22.3 第5课时用相似三角形解决实际测量问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

4-x :△AHM∽△DMN,·MD-4-/8=1E, ,△DMN 的周长=△AHM的周长×4仁y&-西 4-x =(4-x十x十 √8x-16)×4-y86-32-8x=8.在点H运动 4一x 4一x 的过程中，△DMN的周长不变 &.9(2)0 (3)若△ABC内有并排的n个全 等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC,则正方形的 60 边长是2512m过点C作CN LAB,垂足为N,交GF于 点M.设正方形的边长为x.在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AB=AC+BC=V+3=5.:AC·BC= AB·CN,:CN=是：四边形GDEr为矩形， G/AB.:△F△Ca.8兴-需即 12 x 5 =n 60 12 号x=252·正方形的边长是 60 25+12m 第5课时用相似三角形解决实际测量问题 1.A如图，过点D作DE∥BC,交AB于点E,易知 △MCv△AMED0-系设AB=xn由葱意，得 AE-=2.2m,ED=4m,BC=10m2.2=.解得x= 5.5. 二楼人4m E卧- 2.2m D 楼 B—10m→ (第1题) 2.315如图.由题意，得AB=15里，AC=4.5里，CD= 3.5里，∠CDE=∠BAC=90°，AB∥CD.∴.∠DCE= ∠R.△DECAACB..:-%DE-L.5里 1里=300步，∴.DE=315步..走出南门315步，恰好 能看见这棵树， 东门4 B 南门 (第2题) 3.由题意，得CO⊥BF,AB⊥BF,∴.ABCO,∠COF= ∠ABF=90°.：OD=OE=1m,∴.∠DEB=45° ∴.∠BAE=45°=∠AEB.∴.AB=BE.设AB=BE= m:AB/C0.△ABF△COF,部-8又 .CO=CD+OD=1.5+1=2.5(m),BF=BE+EF= B配+0F-0E)=(+2m元=，解得x=10 ,∴.环保宣传牌AB的高度是10m. 4.A由题意，得AB⊥BC,OE⊥BC,DC⊥BC, ∴.∠ABC=∠OEC=∠OEB=∠DCB=90°.'∠OCE= ∠AB△0CEn△ACR.-器：∠0BE= ∠DB8c△B0En△BC.g-:需+9 CE BE CE+BE BC BC-BC-1.AB-6 cm.CD-3 cm. ∴.OE=2cm.∴.小孔O到BC的距离OE为2cm. 554或9 如图①，分别延长CD、BA交于点M,连结 BD,设△MBC的面积是Scm..:∠C=∠DAB=90°， .'DC2 BC2 =AB2 +AD2=BD2..AD=6 cm. .△ADB的面积=号AD·AB=2×6X7=21(cm2), △DCB的面积=2C,BC=号×2X9=9(cm).四 边形ABCD的面积=21+9=30(cm).∴.△DMA的面 积=(S-30)cm2..∠M=∠M,∠MAD=∠MCB= 90,△MDA△MBC.SAe S△MDA ()-()= 专S0-号S=5,即△MC的画积为4cm。 如图②，分别延长AD、BC交于点N,设△NAB的面积是 S'cm..∠N=∠N,∠NCD=∠A=90°，∴.△NCDc∽ △NAB... S△cD= S△NAB ()-(号)广=着“四边形 ABCD的面积为30cm,. S-30=4 S △ABN的面积为 8 3cm.综上所述，原来直角三角形纸片 的面积是54cm或号cm. M D B N C ① ② (第5题) 6.如图，延长CB交EF于点H,过点F作FM⊥EB,交 EB的延长线于点M.∠ABG=150°，BE⊥CB, ∴.∠MBF=150°-90°=60°..∠MFB=30°BF的 长为2米，∴.易得BM=1米，MF=√3米BE⊥CB, MFLBE,BH∥ME.△EBH∽△EME..eT 器又：EB-18米H=B-米 EM 14 :ED△HBEn△iCD,盟-票：(B= 55米，.CD=BECH-15,8米.大树CD的高为 BH 15.8米. 、E 。 (第6题) 7.(1)15.如图①，连结OB.AP⊥AB,OP⊥AP, ∴.AB∥PO,∠BAP=∠APO=90°.：'AB=OP=20cm, ∴.四边形ABOP是矩形.AP=OP=20cm,∴.四边形 ABOP是正方形..∠ABO=90°，OB=AP=20cm. ∴.∠OBQ=90°.在Rt△OBQ中，OQ=25cm,∴.BQ= √OQ2-0B=√252-20=15(cm).(2)为使在开门 的极限状态下，连杆OQ落在BC上，则门宽BC取得最大 时，端点C落在墙面AP上，此时OB=OQ+BQ=25+ 15=40(cm).如图②，连结BP,过点P作PD⊥BC于点 D,则∠BDP=∠CDP=90°.在Rt△ABP中，BP √AB2+AP=√202+20=202(m).在Rt△BDP 中，PD=BP2-BD;在Rt△ODP中，PD=OP2 OD2..'.OP2-OD2=BP2-BD2.OD=x cm..400- x2=800-(40-x)2.∴.x=15..PD=V√400-15= 57(cm).:'∠CAB=∠CDP=90°，∠ACB=∠DCP, MCRAIEP瓷-瓷-品-器e 204C BC.DC-5/7 AC-(AP+PC) 中，PD2+CD2-PC,BC=807+400 m(负值舍 9 去).门宽BC最大为807+400。 9 cm. B O B HD 0 C ① ② (第7题) 第6课时等积式与三角形的重心 1.D:CE⊥AB,BD⊥AC,∴.∠BEO=∠CDO=90°. 又∠BOE=∠COD,.△BOE∽△COD.∴.易得 OE·CD=OD·BE.故选项B正确.：△BOEP△COD, ∴.∠EBO=∠DCO.又·∠A=∠A,.△ABDC∽ △ACE.∴.易得AD·AC=AE·AB.故选项C正确 :∠DCO=∠ECA,∠ODC=∠AEC,∴.△DCOD △ECA.∴.易得CO·CE=CD·CA.故选项A正确. :△B0E0△c0D.号-00·0=00· EO.∴.选项D错误 2.B过点D作DM⊥AB,垂足为M.点E为△ABC 的重心D为AC的中点器子ADAC= ∠C=90°，∴.AB=√52+12=13.∴.S△Am= 合AD·度=AB·DM1DM-ADA8x-5 AB 13 9:DM⊥AB,EF⊥AB,.EF∥DM,.△BEFO △BDM既那-号Er-号×器-得 3.2连结AG并延长，交BC于点M.:点G为△ABC 的重心，AM是△ABC的中线，AG=2GM.A AG .:DE/BC,.△ADE∽△ABC.由题意，易得AG是拔尖特训·数学（华师版）九年级上 第5课时 用相似三角形解决实际测量问题 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.境生活实际如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.小强戴着帽子 (人与帽子的总高度约为2.2)乘电梯刚好安全通过，则根据图中数据计算这两层楼之间的高 约为 ( ) A.5.5m B.6.2m C.11m D.12.2m 二楼人4m 2.2m 东门： 一楼 10m 南门 (第1题)》 (第2题) 2.新情境数学文化《九章算术》是我国古代数学著作，奠定了我国传统数学的基本框架.其中记载： “今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木？”其大意 如下：今有一座矩形小城（如图），东西方向城墙长7里，南北方向城墙长9里，各城墙正中均开一 扇城门.走出东门15里处有棵树，问：走出南门多少步，恰好能看见这棵树？请你计算：走出南门 步，恰好能看见这棵树（注：1里=300步）. 3.如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处 射进房间的地板点F处，中午阳光恰好从窗户的最低点D处射进房间的地板点E处，小云测得 窗户距地面的高度OD=1m,窗高CD=1.5m,并测得OE=1m,OF=3m.请根据以上测量数 据，求出环保宣传牌AB的高度. (第3题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.眉境学科融合小孔成像实验阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过 小孔O,物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A、B的对应点分别是C、D).若物体AB的 高为6cm,实像CD的高为3cm,则小孔O到BC的距离OE为 A.2cm B.1.5 cm D C.1cm E (第4题) D.2.5 cm 54 第22章图形的相似 5.将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形 纸片，如果所得四边形纸片ABCD如图所示，其中∠A=∠C=90°，AB=7cm, D BC=9cm,CD=2cm,那么原来直角三角形纸片的面积是 cm2. (第5题) 6.如图，平台AB上有一棵直立的大树CD,平台边缘B处有一棵直立的小树BE, 平台边缘B外有一个向下的斜坡BG,小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度.一 天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶 端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB的长为53米，BF的长为2米，小 树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG=150°.请帮小明求出大树CD的高： D AC (第6题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 7.如图①是一款自动关门器的示意图，固定铁架的宽AB=20cm,支点P、Q分别固定在墙面和铁 门上，AP⊥AB,AP=20cm,摇臂OP=20cm,连杆OQ=25cm,点A、B、O、P、Q在同一平面 内.关门器工作时，CB绕，点B转动，摇臂OP与连杆OQ的长度均固定不变.当铁门完全关闭时 (如图②)，点A、B、Q在同一直线上，OP⊥AP.在开门的过程中，当端点C落在墙面AP上或连 杆OQ落在BC上，都无法将门进一步打开，称此时为开门的极限状态 (1)BQ= cm (2)为使在开门的极限状态下，连杆OQ落在BC上，门宽BC最大为多少？ A BO ① ② (第7题) “答案与解析”见P29 55