专题特训7 求锐角三角函数值的常用方法-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

拔尖特训·数学（华师版）九年级上 专题特训七求锐角三角函数值的常用方法 类型一定义法 条件：已知或能运用直角三角形的性质求出直角三角形中有关边的长， 方法：直接利用锐角三角函数的定义求值， 1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD、CE交于点F.若AE EF=4,FC=9,则cos∠ACB的值为 5 B.9 C.2 D 类型二设参数法 (第1题) 条件：已知直角三角形的两边之间的数量关系， 方法：①设定一个参数，用含该参数的式子表示出直角三角形各边的长；②利用锐角三角函数的定义求值 2.考向新定义题若三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，则称这个三角形为“好玩三角 形”.若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C=90°，BC≥AC,则tanB的值为 () 号 B号 2 C.3 D③ 3 类型三同角三角函数间的关系运用法 同角三角函数关系：sina十cos2a=1,tana= sina(a为锐角). cosa 3.已知sina十cosa= 0°<a<45,则tana的值为 7 A B.3 D.5 类型四等角转化法 条件：某个锐角的三角函数值不能直接求解或锐角不在直角三角形中， 方法：将此角通过等角转换，转化到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用两锐角相等，则其三角函数值也 相等来解决」 4.如图，在△ABC中，AC=BC,过点C作CD⊥AB,垂足为D,过点D作DEBC,交AC于点E. 若BD=6,AE=5,则sin∠EDC的值为 () 7 B. 25 D 4 C. D. 24 25 (第4题) 78 第23章解直角三角形 5.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,D、E分别是AB、BC的中点，过点B作BF⊥AC于点 F,BF与DE交于点G (1)求证：DE⊥BF. (2)连结ER,若Sg-5求cs∠CEF的值 R (第5题) 类型五构造直角三角形法 条件：图形中没有直角或所求的角不在直角三角形中 方法：通常要先构造关于要求的角的直角三角形，然后计算线段的长，最后利用三角函数的定义解答 6.已知一个等腰三角形的腰长为5，底边长为4，则顶角的余弦值为 7.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.若EF=6,BC=l3,CD=5,则tanC的 值为 (第7题) (第8题) 8.如图，在6×6的正方形方格纸中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AC与 BD相交于点O,则tan∠BOC= 9.如图，点P在等边三角形ABC的内部，且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕，点C顺时针旋 转60得到P'C,连结AP',求cos∠PAP'的值. (第9题) “答案与解析”见P45 79∴.△POB≌△MOC.∴.PB=MC,∠BPO=∠M. %号./0M∠M=I=0、气 cosa,直线CQ与CM所夹锐角的度数是a.理由：如图②， 连结PB,延长BP交CQ于点J,延长QC到点R,设AC 交BJ于点K.∠PAQ=∠BAC,∴.∠CAQ=∠BAP, ..AQ_AC ·Ap=AB=cosa,∴.△QACc∽△PAB.∴.a=A5= cosa,∠ACQ=∠ABP.∠AKB=∠CKJ,.∠CJK= ∠BAK=a.·OP=OM,∠POB=∠MOC,OB=OC ∴.△POB≌△MOC.∴.PB=MC,∠BPO=∠M. ·=cosa,BJ/CM.÷.∠RCM=∠CJK R 0 R ② (第10题) 专题特训七求锐角三角函数值的常用方法 1.D如图，延长AD到，点M,使得DM=DF,连结BM. D为BC的中点，∴.BD=DC.又'∠BDM=∠CDF, DM=DF,∴.△BDM≌△CDF..∴.BM=CF=9,∠M= ∠CFD.∴.CE∥BM..∠AFE=∠M.EA=EF ∴.∠EAF=∠EFA.∴.∠BAM=∠M.∴.AB=BM=9. AE=EF=4,∴.BE=5,EC=13.:∠EBC=90°， .BC=√EC2-BE2=√132-5=12..AC= VAB+=V9+g=1返ms∠ACB=C= 124 15-5 B D --M (第1题) 2.B如图，：BC≥AC,.只有BC边上的中线AD满 足条件，即AD=BC.设CD=BD=a(a>0),则AD= BC=2a.由勾股定理，得AC=√AD2-CD=3a. mBC-经 A (第2题) 3.A设直角三角形中，锐角a所对的边长为a,邻边长为 b,斜边长为c,则sina=a c,cos a=b ，ana= :sina +oxa=-号即2+2-名a-名 c行设c 5k,则a十b=7k.由勾股定理，可得a=3k,b=4k或a= 4k,b=3k.0a<45°，∴.a=3k,b=4k...tana= 4=3 b41 4.A:AC=BC,CD⊥AB,∴.AD=BD=6,∠BDC= ∠ADC=90°.·AE=5,DE∥BC,∴.易得AC=2AE= 10,∠EDC=∠BCD.∴.BC=AC=10.∴.sin∠EDC= sin∠BcD BD 6 3 BC105 5.(1):D、E分别是AB、BC的中点，∴.DE是△ABC 的中位线.∴.DE∥AC..∠DGB=∠AFB.'BF⊥AC, .∠AFB=∠BFC=90.∴.∠DGB=90°..DE⊥BF (2)∠BFC=90°，E是BC的中点，∴.EF=BE=EC .∠EFC=∠C.AB=AC,.∠ABC=∠C .∠CEF=180°-2∠C=∠BAC.:DE∥AC,D是AB 的中点，△BDGO△BAE,S=子：E是BC 的中点，Se=2S.Sa=5m, SAMP=4S△G=3SACF..SAAx=S△AP十 Sm=Sm+2Sm=号sm长-3器 3 S△A 9Sm:号5D-吕在△MBF中，ms∠r 22 os∠BAF=AE-AF-8 AB AC 11 6.0.68如图，AB=AC=5,BC=4,过点A作AD⊥BC, 垂足为D,过点C作CE⊥AB,垂足为E..BD=CD= 1 BC=2.由勾股定理，得AD=√AB-BD-√2I.由 面积法可知，CE·AB=AD·BC,.CE=4②由勾股 5 定理得A证-MC-(E-吕mA=能贵 0.68. D (第6题) 5 7号 连结BD.:E、F分别是AB、AD的中点， :EFBD,且EF=号BD.BD=12.:C=13, CD=5,.BD2十CD2=BC2..△BDC是直角三角形， 且∠B0=9r.&amC-0号 8.3如图，过点B作BE⊥AC于点E,过点C作CF⊥ AB于点F,则CF=3,AC=√32+3=3√2，BC T+3=而，Sax=号AB·CF=2AC·BE. .BE=2√2..CE=√（√10）2-(22)2=2.AB∥ cD.△AoB∽△D.8-8:号-品 R40+00=AC=32,0C=2X3E=58 31 i0k---89-E-29 .在R△BOE中， tan∠BC-BE-22] =3. OE2√2 3 B (第8题) 9.连结PP'.线段PC绕点C顺时针旋转60得到P'C, ∴.CP=CP'=6,∠PCP'=60°..△CPP'为等边三角形. ∴.PP=PC=6.△ABC为等边三角形，∴.CB=CA, ∠ACB=60°.∴.∠PCB=∠P'CA.在△PCB和△P'CA (PC=P'C, 中，∠PCB=∠P'CA,∴.△PCB≌△P'CA..PB= CB=CA, P'A=10..62+82=10,.PP2+AP2=P'A2 ∴.△APP为直角三角形，且∠APp'=90°.∴.cOs∠PAP'= PA 84 pA=0=5: 23.4解直角三角形 第1课时解直角三角形及其简单应用 1.D如图，过点A作AC⊥OD于点C.在Rt△OAC中， OA=50厘米，∠AO℃=40°÷2=20°，∴.0℃=OA· 0s20°=50Xa0s20°（厘米）.∴.CD=OD-O℃=OA-一O℃= 50-50×c0s20°=50(1-c0s20°)厘米。 0 AO&DB D (第1题)》 2§3 13 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4, amA=号BC=AC·anA=4X2=6.AB= √AC+BC=W√4+6=2√3.：CD是边AB的中 线，CD=BD=2AB=2×25=丽.：Sr- CC-×6X4-125m-5m-号× 12=6:BE1CD,2CD·BE=Sam=6专× 压E=反E-是=2酒.·DE √/13 vD-E-E-2-5证 13 的长为53 13 3.过点C作CH⊥AB于点H,则∠AHC=90°.在△ABC 中，∠ACB=37°+53°=90°，∴.∠CAB+∠ABC=90° :∠ACH+∠CAB=90°，∴.∠ABC=∠ACH=37°. :sin∠ABC=AB,·AB-AC240 sm37≈0.60=400（米）. ∴.公路桥梁AB的长约为400米. 4C:在△Ac中.m∠CB-%--9 6 21 ·∠CAB-45:在R△4B'C中，sim∠CAB=BS 25-号∠CA8=r.∠Cc=m-45=15,即 钓鱼竿转动的角度是15°. 5.2.7过点B作BD⊥OA于点D,过点C作CE⊥OA 于点E.在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°， ∴.CE=BD=OD=2cm.在△OCE中，∠COE=37°， ∠00-0m37-8Ea750Ew27m,即 O℃与尺上沿的交点C在尺上的读数约是2.7cm. 6.(1)在Rt△ABE中，：AE=80m,∠A=30°，sinA= 1 年，.BE=AE·sinA=80×sin30°=80X2=40(m.