已知，则的值为_________． 【分析】根据得出，对所求式的高次项降次，代入所求多项式整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 2． 已知，则的值为______． 【分析】将变形为，再将变形为，再整体代入求解． 【详解】解： 则 ． 3． 已知：，则代数式：的值为_____. 【分析】将已知条件变形为a2=1-a、a2+a=1，然后将代数式a3+2a2-3进一步变形进行求解． 【详解】∵a2+a-1=0， ∴a2=1-a、a2+a=1， ∴a3+2a2-3， =a•a2+2(1-a)-3， =a(1-a)+2-2a-3， =a-a2-2a-1， =-a2-a-1， =-(a2+a)-1， =-1-1， =-2， 故答案为-2. 【点睛】本题考查了整式的混合运算—化简求值，正确进行整式的变形是解题的关键.注意整体思想的应用. 4．已知，则代数式的值为________. 【分析】根据条件转换成x2+x=1,后一个代数式化简后将条件代入即可. 【详解】由题意得:x2+x=1; 2x3+4x2-7=2(x3+2x2)-7=2[x(x2+x)+x2]-7=2(x+x2)-7=2-7=-5; 故答案为:-5 【点睛】本题考查代数式的整体代入求解,关键在于如何将代数式转换成条件中的整体. 知识点二：解一元二次方程 题型一：直接开方法 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1. 形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2. 形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 例1. 用直接开方法解方程 （1）； （2） （3） ； （4） 【详解】（1）解：， 开平方，得， ∴或， 解得； （2）解：二次项系数化为1，得， 开平方得， ，． （3）解：， 直接开平方，得． 即或， 解得． （4）解：， ， 所以或． 变式练习 1. 用直接开方法解方程 （1） （2）； （2） ． （4）； （5）． （6）； （7） （8）． 解析（1）解：∵, ∴ ∴ 解得，． （2）解：∵, ∴ ∴ 解得，． （3）解：， 移项得， 两边同乘2，， 开平方，， 解得，． （4）解：∵， 整理得， ∴， ∴，； （5）解：∵． ∴或， 解得，． （6）解：，即或， ； （7） 开平方，得或， 解得或； （8）解： 或 解得； 题型二：配方法 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1. 对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2. 配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 3. 对一般式用配方法求解，方便理解后面的求根公式和根的判别式。 例1. 用配方法解方程 （1） （2） （3） （4） （5）； 解析（1）解：． (2)， (3)， (4)， (5) 变式练习 1. 用配方法解方程 （1） （2） （3） （4）； （5） 解析（1）解： ，． (2) （3）配方法： ． （4）解： 解得，； (5)， 题型三：公式法 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 例1. 用公式法解方程 （1） ； （2）． （3）； （4）． 解析(1) (2) (3)，； (4)，． 变式练习 （1） （2）； （2） （4） （5）； 解析：(1) (2) (3) (4) (5) 题型四：因式分解法 1. 因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 例1.用因式分解法解方程 （1） （2） （3） （4） （5） 解析（1）解：， ， 或， 所以或者． （2）解： ∴ 解得，． （3）解： ∴或 (4) 变式练习 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解析：(1)， (2) （3）解：因式分解，得， ； （4）解：因式分解，得， ； (5)或 （6）解： 因式分解，得 或 解得； 题型五：按要求解方程 四种基础方法学会后就要学会判断哪种方程应该用哪种方法： 1、 直接开方法：能化成或者的形式的方程； 2、 配方法：在化为一般式并将二次项系数化1后，一次项系数还是偶数的方程； 3、 公式法：万能公式，所有的一元二次方程都可以； 4、 因式分解法：在化为一般式后能因式分解（一提二套三十字）的方程； 例1．用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3) ． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴． （2）解：， ， 或， ∴． （3）解：， ∵， ∴． ∴． ∴． 例2．解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (4) （用公式法）； (4)（用适当的方法）． 【详解】（1）解：直接开平方，得， 或， ，； （2）解：移项，得， 配方，得， 直接开平方，得， ，； （3）解：移项，得． ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ，． 变式练习 1．解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3) （用因式分解法）； (4)（用适当的方法）． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ， 此时，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （3）解： ∴或， 解得，； （4）解： 解得，． 2．解下列一元二次方程． (1) (2) 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：这里． ， ， ，； （2）解：原方程可变形为， 因式分解，得， ，或， ，． 3．解下列一元二次方程： (1) (2) 【分析】（1）根据公式法直接求解即可. （2）把原方程等号左边部分进行因式分解，右边的项移到左边，再进一步分解因式求解即可. 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴，. （2）解： 或 ， 4．解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） （3）（因式分解法） 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ，， ， 则， ∴，； （3）解： ​​​或 ∴，． 5．解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【分析】（1）把方程化为：，可得，再进一步解方程即可； （2）先求解，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ∴，； （2）解：，即， ∴，，， ∴， ∴， 即，． 题型六：换元法 1. 换元法首先就要找到方程的相同部分，将这部分可设为m，以此替换就是换元。 2. 在用换元法解完方程后，必须要验根： ①如果直接求的x,则需要考虑原方程是否是分式方程； ②如果求的不是x,而是某个整式，则需要考虑这个整式的范围，判断所求值是否在整式的范围内； 例1． 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 【分析】设，则原方程可化为，然后求出的值，再代入解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∴，解得或， ∵， ∴舍去， ∴， ∴， ∴，． 例2．解方程： 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 先把原方程变为，设，则，解出方程可得或，即可求解． 【详解】解：原方程变为， 设，则， 解得：或，         由 即， 解得， 由 即，此方程无解； 经检验：是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 例3．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 变式练习 1． 解方程： 【分析】本题主要考查了解分式方程，设，则，则可把原方程化为，解得或，进而得到或，即或，再分别解两个一元二次方程即可． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴或， ∴或， 解方程得，解方程得或， 经检验，，，都是原方程的解， ∴原方程的解为或或． 2． 解分式方程：． 【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把解分式方程转化成解一元二次方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验． 原方程化为，设，则原方程变形为，求出的值，当时，方程为，求出方程的解，当时，方程为，求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：原方程化为：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：或， 当时，， 整理得：， ， ， 解得：，； 当时，， 整理得：， ， 解得：， 经检验，，都是原方程的解， 所以原方程的解是，，． 3． （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，完全平方公式，幂的运算，掌握通过换元将复杂方程转化为简单方程，利用整体思想简化计算是解题的关键． （1）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，因式分解求解； （2）设，将原方程转化为关于的完全平方式，求解后计算幂的值． 【详解】解：（1）设， 则原方程可化为， 因式分解，得， 解得，， 的值为9或． （2）根据题意，设， 代入原方程，得，即， 解得，即， ． 4．解方程： (1)； (2)． 【分析】（1）求得判别式，进而可得原方程无解； （2）设，则解方程，得到t值，再解关于x的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； （2）解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 5．我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 【分析】（1）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可； （2）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， 当时，， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，， 整理得， 解得，即，， 综上，原方程的解为，． 6．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 一元二次方程的认识与解方程 知识点一：一元二次方程的定义: 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 拆开就可以这样理解： 一元:必须只含有一个未知数； 二次:所含未知数的最高次数是2； 方程:必须是整式方程； 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 题型一：识别一元二次方程 例1．下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 变式练习 1．下列方程中，是一元二次方程的有（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 3．在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 4．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 题型二：由一元二次方程定义求参数的值及范围 例1．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 变式练习 1．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 2．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 3．若关于的方程是一元二次方程，则________． 4．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 5．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 题型三：一元二次方程的一般形式 例1．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 变式练习 1．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 3．把方程化为一般形式是__________． 题型四：由一元二次方程的解求参数值 例1．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 变式练习 1．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 例2．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 变式练习 1．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 例3．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 变式练习 1．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 3．若，则的值是（     ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 4．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 例4．若实数x满足，则______． 变式练习 1．已知，则的值为_________． 2．已知，则的值为______． 3．已知：，则代数式：的值为_____. 4．已知，则代数式的值为________. 知识点二：解一元二次方程 题型一：直接开方法 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1. 形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2. 形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 例1. 用直接开方法解方程 （1）； （2） （3） ； （4） 变式练习 1. 用直接开方法解方程 （1） （2）； （2） ． （4）； （4） ． （6）； （7） （8）． 题型二：配方法 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1. 对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2. 配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 3. 对一般式用配方法求解，方便理解后面的求根公式和根的判别式。 例1. 用配方法解方程 （1） （2） （2） （4） （5） ； 变式练习 1. 用配方法解方程 （1） （2） （2） （4）； （5） 题型三：公式法 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 例1. 用公式法解方程 （1） ； （2）． （2） ； （4）． 变式练习 （1） （2）； （2） （4） （5）； 题型四：因式分解法 1. 因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 例1.用因式分解法解方程 （1） （2） （3） （4） （4） 变式练习 （1） （2） （2） （4） （5） （6） 题型五：按要求解方程 四种基础方法学会后就要学会判断哪种方程应该用哪种方法： 1、 直接开方法：能化成或者的形式的方程； 2、 配方法：在化为一般式并将二次项系数化1后，一次项系数还是偶数的方程； 3、 公式法：万能公式，所有的一元二次方程都可以； 4、 因式分解法：在化为一般式后能因式分解（一提二套三十字）的方程； 例1．用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3) ． 例2．解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (4) （用公式法）； (4)（用适当的方法）． 变式练习 1．解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3) （用因式分解法）； (4)（用适当的方法）． 2．解下列一元二次方程． (1) (2) 3．解下列一元二次方程： (1) (2) 4．解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (4) （因式分解法） 5．解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 题型六：换元法 1. 换元法首先就要找到方程的相同部分，将这部分可设为m，以此替换就是换元。 2. 在用换元法解完方程后，必须要验根： ①如果直接求的x,则需要考虑原方程是否是分式方程； ②如果求的不是x,而是某个整式，则需要考虑这个整式的范围，判断所求值是否在整式的范围内； 例1． 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 例2．解方程： 例3．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 变式练习 1． 解方程： 2． 解分式方程：． 3． （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 4．解方程： (1)； (2)． 5．我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 6．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $