综合与实践3 探索三角形的内接矩形的作法&第22章 图形的相似拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

第22章图形的相似 综合与实践3 探索三角形的内接矩形的作法 如图，在锐角三角形ABC中，如何作一个正方形DEFG,使点D、E落在BC边上，点F、G分别落 在AC、AB边上？ 勤奋小组同学给出了如下作法： ①画一个有三个顶，点落在△ABC两边上的正方形HIJK; ②连结BJ并延长，交AC于点F; ③过点F作EF⊥BC于点E; ④过点F作FGBC,交AB于点G; ⑤过点G作GD⊥BC于点D,则四边形DEFG即为所求作的正方形 受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角三角形ABC中，作出长与宽的比为2：1的 矩形DEFG,使点D、E位于边BC上，点F、G分别位于边AC、AB上. (1)你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由， (2)请你帮助创新小组同学在锐角三角形ABC中，作出所有满足长与宽的比为2：1的矩形 DEFG,使点D、E位于边BC上，点F、G分别位于边AC、AB上（在备用图中完成，不写作法，保留 作图痕迹) (3)在(2)的条件下，若△ABC的面积为36，BC=12,求矩形DEFG的面积 HD I 备用图1 备用图2 “答案与解析”见P38 67 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 第22章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共20分） 1.一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面 直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小.如图，两个符号“E”在第一象限，且关于 原点O位似.若点A、B、C的坐标分别是(6,8)、(3,4)、(10,4)，则点D的坐标是 () A.(4,2) B.(5,3) C.(5,2) D.(6,2) F 0 D G D C (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，点D在边BC上，连结AD,点E在边AC上，过点E作EF∥BC,交AD于 点F,过点E作EG∥AB,交BC于点G,则下列式子一定正确的是 () A.瓷币 AE EF EF EG B.CDAB c品 CG AF D.BCAD 3.如图，在△ABC中，AB<AC,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点D在边BC上，DE 交AC于点F.有下列结论：①△AFE∽△DFC;②DA平分∠BDE;③∠CDF=∠BAD.其 中，正确的有 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.[2024温州模拟]如图，在□ABCD中，AG平分∠BAD,分别交BD、BC、DC的延长线于点F、 G,E,记△ADF与△CBG的面积分别为S,S.若AB:AD=2:3.则的值是 C.8 5 D. 4 E C (第4题) (第5题) 5.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，P为线段AB上的动，点，E为AD的中点，射线PE交CD 的延长线于点Q,过点E作PQ的垂线，交CD于点H、交BC的延长线于点F,连结PF.有以下结 论：①∠AEP=∠CHF;②△EHQ∽△CHF;③当点F与点C重合时，3PA=PB;④当PA= PB时，EF=2√2；⑤当点P与点B重合时，连结FQ,则FQ=3.其中，正确的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 68 第22章图形的相似 二、填空题（每小题5分，共25分） 6.[2025绵阳中考]如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量.他准备了一根竹竿， 将竹竿垂直固定于离大树10远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由 点C后退2至点A时，看大树顶部F的视线恰好经过竹竿的顶端D,测得小明的眼睛距地面 的高度AB为1.6m,竹竿CD长3m,则大树的高度EF为 m. AC (第6题) (第7题) (第8题) (第9题) (第10题) 7.把一个矩形按如图所示的方式划分成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似.若小矩形 的宽为2，则原矩形的宽x为 8.如图，ED为△ABC的中位线，G是AD和CE的交点，过点G作GF∥BC,交AC于点F.如果 GF=4,那么线段BC的长是 9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,CM是∠BCD的平分线，CM⊥AB,垂足为M,AM= 专AB.若四边形ABCD的面积是，则四边形AMCD的面积是 10.如图，在△ABC中，D为AB上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E,CD、BE相交于点F,记 △DBF的面积为x,△BCF的面积为y.已知△DEF的面积为3，则y关于x的函数表达式为 一·若△ADE的面积为18，则的值为 三、解答题（共55分） 11.(10分)如图，AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，AE长3m,CD是长为1.8m的标杆.已知路 灯悬臂AE与地面BG平行，当标杆竖立于地面时，路灯主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一 点G在同一条直线上，此时路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯主 杆底端B、标杆底端C和地面上点F、G在同一水平线上).这时测得FG长1.5m,求路灯主杆 AB的高度. CF (第11题)》 69 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 12.(12分)如图，菱形ABCD∽菱形AEFG,菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的边BC上，GF 与AB相交于点H,∠E=60°.若CG=3,AH=7,求菱形ABCD的边长 G (第12题) 13.(15分)如图，在△ABC中，AB=AC,M是边BC的中点，∠DME=∠B,MD与射线BA相交 于点D,ME与边AC相交于点E,连结DE. 0求证0是 (2)若DE=ME,求证：ME∥AB. (第13题) 14.(18分)如图，四边形ABCD是正方形，且E是边BC延长线上的一点，过点B作BF⊥DE于 点F,交AC于点H,交CD于点G. (1)求证：DG·AB=DF·BG (2若G是CD的中点，求的值 (3)连结CF,求∠CFB的度数. H G D (第14题) 70 “答案与解析”见P385,即x=5.综上所述，x的值为2或5. 8.(1):EF∥OA,.∠BEF=∠BOA.又∠EBF= ∠OBA,△BEF∽△B0A.F-,当t=15时， OE=15.:点A的坐标为(40,0)，点B的坐标为(0,30)， .∴.OA=40,OB=30..∴.BE=OB-OE=15..EF= 2A-15X=201Sam=2ER·0E-号× BO 30 20×15=150.(2)不存在.理由：由题意，得OE=t,则 BE=30-t.△BEFC∽△BOA,.易得EF= BE·OA=(30-t)·4 1 BO 30 .又：SAPEF=160, (30-)）·40.f=160.整理，得t2-30t+240=0.:4= 30 (一30)2-4×1×240=-60<0，∴.方程没有实数根.∴.不存 在这样的t值，使得△PEF的面积等于160.(3)由题 意，得OP=40-2t.①当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽ △0A8贺-需即00-品解得1=12.@当 ∠Er0=∠AB0时.△B0nn△A0B.8器-8器，即 40-2t= 30 -0·解得1-曾缘上所注，当1=12或时， 160 △EOP与△BOA相似. 综合与实践3探索三角形的内接矩形的作法 (1)正确.理由：：EF⊥BC,GD⊥BC,∴.∠FED= ∠EDG=90°..·FG∥BC,,∴.∠EFG=180°-∠FED= 90°..四边形DEFG是矩形.，四边形HIJK是正方形， U=K.:易知UEr,K灯/Gr品-部 品GF=R.四边形DEFG为正方形，《2)如国 ①②所示，矩形DEFG即为所求作.(3)如图③，作 △ABC的高AM,交GF于点N..'△ABC的面积= IC AM-X12XAM-36.AM-6.DE- 2DG,∴.设AN=x,则DG=MN=6-x,DE=GF= 2(6-x)=12-2x.:GF∥BC,.△AGF△ABC. “震然2-言解得-80-6 12 x=3.∴.DE=2DG=6.∴.矩形DEFG的面积=6X3= 18,同理，在矩形DEFG中，若DG=2DE,可求出x-号 G-6-x-得，DE-号G-号矩形DEPG的 3 可积-得×号-器：矩形DFPG的面积为18或器 BHD E C B HD IE C B DM ① ② ③ 第22章拔尖自主测评 1.C两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似， B(3,4)、A(6,8),∴.易得左、右两个符号“E”的相似比为 号：点C(10,)的对应点D的坐标是(10X子，4X 号），即D5,2》 2c:FC部甍：GAB,甍 竖…品恶 3.D'将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE, ∴.∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,AB=AD,∠C= ∠E.∴∠B=∠ADB.∴.∠ADE=∠ADB.∴DA平分 ∠BDE.∴.②符合题意.：'∠AFE=∠DFC,∠E=∠C, ∴.△AFEn△DFC.∴.①符合题意.∠BAC= ∠DAE,∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC. ∴.∠BAD=∠FAE.I△AFEC∽△DFC,.∠FAE= ∠FDC..∠BAD=∠CDF.∴.③符合题意.综上所述， 正确的有3个 4.C:AG平分∠BAD,∴.∠BAG=∠DAG.:四边 形ABCD是平行四边形，∴.ABCD,AB=CD,AD∥BC, AD=BC.∴.∠BAG=∠E..∠DAG=∠E.∴.AD= DE.AB:AD=2:3,.设AB=CD=2a,则AD= BC=DE=3a.∴.CE=a.:CG∥AD,∴.△ECGn △mA品-货-品=号=()= ED/ ∴.CG=a.∴.BG=2a.设S△=m,即S,=m,则 AF SAsn=9m.:AB/CD,△ABF∽△EDF.E SaD=9m,.Sane三号X9m18m,即S8m S2 m 5 58m 18 5.C①：四边形ABCD是正方形，.∠ADC= ∠BCD=90°.∴.∠DEH+∠DHE=90°.PQ⊥EF, ∴.∠PEF=∠AEP+∠DEH=90°.∴.∠DHE= ∠AEP.:∠DHE=∠CHF,∴.∠AEP=∠CHF.故 ①正确.②：'∠QEH=∠HCF=90°，∠EHQ=∠CHF, ∴.△EHQ∽△CHF.故②正确.③当点F与点C重合 时，如图①，：E是AD的中点，∴.AE=ED.在△PAE和 ∠A=∠EDQ=90°， △QDE中， AE-DE. .△PAE≌△QDE. ∠AEP=∠DEQ, .PE=QE,PA=QD.PQ⊥EF,.PC=QC.设 PA=x,则DQ=x.∴.PC=CQ=2十x,PB=2-x.在 Rt△PBC中，PB2+BC=PC2,(2-x)2+22=(2+ ,解得x=分小PA=合PB=2-合=是 1 ∴.3PA=PB.故③正确.④当PA=PB时，如图②， .PA=AE=ED=1..∠AEP=45°.∠PEF=90°， ∴.∠DEH=45°.∴.DH=DE=1.∴.CH=DH=1.在 ∠EDH=∠FCH=90°， △EDH和△FCH中， DH=CH, ∠EHD=∠FHC, ∴.△EDH≌△FCH..CF=DE=1.∴.EH=FH= √2.∴.E℉=2√2.故④正确⑤当点P与点B重合时，如 图③，E是AD的中点，∴.AE=ED.在△PAE和 ∠A=∠EDQ=90, △QDE中 AE-DE. .△PAE≌△QDE. ∠AEP=∠DEQ, .DQ=AP=AB=2..CQ=4.易得∠ABE ∠DEH,∠A=∠EDH=90°，∴.△ABE∽△DEH. 品-根即-景aH=CH-是 ∠EDH=∠FCH=90°，∠DHE=∠CHF, △DHE∽aCHR.8票-20=号c=3DE= 3.∴.FQ=√CQ+CF=5.故⑤错误∴正确的是①② ③④，共4个. E C(F,H) ① ② 3 0 E B(P) C F ③ (第5题) 6.10过点B作BH⊥EF,垂足为H,交CD于点G,则 BH⊥CD.∴.∠BGD=∠BHF=90°.由题意，得AB= CG=EH=1.6 m,AC=BG=2 m,CE =GH=10 m, ∴.BH=BG+GH=2+10=12(m).CD=3m, .DG=CD-CG=3-1.6=1.4(m)..∠DBG= ∠FiH△BGO△BFH.斧-篇FH= 8.4m.∴.EF=FH+EH=8.4+1.6=10(m).∴.大树的 高度EF为10m. 7.23小矩形的宽为2，∴.原矩形的长为2×3=6 :年一个小矩形与原矩形相似“音-兰解得x 2√3（负值舍去），经检验，=23是原方程的解.∴.原矩形 的宽x为23. 8.12ED为△ABC的中位线，∴.AD、CE为△ABC 的中线点G为△ABC的重心，AG=号AD. :GF/BC,△AGF0△MC:既-AS=号 CD=3GF=号×4=6BC=2CD=12. 9.1延长BA、CD,交点为E.CM平分∠BCD,CM⊥ AB,.∠BCM=∠ECM,∠BMC=∠EMC=90°. .'CM=CM,∴.△BMC≌△EMC..BM=EM. BE=2ME.又：AM=号AB,·BM=2AM 3 EM=2AM.:'.BE=2ME=4AE.AD/ BE4· BC,△EADn△EBC.. S△EAD= (AE ABE )=6 1 SAFAD-16SAC.S边形Am=S△R一S△BD= 15 S△c一iGS△x=1GSAc.:四边形ABCD的面积是 15 16 :∠B=∠AcG,△BGHn△CAG.=8 5au-g-7-1 后3_号.a-10+9=0.a=9或1不合题 a 0=时女专由数童，二 CF =工.：DE∥ 意，舍去)..AB=9. y 13.(1).∠DMC=∠B+∠BDM,∠DMC=∠DME+ BC,.△DEFn△CBE.·C5-CF,S DE_DFS△pEE =) ∠EMC,∠DME=∠B,∴.∠BDM=∠EMC.·'AB= AC∠B=∠C△BDMACME..0即 y BD CM △ABC.. S△ADE= DM ME (2)·M是边BC的中点，∴.BM=CM. S△ANx ∴.△BDE与△CDE的面积相等.∴.△BDF与△CEF的 :△BDM∽△CME, DM _BM.:DE-ME,BM- ME CE 13 面积相等.小13+3十2x十y ..13y=48+ CM. DE ,∠DME ∠DM·2x-2E 6x+3y..10y-6x-48=0..10× 3x2-6x-48=0, :∠DME=∠B=∠C,∴.∠EDM=∠C.∴.△DMEn △CME..∠EMD=∠EMC.∴.∠EMC=∠B.∴.ME∥ 整理得5r-8:一720，解得号或-3（不合题意，舍 AB. 24 14.(1),'四边形ABCD是正方形，∴.∠BCD= ,器-子 ∠ADC=90°，AB=BC=CD.'BF⊥DE,∴.∠GFD= 25 90°..∠BCG=∠DFG.,∠BGC=∠DGF,.△BGCC∽ 11.如图，过点E作EH⊥BC于点H,延长AE、CD相交 △GE,%器DG.BC=DF.BGAB 于点N.AE∥BG,∴.△AEDC∽△GFD,△END∽ BC,.DG·AB=DF·BG.(2):△BGCP△DGF, △rm崇器品=鄂 ,FD=DN=2.又CD月 ∴.∠CBG=∠FDG.在△BGC和△DEC中，.∠CBG= 1.8m,∴.DN=1.8×2=3.6(m).由题意，易知四边形 ∠CDE,BC=DC,∠BCG=∠DCE=90°，∴.△BGC≌ ABCN为矩形.∴.AB=CN=DN+CD=3.6+1.8=5. △DEC.∴.CG=CE.G是CD的中点，∴.CG=DG 4(m.∴.路灯主杆AB的高度为5.4m CE=G.:△GF0△C,丧-瓷即宪 影-%在△C中设cG=>0,则员 肾风=院点器-号 5 H CF (a)连结BD.:△GCn△GF%器瓷 (第11题) 12.连结AC.菱形ABCD∽菱形AEFG,∴.∠B= DG FG' 又∠BGD=∠CGF,∴.△BGD∽△CGF. ∠E=∠AGF=60°，AB=BC.∴.△ABC是等边三角形 ∴.∠BDG=∠CFG.:四边形ABCD是正方形，BD是对 ∴.∠ACB=60°.设AB=BC=AC=a,则BH=a-7, BG=a-3.·'∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG+ 角线，∠BDG=专∠ADC=45.∠CPG=45,即 ∠CAG,∠AGH=∠ACG=60°，∴.∠BGH=∠CAG.∠CFB=45, 第23章 解直角三角形 23.1测量 BC=8米，：BE=CE=号BC=号×8=4（米），在 1.C过点A作AE⊥BC于点E,AB=AC=5米， Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=√AB2-BE= 40