综合与实践5 抽奖背后的秘密&第24章 随机事件及其概率拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

获胜；④抽到5，点数和为9.5，小王获胜；⑤抽到7、8、9、 10,点数和都大于10.5，以0点计算，小王不获胜；⑥抽到 Q,点数和为5，小王不获胜.∴.若小王选择抽第三轮，则共 有9种等可能的结果，其中，小王获胜的结果有2种，∴小 王获胜的概率为号， 5.(1)不同意小明的想法.·袋子中装有2个白球和1个 红球P(模幽白球)=号，P(模出红球)=：号于 名“模出白球和模出红球不是等可能的。(2②)同意小 明的想法.记2个白球分别为白，、白2，画树状图如图所示 由图，可知共有6种等可能的结果，其中摸出的2个球都是白 球的结果有2种“P(摸出的2个球都是白球)=2-号 Γ6-3 (3)不同意小明的想法.设应再添加x个红球.根据题意， 得异一号解得x=8经检验=3是原分式方程 的解，且符合题意.∴.应再添加3个红球，而不是4个 红球 第1个 第2个白2红白：红白：白 (第5题) 6.将A转盘分成四等份.列表如下： 差的绝对值A 3 -3 -3 B 一1 2 3 2 2 -2 3 4 1 1 3 1 6 6 由表，可知共有12种等可能的结果，其中两个指针所指的 数之差的绝对值大于2的结果有5种，两个指针所指的数之 5 差的绝对值小于2的结果有3种、P(甲胜)=2，P(亿 胜)=音子“是≠行…这个前戏规则对甲，乙两人不 51 公平修改游戏规则不唯一，如甲、乙两人同时转动转盘，当 转盘停止转动时，若两个指针所指的数之差的绝对值大于 3,则甲胜；若两个指针所指的数之差的绝对值小于2，则 乙胜 5 易错警示 忽视不等分转盘中隐含的等可能性而致错 本题中A转盘虽然被分为三个区域，但这三个区域 不是等分的，故转盘停止转动时，指针指向这三个区域 的可能性并不相等，实际上指针指向一3的可能性是指 针指向1（或2）的2倍，若忽视了这一点，则会导致列举 所有等可能的结果时出现错误 综合与实践5抽奖背后的秘密 (1)画出如图所示的树状图，由图，可知共有8种等可能的 结果，其中落人甲槽内的结果有6种，∴P(从入口A,处 投放一个小球落人甲槽内)=8= 63 ,(2)方案二中的 定价最高为55元.理由：由(1)知方案一中，P(从人口 A,处投放-个小球落人甲精内)一子一P(从人口A,处 投放一个小球落入乙槽内)=1一子-子，则商家的获利大 约为100×3×(54-2)+100X号×(54-6)-100×40= 4 1100(元).由题可知，方案二中，P(从入口A,处投放一个 小球落人甲槽内)一2，P(从人口A,处投放一个小球落 人乙槽内)=号，则商家的获利大约为100×是×(a 1 2)+100×2×(a-6)-100×40=(100a-4400)元. .要使商家采用方案一的获利不少于方案二，∴.100a 4400≤1100，解得a≤55.∴.方案二中商品的定价最高为 55元. B. 6 D DD. D 第24章拔尖自主测评 1.D由折线统计图知，随着试验次数的增加，投放点落在 涂色部分的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率.设涂 色部分的面积为xm,则有名文8-0.35，解得x=2.4, 即涂色部分的面积为22.4cm2. 2.D将从左到右的三条竖线分别记作α、b、c,将从上到 下的三条横线分别记作m、n、l,用表格列出所有可能出现 的结果： ab be ac 12m (ab,mn) (bc,mn) (ac,mn) nl (ab,nl) (bc,nl) (ac,nl) ml (ab,ml） (bc,ml) (ac,ml) 由表，可知共有9种等可能的结果，其中所选矩形含点A 的结果有(bc,mn)、(bc,ml)、(ac,m)、(ac,ml),∴.所选 短形含点A的概率为司 3.B列表如下： m一n 6 8 6 0 1 2 3 7 1 0 1 2 8 2 1 0 9 3 2 0 由表，可知共有16种等可能的结果，其中满足|m一n≤ 1的结果有10税“两人心领神会的概率是8名 4.A.四条线段任取三条所有的情况为4种，∴.当能组 成三角形的概率为子时，满足条件任取三条能组成三角形 的情况有4×子-3（种）.由题意，得任取三条有：①3,5、7， ②3、5、m;③3、7、m;④5、7、m四种情况.3+5>7,7- 3<5,∴.①能组成三角形.当m=4时，对于②3、5、4有3十 4>5,5-3<4,∴.②能组成三角形.对于③3、7、4,3十4= 7,7-3=4,∴.③不能组成三角形.对于④5、7、4,5+4>7， 7一4<5，.④能组成三角形.满足条件任取三条能组 成三角形的情况只有3种，∴.A选项符合题意.当m= 5时，对于②3、5、5有3十5>5、5-3<5，∴.②能组成三角 形.对于③3、7、5,3+5>7,7一3<5，∴.③能组成三角形. 对于④5、7、5,5十5>7,7-5<5，∴.④能组成三角形..B 选项不符合题意.当m=6时，对于②3、5、6有3十5>6， 6-3<5,.②能组成三角形.对于③3、7、6,3十6>7,7 3<6,∴.③能组成三角形.对于④5、7、6,5+6>7,7-5< 6,∴.④能组成三角形.∴.C选项不符合题意.当m=7时， 对于②3、5、7有3十5>7,7一3<5，.②能组成三角形.对 于③3、7、7,3十7>7,7一3<7，∴③能组成三角形.对于 ④5、7、7,5十7>7,7-5<7，∴.④能组成三角形.∴D选项 不符合题意 5.A设两个连续偶数为21和21十2(n为非负整数)，则 它们的平方差为(21+2)2-(2n)2=(2n+2+2n)(21+ 2-2m)=4(2m+1)..4(2n+1)≤100..n≤12..0≤ n≤12.∴.在1100这100个数中，“神秘数”共有13个. :从100个数中任取1个数，有100种等可能的结果， .出现“神秘数”的概率为00 .13 6.C,一枚质地均匀的硬币连续抛4次，每次抛的结果 都有两种，∴.抛4次一共有2×2×2×2=16（种）结果.当 第一次抛的结果是正面向上时，那么第二次抛的结果一定 是反面向上，若第三次抛的结果为正面向上时，则第四次 抛的结果一定是反面向上，若第三次抛的结果为反面向上 时，则第四次抛的结果可以是反面向上，也可以是正面向 上，∴.当第一次抛的结果是正面向上时，一共有3种结果 当第一次抛的结果是反面向上时，若第二次抛的结果是反 面向上，则同理可知此时有3种结果；若第二次抛的结果为 正面向上，则第三次抛的结果一定是反面向上，第四次抛 的结果可以是反面向上，也可以是正面向上，即此时一共 有2种结果.∴.没有两次连续正面向上的结果有3十3十 2=8(种).“没有两次连续正面向上的概率为6一2 ,81 7.4游戏对甲、乙双方都公平，·黑球与绿球的个数 应相等，也为2x.根据题意，可得x十2x十2x=20,解得 x=4. 将S、S、SS,分别用1、2、3、4表示，画树状图如 图所示.由图，可知共有12种等可能的结果，其中能够让灯 泡不亮的结果有2种“灯泡不亮的概率为品= 126 23413412412 (第8题) 9.子小明在左侧选两个绳头打一个结有三种可能：AB、 AC、BC,小红在右侧选两个绳头打一个结有三种可能： A,B,、A,C1、BC.列表如下： AB AC BC A:B (A B::AB) (AB,AC)(A B:,BC) ACi (AC1,AB》 (A CAC) (A C BC) B C (B,C,AB) (B:C,AC)(B,C:,BC) 由表，可知共有9种等可能的结果，其中这三根绳子能连成 一根长绳的结果有6种.∴.这三根绳子能连成一根长绳的 概率为号-号 0 ,方程两边同乘以(x一1)(x十2)，得(x十1)(x一 1)-x(x十2)=ax十2，整理，得(a十2)x=一3.当a十2= 0,即a=一2时，整式方程无解，则分式方程也无解；当a十 2≠0，即a≠一2时，：原分式方程无解，∴.原分式方程有 增根.∴.当x十2=0或x一1=0时，原分式方程无解. ∴.当x=1或x=一2时，原分式方程无解.若x=1,则 a十2=-3，解得a=-5;若x=-2,则-2(a十2)=-3， 解得a=一号综上所述，当a=-2或-5或-号时，分式 方程无解.画树状图如图所示，由树状图可知，共有12种等 可能的结果，其中，使关于x的分式方程)-工 x+2x-1 (红-)(+2)无解的结果有2种，“使关于x的分式方 a.x+2 程十1x ax十2 21 十2x一(x-1Dx+2)无解的概率为2=6 3 -115-31 -3-15-3-1 和-4-22-404-206246 (第10题) 1.贵：任意遮择-个有序莖数对a,60式中1a<5, |b≤5，∴.a与b可取的整数分别为一5、一4、一3、一2、 一1、0、1、2、3、4、5共11种情况.∴.有序整数对(a,b)共有 11×11=121(种).若方程x2+a.x+b=0有不相等的正实 根，则△=a2-4b>0,一a>0,b>0,∴.方程x2十a.x+b= 0有不相等的正实根有(-5,1)、（一5,2）、（一5,3）、（一5， 4)、(-5,5)、(-4,1)、(-4,2)、(-4,3)、(-3,1)、(-3, 2)共10种结果.∴.方程x2十ax十b=0没有不相等的正实 根的结果有121-10=111（种）.∴.方程x2+a.x+b=0没 有不相等的正实根的；率元册 12.(1):只有一面涂有颜色的小正方体共有6个， 6.2 “P(只有一面涂有颜色)=2元=9 (2):至少两面涂 有颜色的小正方体共有12十8=20（个），∴.P(至少两面涂 有颜色) 20 ,(3):各个面都没有涂颜色的小正方体 有1个，“P(各个面都没有涂颜色)=27 13.(1)0.25.(2)由(1)，可知黑棋有4×0.25=1（枚）， 则白棋有3枚，画树状图如图所示.由图，可知共有12种等 可能的结果，其中这2枚棋颜色不同的结果有6种， :P(这2枚棋颜色不同)=2一2 61 黑 白 白 白白白黑白白黑白白黑白白 (第13题) 14.(1)画树状图如图①所示.由图，可知共有20种等可能 的结果，其中取出的球的编号之和不大于6的结果有 12税：取出的球的销号之和不大于6的概率为号号 (2)画树状图如图②所示.由图，可知共有25种等可能的 结果，其中nm”的结果有16种，.∴。n"m”的概率 为费 第一次 第二次23451345124512351234 和34563567457856796789 ① n 2 代、 m1234512345123451234512345 ③ (第14题) 15.（1)每小题有四个选项，且只有一个选项是正确的， 有三个选项是错误的，不妨用“对，错，错，错”来表示.列 表如下： 时，预期得分为0十8×2=16（分）：②当一题不答，一题随 第二题 对 错 错 错 机选择时，：P(对)=子，P(错)=子预期得分为2X 第一题 3 对 (对，对) (对，错) (对，错) (对，错) 4-1X +0叶2×8=15是（分）：③当两题都采用随机 4 错 (错，对) (错，错) (错，错) (错，错) 选择时，有两题都对、一对一错、两题都错三种可能，所得 错 (错，对) (错，错) (错，错) (错，错) 的分数分别为9分、1分、一2分，相应的概率分别为P(答 错 (错，对)（错，错） (错，错) (错，错) 对2题)品P(答对1题)=品P(两题都答错)=是， 由表可知，共有16种等可能的结果，其中2道题都答错的 1 结果有9种“2道题都答辑的概率为品 :预期得分为9×6+1×是-2×品+2×8 (2)小明有 13 3种可能的解答方式，分别为①两题都不答；②一题不答， 15是（分.：15号<15号<16小明采用壳不答的解 题随机选择；③两题都采用随机选择.①当两题都不答 答方式更合算。 中考新题型特训 得t1=2.当点Q在CD上时，过点A作AH⊥BD,垂足为 1. 3 列表如下： K K2 K H(如图)，则AH=AB·s∠ABD=40X号=24(m K (K1,K2) (K1,K3) K :∠CDB=∠ADH,:m∠DB-sm∠ADH-装 (K2,K) (K2,K3) K (K,K) (K3,K2) 4Q0=QD·sm∠CDB=(5-1)× 共有6种等可能的结果，其中能让两个灯泡L,、L2同时发 光的结果有(K,K)(K,K),共2种，.能让两个灯泡 (4)nm即d山-24.2g-:=16解得 1,山同时发光的概率为后-台 6 (3)当t=5.5时，d1= 2.√2由题意，得a2=8,b2=9,c2=1,∴.a2b2=72, PP 7.5,此时BP= sin∠ABD 7.5=12.5(m),.AP= +-C-8∴5=√(2-8)=2. /1 5 2 3.(1)55.∠ABC=90°，AB=40m,BC=30m, AB-Bp=40-12.5=27.5(m).·v1=5,5三5. .AC=√302+402=50(m).D为AC的中点， Pp'=Bp·sim∠ABD=(40-5)X是=(24-3)m CD=2AC=25mBC+CD=30+25=5(m. 即d1=24-3t.当点Q在BC上时，由d1=d2,得24- ∴.机器人乙运动的路线长为55m.(2)根据题意，得 0-,解得1-器当点Q在CD上时，由d,-d,得 C=10.:在R△ABC中，∠ABC=90,D为d 21-0-2解得11或4= 5 的中点，∴.BD=CD=AD=25m.∴.∠ABD=∠BAC, ∠DBC=∠C.·.sin∠ABD=sin∠BAC=号， 3 H D d2 m sm∠DBC-sinC-专当点Q在BC上时，QQ-BQ· sn∠D8c=10e×号=8r(m.即d:=.8&,=16,解 (第3题) 62拔尖特训·数学（华师版）九年级上 综合与实践5抽奖背后的秘密 高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图①是一个竖直放 置的高尔顿钉板，其中，灰色圆面表示钉板上的钉子，A1、B1、B2、…、D3、D4分别表示相邻两颗钉子 之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的小球，小 球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等， 直至小球落入下面的甲槽或乙槽内. 6Aò OBOB,O 64. OC.OC.OC OBOB. OD,ODOD,OD, QC.QC.QC. 甲 甲 乙 乙 ① ② (1)求从入口A1处投放一个小球落入甲槽内的概率， (2)某商家在研究了高尔顿钉板后，利用其进行抽奖促销活动销售一种商品.现有如下抽奖方案： 方案一：商品定价54元，顾客入店购买一件该商品，可以在如图①所示的钉板上玩一次游戏，小球 落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元. 方案二：商品定价α元，商家改进高尔顿钉板后如图②所示，将钉子减少为3层.顾客入店购买一件 该商品，可以在如图②所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内 则该商品立减6元. 已知一件该商品的成本为40元，假如某天有100人各购买了一件该商品，并参与了此抽奖，请估算 若要使商家采用方案一获利不少于方案二，则方案二中商品的定价最高为多少元？请说明理由. 100 >“答案与解析”见P59 第24章随机事件及其概率 第24章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.如图①，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中涂色部分），为测算涂色部分面积，小 亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在涂色部 分的频率数据，结果如图②所示.小亮由此估计涂色部分的面积为 () A.2.8 cm2 B.2.4 cm2 C.3.2 cm2 D.22.4cm2 个频率 0.40 0.35 01002003004005006007008009001000 ·A 试验次数 ② (第1题》 (第2题) 2.如图，在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形，从 这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率为 () A行 B司 3.在一个不透明的袋子里装有四个小球，小球上分别标有6、7、8、9四个数字，这些小球除数字外其 他都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋子里任意摸出一个小球，将小球上的数字记为 m,再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m、n满足|m一n≤1，那么就称甲、乙两人“心领神 会”两人“心领神会”的概率是 () A音 RS c D.2 4.从长度为3、5、7、（其中m为整数）的四条线段中任取三条，使它们首尾顺次相接能组成三角形 的概率为，则m的值可以为 () A.4 B.5 C.6 D.7 5.若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如4=22一0,12= 4一22).在1~100这100个数中，出现“神秘数”的概率为 （) A品 B高 c品 1 D.0 6.一枚质地均匀的硬币连续抛4次，其中没有两次连续正面向上的概率为 ( A日 c 101 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 二、填空题（每小题5分，共25分） 7.一个不透明的袋中有20个球（每个球除颜色外其他均相同），其中白球有x个，绿球有2x个，其 余为黑球.从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则甲胜；若为黑球，则乙胜；若为白球，则需重摸.当 时，游戏对甲、乙双方公平. 8.情境学科融合在如图所示的电路图中，当随机闭合S、S2、S、S中的两个开关时，灯泡不亮的 概率为 ☒ (第8题) (第9题) 9.如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1.小明在左侧选两个绳头打一个结，小红在右 侧选两个绳头打一个结，则这三根绳子能连成一根长绳的概率为 10.有四张正面分别标有数一3、一1、1、5的不透明卡片，它们除数不同外其余全部相同，现将它们 背面朝上，洗匀后从中任取两张，将两张卡片上的数之和记为，则使关于x的分式方程 x+1 x ax+2 x十2x-1(x-1)+2)无解的概率为 11.任取一个有序的整数对(a,b),其中a≤5，b≤5.每一个这样的有序数对被选择的可能性相 等，则方程x2十αx十b=0没有不相等的正实根的概率为 三、解答题（共51分） 12.(9分)如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成27个大小相同的小正方 体，从这些小正方体中任意取出一个，求取出的小正方体： (1)只有一面涂有颜色的概率， (2)至少两面涂有颜色的概率 (3)各个面都没有涂颜色的概率 (第12题) 102 第24章随机事件及其概率 13.(11分)盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次 摸出1枚棋，记录颜色后放回摇匀.重复进行这样的试验后得到的数据如下表： 摸棋的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑棋的次数m 24 51 76 124 201 250 摸到黑棋的频率”（结果精确到0.001） 0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250 (1)根据表中数据，估计从盒中摸出1枚棋为黑棋的概率是 (结果精确到0.01). (2)若盒中黑棋与白棋共有4枚，某学生一次摸出2枚棋，请计算这2枚棋颜色不同的概率， 14.(14分)一个不透明袋中装有五个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1、2、3、4、5. (1)从袋中随机一次取两个球，求取出的球的编号之和不大于6的概率 (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为，将球放回袋中摇匀，然后从袋中随机取一个球， 该球的编号记为m.求nm≤m”的概率 15.(17分)小明参加一个知识竞赛，该竞赛试题由10道选择题构成，每小题有四个选项，且只有一 个选项正确.其给分标准为答对一题得2分，答错一题扣1分，不答得0分，若10道题全部答 对，则额外奖励5分.小明对其中的8道题有绝对把握答对，剩下2道题完全不知道该选哪个 选项 (1)对于剩下的2道题，若小明都采用随机选择一个选项的做法，求2道题都答错的概率. (2)从预期得分的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题更合算？ >“答案与解析”见P59 103