综合与实践1 通过数形结合的方法探究代数式的值&第20章 二次根式拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

拔尖特训·数学（华师版）九年级上 综合与实践1通过数形结合的方法探究代数式的值 我国著名数学家华罗庚曾提及：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家 万事休.数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下， 数和形之间可以相互转化，相互渗透.某校数学兴趣小组在学习完勾股定理和实数后，进行了如下 的问题探索与分析」 【提出问题】已知0<x<1,求√1+x2+√1+(1一x)2的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为√1+x2和 √1+(1一x)的线段，将代数求和转化为线段求和问题. (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD,P为BC边上的动点.设BP=x,PC=1一x,则 √/1十x2十√1十(1一x)的最小值为 (2)运用以上数形结合的方法，求√9十x2十√1+(6一x)严的最小值. (3)运用以上数形结合的方法，求√x2十9一√x2一12x十37的最大值 B P 12 “答案与解析”见P5 第20章二次根式 第20章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题7分，共28分） 1.如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则涂色部分的面积为 A.2+√2 B.2√2-2 C.4-√2 D.2-√2 2 A (第1题) (第4题) 2.对于任意的正数m、n,定义运算“※”：m必n一 √m-历(m≥n）'例如：1※2=1+2,2※1= √m+√n(m<n), √2一1，则计算(3※2)×(8※12)的结果为 A.2-4√6 B.2 C.2√5 D.20 3.已知y=√(x一2)一x+4,当x分别取1、2、3、…、2025时，所对应y值的总和是 () A.2027 B.2025 C.4048 D.4052 4.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，OA=√2.将OA绕点O顺时针旋转45°得到 OA1,过点A1作A1A2⊥OA1交x轴于点A2;将OA2绕，点O顺时针旋转45得到OA3,过点A3 作A3A4⊥OA3交y轴于点A4;·;按此规律循环下去，则点A2o25的坐标是 () A.(-2505,2505) B.(0,4253) C.(2506,2506) D.(2253,2253) 二、填空题（每小题7分，共28分） 5.计算(5一2)2026（√5十2）2025的结果为 6已知x=1 则2-2-3 3-2√2 x-3 7若式子V2m有意义，且关于x的分式方程”，十2=有正整数解，则符合条件的整数如 的和是 8.在一个正方形ABCD的内部按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方 20 形，如果其中小正方形A2B2C2D的面积为20，两个小正方形重叠部分的面积为 5,空白部分的面积总和为10√2一10，那么小正方形A1BC1D1的面积为 (第8题) 13 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 三、解答题（共44分） 9.(12分)我们知道：π=3.1415926…，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用π一3来 表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)5的整数部分为 (2)若a为J10的整数部分，b为10的小数部分，求a十b一√10的值. 1014分)已知实数a,6演足等式(4a-b+1)+b-4a-3-0求2a会·（匠÷层 的值. 11.(18分)有这样一类题目：将√a士2b化简，若你能找到两个数m、n,使m2+n2=a且mn= √b,则a士2√b将变成m2+n2士2mm,即变成(m士n)2,从而使√a±2b得以化简.例如：5+ 26=3+2+2√6=(5)2+(2)2+2√2X3=(3+√2)2. (1)√5+26=√3+2)2= (2)仿照上面的例子，请化简√/4一2√5. (3)利用上面的方法，设A=√6十4√2，B=√3一√5，求A十B的值. 14 >“答案与解析”见P61 √2025>√2025+√2024，∴. √2026一√2025 1 .√2026-√2025>0，√2025- √/2025-√2024 √/2024>0，∴.√2026-√/2025<√2025-√2024. 5.a≤6..a-7≤-1<0..a-7<0.又 :6-a≥0，∴.W6-a>3a-7. 专题特训二二次根式的化简求值 1.原式=1+2x十x2-2x=x2+1.当x=√5时，原式= (W5)2+1=5+1=6. 2.原式=4a2-b2-(4a2-ab+4ab-b2)=4a2-b2- 4a2+ab-4ab+b2=-3ab.当a=-√2，b=2时，原 式=-3×(-√2)×2=6√2. 3.A由数轴，可知5<a<10,∴.a-4>0,a-11<0. ∴.原式=|a-4+|a-11=(a-4)-(a-11)=a-4- a+11=7. 4.思路导引 观察数轴 c<b<0<a lel>lal =b|=-bcta<0 b-a<0 ctal=-c-ab-al=a-b 合并同类项 由数轴上各点的位置，可得c<一1<b<0<a<1,则a十 c<0,b-a<0.∴.原式=lb|-|c+a|+|b-al=-b十 a+c+a-b=2a-26+c. 5A(-F)-(G+）-4=6)-4= 2.:0<x<1,>1,即x<:< -√任<0后-=- 6.45x2-y2=(x+y)(x-y)=2√3×2=43. 7.(1)a2+b2=(a-b)2+2ab=(2√3)2+2×1=14. (2)(a+b)2=(a-b)2+4ab=(23)2+4×1=16. 8.A(a+1)(b-1)=ab-(a-b)-1=3-(23 1)-1=-√3. 9.4J2a2b-ab2=ab(a-b)=(3+2√2)(3-2/2)· [(3+2W2)-(3-2√2)]=(9-8)X42=42 10.(1)2+5. 1 1×(2+3) 2-√5(2-√5)X(2+√5) =2+5. 1 1 1 (2) 十十 1 ”√2+13+2√4+5 √400+√399 (W2-1) (W3-√2) 十 (2+1)(2一1)(5+√2)(5-√2) W4-3) 十…十 (W√400-√399) W4+5)W4-3) (√J400+√/399)（√/400-√/399） 2-1+ 5-√2 4-3 十…十 (√2)2-12 (5)2-(2)2 (4)2-(5)2 40o-39-巨-1+8-2+压-3+十 (√400)2-（√399）21 1 1 400-√398-2-1+3-2+-5+…+ 1 √400-√399=-1+√400=-1+20=19. (3)a= 2 26+2)-26+2 6-2（√6-2）（√6+2）（√6）2-22 2w6+2_26+2=6+2,a-2=6.（a- 6-4 2 2)2=6,即a2-4a+4=6.∴.a2-4a=2..2a1-8a3- 16a-5=2a2(a2-4a)-16a-5=2a2×2-16a-5= 4a2-16a-5=4(a2-4a)-5=4×2-5=8-5=3. 综合与实践1通过数形结合的 方法探究代数式的值 (1)√5.在Rt△ABP中，AP=√AB2+BPz= √1+xZ;在Rt△CDP中，DP=√CD+CP= √1+(1-x)..√1+x+√1+(1-x)7=AP+DP. 如图①，延长AB至，点A',使A'B=AB=1,连结A'P,则 易得AP=A'P.连结A'D.当P在A'D与BC的交点处 时，A'P+DP的长最短，即AP+DP的长最短，最小值为 线段A'D的长.在Rt△AA'D中，AA'=2,AD=1, ∴.A'D=√AA+AD=√22+1℉=5.∴.√1+x2+ √1+(1一x)的最小值为5.(2)如图②，构造两个边 长为3的正方形ABFE和CMEF,P为BC边上的动点， 点D在边CM上，且CD=1.设BP=x,则CP=6一x.在 Rt△ABP中，AP=√AB2+BP=√g+x;在 Rt△CDP中，DP=√CD+CPz=√I+(6-x). .√9+x+√1+(6-x)F=AP+DP.延长AB至点 A',使A'B=AB=3,连结A'P,则易得AP=A'P.连结 A'D.当P在A'D与BC的交点处时，A'P+DP的长最 短，即AP十DP的长最短，最小值为线段A'D的长.过点 D作DG∥BC交AB于点G,则四边形BCDG是矩形. ∴.BG=CD=1,DG=BC=6.在Rt△GA'D中，GA'= GB+A'B=4,DG=6,∴.A'D=√DG+AG= √62+4=2√13.∴.W9十x+√1+(6-x)的最小值 为2√/13.(3)√x十9-√x2-12x十37=√x2+9 √1十(x一6).构造Rt△ABC,设AB=x,点E在AB上， ∠ABC=∠AED=90°，BC=3,DE=1,BE=6,则AE x-6.过点D作DF⊥BC于点F.如图③，当点D不在线 段AC上时，连结AD、CD.由勾股定理，可知AC= √WAB2+BC=√x2十9，AD=√AE2十DE= √1+(x-6)7,.√x2+9-√x2-12x+37=AC- AD.∠AED=∠BFD=90°=∠ABC=∠BED,∴.四 边形BEDF是矩形..BF=DE=1,DF=BE=6. ∴.CF=BC一BF=2.在Rt△CDF中，由勾股定理，得 CD=√DF2+CF=√62+2=2√10.若点D不在线 段AC上，则AC-AD<CD,.√x2+9- √x2-12x+37<2√10.如图④，当点D在线段AC上 时，则AC-AD=CD,即√x2+9-√x2-12x+37= 2√10.综上所述，√x2+9-√π2-12x+37≤2√10， ∴.√x2+9-√x2-12x+37的最大值为2√10. E M D P ② C 第20章拔尖自主测评 1.B由题意，得两个正方形的边长分别为√2、2，涂色部 分的面积为矩形的面积减去两个正方形的面积，∴·涂色部 分的面积为2×(2十√2)一2一4=2√2一2. 2.B32,∴.3※2=√3-√2..8<12，∴.8※12= √8+√12=2√2+2√3.∴.(3※2)×(8※12)=(3- √2)×(2√2+25)=2. 3.Dy=√(x-2)-x+4=|x-2|-x+4.当x< 2时，x-2|=2-x,.y=(2-x)-x十4=6-2x.∴.当 x=1时，y=6-2×1=4.当x≥2时，|x-2|=x-2, .y=(x-2)一x十4=2..当x分别取1、2、3、…、 2025时，对应y值的总和为4+2+…+2=4+2024× 2024个2 2=4052. 4.C:'将OA绕点O顺时针旋转45得到OA,A,A2⊥ OA,交x轴于点A2,∴.∠AOA,=45°，OA=OA,=√2， ∠OA1A2=90°.∴.∠A1OA2=90°-∠AOA1=45° ∴.∠OA2A,=90°-∠AOA2=45.∴.△A,OA2是等腰 直角三角形.∴.A,A2=OA,=√2.∴.OA2=2.同理，可得 △AgOA1、△AOA6、…、△A2-1OA2(n为正整数)都是 等腰直角三角形.∴.易得OA1=2√2，OA6=4,…,OA2m= (W2)+1..易得A,(1,1)、A3(W2,-2)、A（-2,-2)、 A,(一2√2,22)、…，点A2w-1的横、纵坐标的绝对值相 等，且该绝对值等于（√2）"-1.2025÷8=253…1， ∴.易得点A25在第一象限.·2025=2×1013-1，∴·点 A22s横、纵坐标的绝对值为(2)118-1=2506.∴、点 A225的坐标为(206,206). 5.√5-2原式=(5-2)226（√5+2）25=[（√5- 2)225(W5-2)](W5+2)2025=[(W5-2)(W5+2)]225(W5 2)=(5-4)225(W5-2)=1225×(W5-2)=√5-2. 6.4+2W2x= 1 3+2W2 3-2W2(3-2√2)(3+2√2) 32-=3+22.:-2,-3_--3》x+1D=c十 9-8 x-3 x-3 1,∴.当x=3+2√2时，原式=3+2√2+1=4+2√2. 70将x十2=2去分母，得-m+2x-1)=3,解 得士：关于x的分式方程十2=马有正 整数解"士>0m>-5又：x≠1士1， 2 即m≠-3.√2-m有意义，∴.2-m≥0..m≤2. “-5<m<2且m≠-8：m是整数，m5是正整数。 ∴.m可以是-1或1，其和是一1+1=0. 8.10观察题图可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， .重叠部分也为正方形.：空白部分的面积总和为 10√2-10，∴.一个空白部分的面积=5√2-5.小正方 形A2B,C2D的面积为20，两个小正方形重叠部分的面积 为5，∴.小正方形A2B,C2D的边长=√20=25，重叠部 分的边长=5..一个空白部分的长为25-5=5. ∴.这个空白部分的宽为(52-5)÷5=√0-5.∴.小 正方形A,BC,D,的边长=一个空白部分的宽+重叠部分 的边长=√10一√5+√5=√10.∴.小正方形 A1BC1D1的面积=(W10)2=10. 9.(1)2..4<5<9,∴.2<5<3.∴.√5的整数部分为2. (2).9<1016,.3<√10<4.∴.√10的整数部分为 3,小数部分为√10-3..a=3,b=√10-3..a+b- 第21章- 21.1认识一元二次方程 1.C,'关于x的一元二次方程ax2十bx+1=0的一个 解是x=1,∴.x=1是方程的解.∴.将x=1代入方程，得 a+b+1=0.∴.a+b=-1.∴.2025-a-b=2025-(a+ b)=2025-(-1)=2026. 2.A利用矩形面积公式即可列出方程为x(60一x)= 864. 3.A关于x的一元二次方程(a十2)x2+x十a2一4= 0的一个根是x=0,∴.a2-4=0且a+2≠0，解得a=2. m一2≠0， 4.一2由题意，可知 解得m=一2. |m=2, 易错警示 忽略一元二次方程二次项系数不为0而致错 根据一元二次方程的概念求字母的值时，既要保证 未知数的最高次数为2，又要保证二次项系数不为0. 5.(1)由关于x的方程(m十1).xm1+(m-3)x=5是一 lm-1=2, 元二次方程，得 解得m=3.∴.当m=3时，该 m+1≠0， √10=3+√10-3-√10=0. 4a-b+11=0, a= 10.由题意，得 3b-4a-3=0 解得 4 b=12. ·当a=寻6=12时，原式=2××2-5. 1 11.(1)3+2.(2)4-25=3+1-25=(W3)2+ 12-23=(5-1)2,∴.√4-25=√(5-1)2=5-1. (3)6+4W2=4+2+4√2=(W4)2+(W2)2+2×√4× √2=(2+√2)2，∴.A=√6十42=2+√2.3-√5= 6-25=5+1-25 =5)2+12-2×1×W5 2 2 2 51),.B=W3-万-√ 5-12-5-1 2 2 2-而-.A+B=2+E+而- 2 2-+四+9 十2 元二次方程 方程为一元二次方程.(2)由关于x的方程(m十1)· xm-十(m-3)x=5是一元一次方程，得m十1=0或 (lm-1=1, 或m一1=0，解得m=±1或m=0或 m+1+m-3≠0 m=2.∴.当m=士1或m=0或m=2时，该方程为一元一 次方程 6.D将原方程整理，得(m-3)x2十(m2-9)x一5=0， {m3≠0， 解得m=一3. m2-9=0, 7y=2023.=2026令x=号，代入ar2+ba+c=0 a≠0，得a·(付)厂+b·是+c=0,即c2+c十a=0. ∴.方程ax2十bx十c=0与方程cz2+b加十a=0的根互为 倒数，即x,=-2,22=1.:c·(y-2025)2十b(y-4)= 2021b-a(c≠0)，∴.c(y-2025)2+b(y-2025)+a=0. .y-2025=-2或y-2025=1,解得y1=2023或y2= 2026. 8.2024m是方程x2一2025.x+1=0的一个根，