第22章 图形的相似全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第22章图形的相似全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1比例线段 题型2黄金分割 题型3平行线分线段成比例 题型4相似多边形及其性质 题型5相似三角形的判定 题型6选择或补充条件使两个三角形相似 题型7利用相似三角形的选择求解 题型8在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型9相似三角形的动点问题 题型10重心的有关性质 题型11相似三角形的实际应用 题型12图形的位似 目综合攻坚知能拔高 题型1黄金分割的实际应用 题型2平行线分线段成比例的综合问题 题型3相似三角形的判定与性质综合 题型4重心的综合应用 题型5相似三角形的实际应用压轴 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1比例线段 1.在比例尺是1：2000000的地图上，A,B两地间的距离为4cm,则A,B两地间的实际距离是() A.8km B.5km C.80km D.0.5km 2.如果线段a=28cm,b=7cm,那么a和b的比例中项是() 1/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.18cm B.17.5cm C.16cm D.14cm 3.若线段a=3cm,b=l2cm,则a、b的比例中项c= cm 4.如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折(EF为折痕)，得到两个小矩形，其中AE:ED=1:3.若矩形 ABFE的长边与短边的比等于矩形ABCD长边与短边的比，则矩形ABCD的长边与短边的比是() E D A.2:1 B.V2:1 c.V3:1 D.V5:1 AB_BC_CD_DA_4 5.在四边形ABCD与四边形EFGH中，若正FGGE方，且四边形ABCD的周长为16©m, 则四边形EFGH的周长为 cm ◆题型2黄金分割 6.已知线段AB=4,点P是线段AB的黄金分割点，且AP<BP,那么AP的长为 7.已知，线段AB=2,点M,N是线段AB的两个黄金分割点，则MN的长为() A M N B A.5-1 B.3-V5 C.2V5-2 D.25-4 8.黄金分割是汉字结构最基本的审美规律.如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观.横竖笔画交点C恰好是 线段AB的黄金分割点AC<BC,若AB=2cm,则AC的长为() A.5-1)cm B.5+1cm C.3-V5cm D.5-2cm 9.黄金分割是汉字结构最基本的规律.如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观，其中竖笔画起点为A,终点 为C,交接处点B恰好是线段AC的黄金分割点(BC>AB),若AC=2,则BC的长为() 2/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 坤 C V5-1 A.2 B.5-1 c.25-1 5+1 D.2 l0.若点P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB,AB=4,则PA的长度为() A.V5-1 B.2V5+2 c.25-2 D.3 ◆题型3平行线分线段成比例 11.如图，两条直线被三条平行线所截，若DE=4,EF=8,BC=6,则AC=() D B E 12 C F A.3 B.9 C.12 D.18 12.如图，直线l112‖13，直线AC和DF被l1,l2,13所截，AB=5,BC=6,EF=4,则DE的长为 () A D B 13 10 A.3 B.3 C.4 D.2 13.如图，已知直线a‖bC,直线m交直线a、b、c于点A、B、C,直线n交直线ab、c于点D、E、 R,者AB=1 EF 若BC2,则DE =() A B 3/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.3 C. 2-3 14.如图，直线l1‖12‖1,3，直线l1、12、13对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm,若 AB=4cm,则AC的长为() B C A.8cm B.12cm C.18cm D.24cm 15.图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中AB‖CD‖EF,己知 CE=45cm, BD_4 则AC的长度是()cm. B 图① 图② A.30 B.36 C.45 D.56.25 ◆题型4相似多边形及其性质 16.如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组.每组中的一个图形 在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是() B 0 4/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.下列说法正确的是（) A.矩形都是相似图形 B.正方形都是相似图形 C.各边对应成比例的多边形是相似多边形 D.相似多边形对应角的比叫作相似比 18.如图，下列三个矩形相似的是() 16cm 9cm 12cm 12cm 分 8cm 乙 12cm 丙 A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙、丙 19.平行四边形ABCD与平行四边形A1B1C1D1相似，AB=4,AB的对应边A1B,=5,平行四边形 ABCD的面积为8，则平行四边形A,B1C1D1的面积为 20.如图，四边形ABCD和ABCD'是以点O为位似中心的位似图形，若OA:OA=2:3,四边形 ABCD的面积为8，那么四边形的ABCD面积为 ◆题型5相似三角形的判定 21.下列与图中的三角形相似的是() 1.5 301.5 40 2 、) K75 30° B 2 D. 22.如图，在△ABC和△EDC中，已知AB=6,DE=3,BC=8,DC=4 5/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：△ABC一△EDC: (2)求AC与EC的长， 23.下列说法正确的是() A.两个直角三角形相似 B.两个等腰三角形相似 C.两个等腰直角三角形相似 D.有一个角是30°的两个等腰三角形相似 24.如图，已知：四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点0，OA=1,OB=1.5,OC=3,OD=2.求 证：△OAD与△OBC是相似三角形， 25.如图，已知：在△ABC与△A1B1C1中，∠A=∠A1,∠B=∠B1.求证：△ABC一△A1B1C1. A ◆题型6选择或补充条件使两个三角形相似 26.如图，已知∠BAD=∠CAE,那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC一△ADE的是 () 6/28 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E AB_AC A.ADAE B.∠B=∠D 。8 D.∠ACB=∠E 27.如图，在△ABD中，点C在AD边上，只添加一个条件，使得△ABC一△ADB. 28.如图，△ABC中，点E,F分别是AB,AC上的点，连接EF,请你添加一个条件 ,使得 △AEF一△ACB. B 29.已知，如图∠DAB=∠CAE,下列条件中不能判断△DAE一△BAC的是() D B A.∠D=∠B B.∠E=∠C AD DE AD AE C.AB BC D.AB AC 30.如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定△ABC一△ACD的是(). 7/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.∠B=∠ACD B.∠ADC=∠ACB C.AC=AD·AB AC_AB D.CD BC ◆题型7利用相似三角形的性质求解 31.如图，ABDC,AO=2,BD=7,OB=2.5. B D (1)求OC的长. (2)求△AOB与△DOC的面积比. 3 32.已知△ABC一△DEF,相似比是子，BC上的中线长为1，则边EF上的中线长为《) B.3 C.4 D.3 33.若△ABC一△ABC,AB=16cm,AB=4cm,AD平分∠BAC,AD平分∠BAC, AD=3cm,则AD= cm 34.若△ABC一△DEF,AB:DE=1:3,则对应边上的中线之比是() A.1:3 B.1:6 C.1:9 D.1:12 35.如图，△ABC一△DEF,且∠A=83°，则∠D的度数是() A.37° B.83° C.120° D.60° ◆题型8在网格中画与已知三角形相似的三角形 36.如图1，△ABC的三个顶点都在格点上，请在图2的网格内画出一个△A1B1C1,使 8/28 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 △A1BC1一△ABC,相似比为2：1，且各顶点都在格点上. B 图1 图2 37.如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）， 图1 (1)在图2中画出一个格点△A1B1C1,使△A1B,C1一△ABC,周长之比为2：1，并直接写出△A1BC1 的面积 图2 (2)在图3中画出一个格点△A2B2C2,使△A2B2C2一△ABC,面积之比为2：1，并直接写出△A2B2C2 的周长 图3 38.在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整 9128 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点三角形.如图，已知整点A3,1,B4,3,请在所给的网格区域按要求画整点三角形. 图1 图2 (1)在图1中画一个△OBP,使得点P的横、纵坐标之和等于5，且点A在它的内部. (2)在图2中画一个△ABQ,使得△ABQ与△ABO相似， 39.在如图所示的网格图中，画出一个与△ABC相似但不全等的三角形. 40.如图，在7×4的方格纸中，△ABC的顶点都在格点（小正方形的顶点）上.请仅用无刻度直尺按下列 要求作图： B 图① 图② Q)在图O中的线段AC上找一点E,使AE=号AC(保留作图痕迹，不写作法)： (2)在图②中作一格点三角形CDE,使△CDE与△ABC相似. ◆题型9相似三角形的动点问题 41.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6.点P从点C出发，沿折线CB-BA向终点A 运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，在AB上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出 发，沿AC方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点 也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒. 10128 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (①)线段BP的长.（用含t的代数式表示） (2)当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值. 42.如图，AB=16cm,AC=12cm,动点P,Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P 从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直运动到点A为止（点P到达点C 后，点Q继续运动)· B (I)请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长： (2)当t等于何值时，△APQ与△ABC相似？ 43.如图，在矩形ABCD中，AB=6m,BC=8m,动点P以2m/的速度从A点出发，沿AC向C点移 动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒(0<t<5), t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？ D Q 44.如图，△ABC中，AB=8cm,AC=16cm,点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从 C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动.其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动.那么， 当以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是· P 45.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=3cm,点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，点Q从点D 出发，沿DB方向匀速运动，两点同时出发，速度均为1cm/s,设运动时间为ts(0<t<4). 11/28 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)当以B,P,Q为顶点的三角形与△DCQ相似时，求t的值： 21 ②当t取何值时，四边形PBCQ的面积等于号cm? 3)是否存在某一时刻t,使CQ⊥PQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. ◆题型10重心的有关性质 46.两个等腰直角三角形ACB和DCE的位置如图所示，点A、C、E和点B、C、D分别在一直线上， ∠ACB=90°，AE-4V2,AB=3DE,点G、H分别是△ACB、△DCE的重心，联结GH,那么GH= G 47.在△ABC中，边BC上的中线AD等于6Cm,那么这个三角形的重心G到顶点A的距离是 cm. 48.如图，△ABC的两条中线AD,BE交于点F,若四边形CDFE的面积为18，则△ABC的面积是 () D A.54 B.51 C.42 D.41 49.如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△ABC的位置，如果点A恰好是△ABC的重心， AB,AC分别与BC交于点M,N,那么△AMN的面积与△ABC的面积之比是() C C A B M B 12/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.4 C. D.9 50.如图，△ABC中，AB=AC,点O是△ABC的重心，过点C作CE⊥BC交射线BO于点E,连接 AE,若△ABC的面积是6，则四边形ABCE的面积为 ◆题型11相似三角形的实际应用 51.邢窑是河北著名瓷窑.如图，小明用两根长度一样的木棍AC,BD制成一个测量工具，测量邢窑产的 白瓷能底内径AB的长.若两木候交于点E2S-D-4.CD-2am,则AB的长为 cm -----B 52.如图所示， 是墙面l与一个显示屏AB的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架PQ和MN连接 墙面与显示屏，测得PM=QN. w777777 (1)证明：PM‖QN: (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架PQ=10cm,AB=57cm,PQ⊥1，锦凌同学的眼睛0与显示屏底 部B等高，眼睛到墙面l的距离OD=200Cm,锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区CD.求CD 的长度 53.某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆EF的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 13/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 示意图 A BOD 位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一 根标杆CD,在B和D之间找到一个合适的位置O,并在O 测量过程 处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和 点E重合（图中各点在同一平面）. DF=15m,BD=5.4m,CD=2m,点B处同学的眼睛离地 测量数据 面的高度AB=1.6m.AB,CD,EF均与水平地面垂直. 请你根据以上实践报告，求出旗杆EF的高度. 54.如图①，将长、宽均为3，高为8的长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面 一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图.求图②中水面的高度. 容器口边缘 水面高度 ① ② 55.淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度. E B BC D 图① 图② (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法.将镜子放在地面点C处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端E, 已知淇淇眼睛A到地面的距离AB=1.6m,且AB⊥BC,旗杆ED⊥BC.BC=O.8m,CD=5m,求旗 杆ED的高度， 14128 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量旗杆AB的高度，他通过调整测量位置，使斜边DE与地 面BC保持平行，并使一直角边DF与旗杆顶点A在同一直线上.已知DF=O.8米，EF=0.4米，目测点D到 地面的距离DC为1.6米，到旗杆的水平距离DG为18米，求旗杆AB的高度. ◆题型12图形的位似 56.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△ABC,以下说法中错误的是 A.△ABC一△ABC B.点C、点O、点C三点在同一直线上 C.AO:AA=1:2 D.AB‖AB OA1 57.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若AD2则△ABC与△DEF的面积比 是() A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 58.古书《墨子天志》中记载：“执规矩以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，以面积为 4的正方形ABCD对角线的交点为位似中心，作它的位似图形ABCD,若AB:AB=1:2,则AC两点 之间的距离为 D 59.根据题目要求，回答相应问题， 15/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，点A,B,C都在格点上，以点C为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得△A1BC; SAA:BIC ②根据(1)中所作图形，可得SAC (3)如图2，点D,E在格点上.在DE上求作一点P,使得EP:PD=1:2 60.如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形ABCDE,已知 OA=10Cm,OA=30Cm,若S五边形ABCDE=27Cm,则S五边形ABCDE是() B- 4 A.2cm2 B.3cm2 C.4cm2 D.6cm2 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1黄金分割的实际应用 1.2026年国际数学日的主题为“数学与希望”.某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩 形（宽与长的比为黄金比 V5-1 )海报.若该海报的长为4cm,则它的宽为 cm 2.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法.如图所示，以线段AB为边作正方 形ABCD,取AD的中点E,连结BE,在EA的延长线上取点F,使EF=BE,以AF为边作正方形AFGH, 则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有() E D 16/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观.如图，己知 AB=20cm,点C为线段AB的黄金分割点，则BC=cm(结果保留根号). B 4.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观. 已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上，且ABNP,“晋”字的笔画“、”的位置 在AB的黄金分制点C处，且BC-5- AB 2 ，若NP=2cm,则BC的长为cm(结果保留根号). M 5.古希腊数学家毕达哥拉斯发现的黄金分割被誉为“最优美的比例”，C是线段AB的黄金分割点， AB=10,则AC的长为. ◆题型2平行线分线段成比例的综合问题 6.如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别为AD,BC的中点，连接BE,DF分别交AC于点G, H.求证：AG=GH=HC D 7.如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM‖AC交AB于点M,作 PN‖AB交AC于点N. B D (1)若点D是BC的中点，且AP:PD=2:1,求AM:AB的值： 17/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM,AN AP (②若点D是BC上任意一点，试证明：AB+ACAD 8.如图，E为矩形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE折叠，使点D落在边BC的中垂线FG上， AE=2V3,则tan∠ADF=」 C G D B 9.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AD上一点，且AE=2ED,连接BE并延长交AC于 点F,已知AD=6,CD=3BD=12,则S△AEr= B D I0.如图，在△ABC中，延长BA至点D,使AD=AB,E在BC上，连接DE交AC于点F,EG‖AC交 AB于点G,己知BC=8,DF=5,EF=2,则CE的长为一 D A G ◆题型3相似三角形的判定与性质综合 ,如图，AD5与BC相交于点O,∠A=∠B,=AC=6,则BD的长为 12.如图，已知AB‖DE,AC=4cm,BC=3cm,CE=6cm.求AD的长. 18/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 13.如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，AB=4,点E是边BC的中点，连接DE,AE,BD: B D ()求DE的长： (2)点F为边CD上的一点，连接AF交DE于点G,连接EF,AF⊥EF.求证：△AGE一△DGF 14.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE‖AC,若S△DoE:SACOA=1:16,则 SABDE SACDE= E AD_AD 15.如图，在△ABC和△ABC中，D,D分别是AB,AB上一点，ABAB,当 CD AC AB CD AC AB时，判断△ABC与△ABC是否相似，并说明理由. D B B ◆题型4重心的综合应用 16.如图，△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点为G,若S△ABc=36Cm,则图中阴影部分面积为 19/28 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.如图，在△ABC中，中线AE、CF相交于点G, B E 1)若AG=4,求AE的长： (2)若△ABC的面积为1，求△EGC的面积. 18.在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,G是△ABC的重心. B (1)求AG的长： (②)过点G作DE‖BC,分别交AB、AC于点D、E,猜想AD与DB的比值，并证明. AD=AE=1,DE BC. I9.如图(1)，线段DE是△ABC的中位线，我们可以得到DBEC 图(1) 图(2) 图3) AD AE (①如图(2)，现将DE所在的直线平移至经过△ABC的重心G的位置，请问：DB 专EC的值 (填相等或不相等)，如果相等，那么等于 AM-2 (2如图(3)，己知点M为是△ABC中线AF上一点，且M正 ,现将DE所在的直线平移至经过点M AD,AE 的位置，请问：DB与EC的值还相等吗？如果相等，那么等于多少？并说明理由. 20128 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O,G为△ACD的重心，连接CG并延长交AD于点E, 设AC=a,BD=b,那么用向量、b表示ED是 ◆题型5相似三角形的实际应用压轴 21.如图，马路上有两根垂直于地面BD的路灯AB和CD,其中AB=CD=7.2m,BD=18m,身高为 1.8m的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点E处时，在路灯A、C的光线照射下他的影子顶 端恰好分别落在地面上的H点和F点，EH=2.4m(其中B,F,E,H,D五点在同一直线上)，则EF的 长为 m. G B F E H D 22.为了加强红色教育，传承红色基因，某数学兴趣小组前往烈士陵园开展测量纪念碑高度的实践活动 如图所示，纪念碑AB直立于斜坡BE的顶端B点处，某同学在斜坡的底端E点处直立一根标杆DE,调整 自己所处的位置，使得自己的眼睛通过标杆顶端恰好看到纪念碑的顶端，即点F,D,A三点共线.已知该 同学的眼睛到脚底的距离FG=1.7米，标杆的高度DE=3.5米，标杆的底端到脚底的距离GE=2米，斜坡 BE=20米，∠BEC=18°，AC⊥GC,DE⊥GC,FG⊥GC,点G,E,C在同一水平线上，点A,B,C三点 共线.请根据以上所测数据，计算纪念碑AB的高度.（参考数据： sin18≈0.31，c0s18≈0.95，tan180.32) B 23. 数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小明所在小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高 度.他们制定了测量方案进行实地测量，完成了如下的测量活动报告： 21/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 课题 测量教学楼顶部宣传牌BD的高度 目的 利用相似三角形的知识解决实际问题 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 如图，小明在地面上的点C处安装一测角仪，测得 ∠ACB=35°，然后沿CA方向走到点E处，在点E处安装 测角仪，此时，测得∠AED=55°，同时测得CE=9.2m, AE=10.8m,从房管物业处查询到建筑物AB=14m,利用 激光笔测得点A、点B和点D在一条直线上. 测量方案及示意图 A E 已知图中所有点均在同一平面内，DA⊥CA,测角仪与地 说明 面的距离忽略不计 安全 测量过程中注意自己及他人的安全 请你根据活动报告求出教学楼顶部宣传牌BD的高度（精确到0.1m). 24.西安曲江池遗址公园的阅江楼，是彰显唐文化的仿古建筑，楼阁错落有致、飞檐映水，承载着西安的 盛唐底蕴.某数学活动小组开展测量阅江楼高度的活动，记录如下· 活动主题 测量阅江楼的高度AB 测量工具 皮尺、自制直角三角纸板CEF、平面镜等 1.小明手持自制直角三角纸板CEF(CE⊥EF,使长直角边CE与水 平地面BD平行)，调整自己站的位置，当在D处时其眼睛在C处看到 测量过程 C,F及阅江楼顶端A在一条直线上： 2.小华在B,D之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当平面 镜在点G处，小明在D处恰好能从平面镜中看到阅江楼顶端A的像 22/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 测量示意图 D G CE‖BD,AB,CD,EF均与水平地面BD垂直，图中所有的点都在 测量说明 同一平面内，点B,D,G在同一水平线上，忽略平面镜的厚度及大小 测量结果 CD=1.7米，DG=3米，CE=0.2米，EF=0.1米 请你根据活动报告中的信息，计算阅江楼的高度AB. 25.某校开展爱国主义教育活动，组织学生走进孔繁森纪念馆，学习并弘扬孔繁森精神.为将所学与实践 相结合，该校某数学兴趣小组计划在参观学习之余，实地测量孔繁森塑像的高度，具体测量方案如下： 测量目的 孔繁森塑像的高度CD(精确到0.1米) 测量工具 平面镜、测角仪、米尺 如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，小明先在点F处 安装测角仪GF,测得塑像顶端C的仰角为59.39°.再从点E处 测量过程 放置平面镜，然后小明从点E处沿DE方向移动到点B处，此时 视线刚好在平面镜内看到塑像顶端C的像，测得眼睛离地面高 度AB. 已知AB=1.6米，BE=2米，EF=4米，GF=1.2米， 测量数据 AB⊥BD,GF⊥BD,CD⊥BD 参考数据 sin59.39°≈0.86，cos59.39°≈0.51，tan59.39≈1.69 G2.391 F D 题型专练 高频重难特训 一、单选题 1.如图，己知点A-4,2,B-2,-2,以O为位似中心，按比例2：1，把△AB0缩小，则点A的对应点A 23/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的坐标为() A.-2,1 B.8,-4 c.-2,1或2，-1 D.8,-4或-8，-4 2.小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成 的.若小正方形的边长为30Cm,则线段DE的长为() E 图1 图2 A.15cm B.20cm C.30cm D.35cm 3.如图，点P为△ABC边AC上的一点，若过点P画一直线与△ABC两边相交所截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线可以画() B A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 3 4如图，光线从点A0,1处射出射向x轴上的点卫，经x轴镜面反射，光线经过点B3, 则OP的长度 是() B 24/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.6 B.1 c.写 5.如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E,若BF:FD=3:1, BC=10,则CE的长为() 10 A.3 B.4 C.5 D.3 6.如图，直线y=kx+6(k<0)与y轴、x轴分别交于点A、B,平行于x轴的直线CD与y轴、线段AB 分别交于点C、D.若B=7,则点C的坐标为() D B A.0,2 B.0,3 c.0,4 D.0,6 7.如图，一块三角形硬纸板△ABC平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△DEF,若 △ABC与△DEF的周长之比为2：3，则OB:BE的值为() B A.4:9 B.3:1 c.21 D.23 二、填空题 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,AC=8,点E是边AB的中点，点P为边AC上的一动点， 连接EP,将△AEP沿EP折叠得到△AEP,AE交AC于点D.当AE与△ABC的一条直角边垂直时， 线段AD的长为 25/28 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E A-- D 9.如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF,DE交AC于点G.若BC:EC=3:1,S△ADG=16,则 SACEG的值为 B E l0.如图，在△ABC中，点D,E分别是BC,AC的中点，AD与BE相交于点F.若BF=6,则EF的长是 11.如图，在△ABC中，三个顶点的坐标分别是A-2,2,B-4,1,C-1,-1.以点C为位似中心，在x 轴下方作△ABC的位似图形△ABC,并把△ABC的边长放大为原来的2倍，那么点A的坐标为 (CC B 三、解答题 12.如图所示，在矩形ABCD中，E是CD上一点，BF⊥AE于点F. 26/28 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B C (I)求证：△ABF一△EAD (2)若AB=2,BC=3,点E是边CD的中点，求BF的长， I3.如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,AF,CD交AF于 点G H (1)求证：四边形AEFD为矩形 (②)若AE=3,EC=2CF,CD⊥AF,求EF的长. 14.在学习“图形的旋转”时，有这样一道例题： D C D A A 图1 图2 如图1，已知矩形ABCD是矩形ABCD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转9O°所得的图形. 求证：对角线BD与对角线BD所在的直线互相垂直. (1)完成该“例题”的解答过程： (2)王老师对例题进行了改编：如图2，己知AD>AB,BD所在的直线恰好经过点C,若AB=1,求AD的 长 15.如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与端点重合），连接CE,作△CDE关于CE的对 称图形△CFE 27/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D A E D NE D M F 图1 图2 图3 (1)如图I,延长EF交AB于点P,FP与BP相等吗？证明你的结论： DE_3 (2)如图2， 当A=亏时，连接AC交EF于点G,求G。的值 (3)如图3，连接BD交CE于点M,连接BF并延长交AD于点N,用等式表示DN与DM的数量关系，并说 明理由. 28/28函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第22章图形的相似全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1比例线段 题型2黄金分割 题型3平行线分线段成比例 题型4相似多边形及其性质 题型5相似三角形的判定 题型6选择或补充条件使两个三角形相似 题型7利用相似三角形的选择求解 题型8在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型9相似三角形的动点问题 题型10重心的有关性质 题型11相似三角形的实际应用 题型12图形的位似 目综合攻坚知能拔高 题型1黄金分割的实际应用 题型2平行线分线段成比例的综合问题 题型3相似三角形的判定与性质综合 题型4重心的综合应用 题型5相似三角形的实际应用压轴 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1比例线段 1.C 2.D 3.6 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.A 5.28 ◆题型2黄金分割 6.6-25 7.D 8.C 9.B 10.C ◆题型3平行线分线段成比例 11.B 12.A 13.A 14.B 15.B ◆题型4相似多边形及其性质 16.D 17.B 18.B 19.12.5 20.18 ◆题型5相似三角形的判定 21.C 22.(1)证明：.DE=3,BC=8,DC=4,AB=6, AB_BC=2. :0c 设每小格的长度为a,则AC=V(4a)+(6a)=2V13a,EC=/(2a)+(3a)=13a, .AC=23a=2, ·ECV13a 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·AB_BC_AC ED DC EC' ∴△ABC一△EDC: 2AC=69/65 EC= 3V65 5 5 23.C 24.证明：.0A=1,0B=1.5,0C=3,0D=2, ·0A=1=2OD-2 0B1.53’0C3 OA_OD OB"OC 又∠AOD=∠BOC, ∴△OAD~△OBC. 25.证明：不妨假设AB>AB1,在AB上截取AD=A1B1,在AC上截取AE=A,C1,连接DE,如图所 示， .∠A=∠A1,AD=A1B1,AE=A1C1, ∴.△ADE△A1BC1SSS, .∠ADE=∠A1BC,∠AED=∠C1,DE=BC, .∠B=∠B. A .∠ADE=∠B B C ∴.DE‖BC, .AD_AE AB AC 过点E作EF‖AB,交BC于点R, 则四边形DEFB是平行四边形， ∴.DE=FB, EF AB, 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BFAE BC AC' DE_AE ·BCAC ·AD_DE=AE …AB BC AC .AB1_BiCL_ACI AB BC AC .∠A=∠A1,∠B=∠B1, .∠C=∠C1, .△ABC一△A1B1C1 ◆题型6选择或补充条件使两个三角形相似 26.C 27.∠ABC=∠D(答案不唯一) 28.∠AEF=∠C(答案不唯一) 29.C 30.D ◆题型7利用相似三角形的性质求解 31.(1)3.6: 25 Q81 32.B 33.12 34.A 35.B ◆题型8在网格中画与已知三角形相似的三角形 36.如图所示，△A1B1C1即为所求： 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B C 37.1)如图，△A1B1C1即为所求作，12： B C 图2 (2)如图，△A2B2C2即为所求作，4+/10+3只V2 A 图3 38.(1)作图见解析： (2)作图见解析 39 如图，△A1B1C1即为所求（答案不唯一）. B 40.(1) 如图①，点E即为所求（作法不唯一）： 5/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① (2) 如图②，△CDE即为所求（答案不唯一）： D 图② ◆题型9相似三角形的动点问题 41.(1)当0≤t≤2时，BP=6-3t:当2<t≤4时，BP=4t-8 a考治 42.(1)AP=2tcm0≤t≤6，AQ=16-tcm0≤t≤16 07 4025 s或7 43.1 32 44.4或 45.(1)1或-2+2V6 (2)t=3 3存在，t=16 9 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型10重心的有关性质 46.3 47.4 48.A 49.C 50. 8 ◆题型11相似三角形的实际应用 51.6 52.(1)证明：连接PN,如图1， 在△PQN和△NMP中， PQ=MN,QN=PM,PN=NP, .∴△PQN≌△NMPSSS, ∴.∠QPN=∠MNP ∴.PMQN(内错角相等，两直线平行)· C D B 777 图1 (2)CD的长度为60cm. 53.旗杆EF的高度为12米， 24 54.写米 55.(1)旗杆ED的高度为10m (2)旗杆AB的高度10.6米 ◆题型12图形的位似 56.C 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 57.D 58.4V2 B 59.(1) (2)4 M (3) 60.B 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1黄金分割的实际应用 1.10-2V5 2.B 3.10V5-10/-10+10V5 4.5-1 5.5V5-5或15-5V5 ◆题型2平行线分线段成比例的综合问题 6.证明：.E、F是口ABCD对边AD、BC的中点， ∴.DE‖BF且DE=BF, ∴.四边形BEDF是平行四边形， .BE DF 在△ADH中，EG‖DH, .AE_AG ED GH 又E是AD的中点， 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AE=ED, ∴.AG=GH. 同理，在△BCG中，CH=HG, ∴.AG=GH=HC 7.3 (2)证明：过点D作DF‖PM交AB于F,过点D作DG‖PN交AC于G, M D .DF PM,DG‖PN, .AM=AP AN_AP AF AD'AG AD 又PM‖AC,PN‖AB, .DF‖AC,DG AB, AF_CD AG BD ·ABBC'ACBC ·AM=AM.AF-AP,CD ANAN AGAP BD AB AF AB AD BC'AC AG AC AD BC' AMAN _AP.CDBD AP ·AB AC AD BC BC AD 3 8. 3 9.8 6 10.5 ◆题型3相似三角形的判定与性质综合 11.2 12.12cm 13.(1)DE=2/3 (2)证明：，四边形ABCD是菱形， ∴.AD‖BC, 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE⊥BC,AF⊥EF, ∴.∠DEC=90°，∠AFE=90°， ∴.∠ADG=∠DEC=∠GFE=90°， 又.'∠AGD=∠EGF, ∴.△AGD一△EGF, .AG_DG 'EG FG' 铝器 .'∠AGE=∠DGF, ∴.△AGE一△DGF. 14.1:3 15.相似，理由如下： AD-A'D' ·ABAB AD AB ·ADAB .CD_AC_AB 又CD AC AB, CD_AC_AD CD AC AD' ∴.△ADC-△ADC, .∠A=∠A, AC_AB XAC AB' ∴.△ABC△ABC, ◆题型4重心的综合应用 16.12cm 17.(1)6 哈 18.(1)8 (2) 10/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：比值为2，证明如下： 如图，连接DT, BL .AG=2GT :.SAADG=2SADGT DE‖BC .'.SADGT=SADGB .S△ADG=2 SADGB, ∴.AD=2BD AD ·BD =2 ∴.AD与DB的比值为2 19.(1)相等，2； (2) AD AE 2 解：DB与EC的值相等，等于 理由是：DE‖BC, ADAEAM 'DB EC MF .AM_2 ·MF3 AD_AE_AM_2 ·DB EC MF3' AD AE .2 即DB与EC的值相等，等于： ◆题型5相似三角形的实际应用压轴 21.3.6 22.纪念碑AB的高度约为14.4米 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.1.4m 24.阅江楼的高度AB为27.2米 25.塑像CD的高度约为5.0米 题型专练 高频重难特训 1.C 2.C 3.C 4.C 5.B 6.C 7.C 8.4 9.4 10.3 11.1,-7 12.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=∠D=90°， .∠EAD+∠BAF=90°， ,BF⊥AE, .∠AFB=90°=∠D,∠ABF+∠BAF=90°， ∴.∠ABF=∠EAD .△ABF一△EAD. (2)BF=3/10 5 13.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD‖BC且AD=BC, 又CF=BE ∴.BC=EF, ∴.AD‖EF且AD=EF, 四边形AEFD为平行四边形. 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE⊥BC, ∴.∠AEF=90°， ∴.四边形AEFD为矩形， (2)3V3 14.(1)证明：在矩形ABCD中，∠DAB=90°， 由旋转，得∠DAD=90°，△ADB2△ADB, ∴.∠DAB=180°， ∴点D,A,B在同一条直线上， .△ADB△ADB, ∴.∠ADB=∠ADB, ∴.∠ADB+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°， 在△DBE中，∠DEB=180°-∠ADB+∠ABD=90°， ∴.DB⊥DB,即对角线BD与对角线BD所在的直线互相垂直 V5+1 15.(1)证明：相等，理由如下， 连接CP, A E D B ,四边形ABCD是正方形， ∴.BC=CD,∠D=∠B=90°， 由对称可得CD=CF,∠D=∠CFE=90°， ∴.∠CFP=180°-∠CFE=90°，CF=CB, .∠CFP=∠B=90°， CP=CP, .Rt△CFP≌Rt△CBP|HL, ..FP=BP; 略 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：DN=V2DM,理由如下： ,四边形ABCD是正方形， ∴.CB=CD,∠BCD=90°， ∴BD=VCB2+CD2=V2CD, 由对称可得，CD=CF,∠DCE=∠FCE, ..CB=CF, ∴.∠CBF=∠CFB, 设∠DCE=∠FCE=a,则∠BCF=90°-2a, &∠CBF=∠CFB=80-∠BCE-45+a, ,在正方形ABCD中，BD是对角线， ∴.∠CBD=∠CDB=∠ADB=45°， ∴.∠DBN=∠CBF-∠CBD=o, ∴.∠DBN=∠DCM=a, ∴.△DBN△DCM DN-DB-2 ·DMDC ∴.DN与DM的数量关系为DN=V2DM, 14/14 第22章 图形的相似全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 比例线段 题型2 黄金分割 题型3 平行线分线段成比例 题型4 相似多边形及其性质 题型5 相似三角形的判定 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似 题型7 利用相似三角形的选择求解 题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型9 相似三角形的动点问题 题型10 重心的有关性质 题型11 相似三角形的实际应用 题型12 图形的位似 综合攻坚·知能拔高 题型1 黄金分割的实际应用 题型2 平行线分线段成比例的综合问题 题型3 相似三角形的判定与性质综合 题型4 重心的综合应用 题型5 相似三角形的实际应用压轴 ◆题型1 比例线段 1．在比例尺是的地图上，，两地间的距离为，则，两地间的实际距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例线段实际应用，核心知识点是比例尺的定义：比例尺图上距离实际距离．先根据比例尺公式列等式求出实际距离的厘米数，再将单位换算为千米，从而得到最终结果． 【详解】解：设、两地的实际距离为， ∵已知比例尺为，图上距离为， ∴， 解得； ， 故选：C． 2．如果线段，，那么和的比例中项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例线段的相关知识，根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两条线段的乘积，且线段长度为正数，据此计算求解即可． 【详解】解：设和的比例中项是， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， 又∵线段长度为正数， ∴， 故选：D． 3．若线段，，则、的比例中项_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查了比例的性质．根据比例中项的定义，c 是 a 和 b 的比例中项，则，代入数据计算即可． 【详解】解：∵线段，，c 是 a、b 的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：6 4．如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，理解题意是关键． 设，则可得，由题意得到比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．在四边形与四边形中，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为______ ． 【答案】28 【分析】本题考查了比例线段，根据，得，结合四边形的周长为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， 即四边形的周长为， 故答案为：28． ◆题型2 黄金分割 6．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∵黄金分割比为，且， 即 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 即的长为． 7．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金分割比例求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴． 8．黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴． 9．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观，其中竖笔画起点为A，终点为C，交接处点B恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段等于全线段乘以黄金比，直接代入计算即可求解． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，是较长线段， ∴， ∵， ∴． 10．若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到与的关系，再代入的长度计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ 又∵ ∴． ◆题型3 平行线分线段成比例 11．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（   ） A．3 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”可得，设，则，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可知， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴，化简得， 解得， 经检验，是方程的解， ∴． 12．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 【答案】A 【详解】解：∵直线，直线和被，，所截， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 13．如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 14．如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ◆题型4 相似多边形及其性质 16．如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的性质判定即可． 【详解】A选项，两个正方形对应角相等，且对应边成比例，两个正方形相似； B选项：两个等边三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等边三角形相似； C选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等腰直角三角形相似； D选项：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，两个矩形不相似． 17．下列说法正确的是（     ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 【答案】B 【分析】判断相似需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件； 【详解】解：∵ 矩形的对应边不一定成比例， ∴ A错误； ∵ 正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴ B正确； ∵ 各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴ C错误； ∵ 相似比是对应边的比， ∴ D错误； 18．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 19．平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知对应边长度和原平行四边形面积，即可求出目标平行四边形的面积. 【详解】解：平行四边形与平行四边形相似，，的对应边， 相似比为， 由相似多边形面积比等于相似比的平方，得：， ， ， 解得. 20．如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【答案】18 【分析】根据位似图形的性质得出四边形与四边形相似，且相似比等于，再利用相似多边形面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解： 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形 四边形，且相似比为 . 四边形的面积为， 四边形的面积为． ◆题型5 相似三角形的判定 21．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用SAS判定三角形相似，两三角形需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可． 【详解】题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合SAS相似判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 22．如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． 【答案】(1)证明：，，，， ． 设每小格的长度为，则，， ， ， ； (2)， 【分析】（1）设每小格的长度为，勾股定理求出的长，进而得到，即可得出结论； （2）根据网格特点和勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：设每小格的长度为，则，又， ，解得， 由（1）知，， ；. 23．下列说法正确的是（     ） A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．有一个角是的两个等腰三角形相似 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应角相等的要求，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、两个直角三角形只有一组直角相等，其余两个锐角不一定对应相等， ∴两个直角三角形不一定相似，故A错误； B、两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等， ∴两个等腰三角形不一定相似，故B错误； C、所有等腰直角三角形的三个角都为，，，对应角都相等， ∴两个等腰直角三角形相似，故C正确； D、有一个角是的等腰三角形，可以是顶角也可以是底角，两个三角形的内角不一定对应相等， ∴不一定相似，故D错误． 24．如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 25．如图，已知：在与中，，．求证：． 【答案】证明：不妨假设，在上截取，在上截取，连接，如图所示， ，，， ， ，，， ． ， ， ， 过点E作，交于点F， 则四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ∴． 【分析】在上截取，在上截取，证明，，,，解答即可； 【详解】略 ◆题型6 选择或补充条件使两个三角形相似 26．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解： ， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则． 27．如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中，已知， 有以下三种情况： ①当时，； ②当时，； ③当时，． 28．如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由条件可知和有公共角，根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，即可使得． 【详解】解：在和中，， 添加一组对应角相等可得，添加条件为：或； 添加和的两边对应成比例，可得，添加条件为； 因此添加的条件可以是：或或． 29．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 30．如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． ◆题型7 利用相似三角形的性质求解 31．如图，，，，． (1)求的长． (2)求与的面积比． 【答案】(1)3.6； (2) 【分析】先证出两三角形相似，再利用相似三角形的性质即可解得结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， ， ． （2）解：， ． 32．已知，相似比是，上的中线长为1，则边上的中线长为（     ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：∵，相似比为， ∴边上的中线与边上的中线的比为， ∵边上的中线长为， ∴边上的中线长为. 33．若，，，平分，平分，，则________． 【答案】12 【分析】利用相似三角形对应角平分线的比等于相似比，列比例式求解. 【详解】解：，，，平分，平分，， ∴， ∴. 34．若，，则对应边上的中线之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴对应边上的中线之比为． 35．如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ◆题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形 36．如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 【答案】如图所示，即为所求； 【分析】根据相似三角形的性质和相似比，即可画出． 【详解】解：根据网格得： ，，， 若要，且相似比为， ∴，，， 如图2，即为所画三角形． 37．如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可得，进而计算的面积， （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可得，进而计算的周长． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 38．在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点，，请在所给的网格区域按要求画整点三角形． (1)在图1中画一个，使得点的横、纵坐标之和等于5，且点在它的内部． (2)在图2中画一个，使得与相似． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析 【分析】（1）先根据“横、纵坐标之和为5”列举所有整点，再筛选出能使位于内部的点，最后连接三点构成三角形． （2）先计算的各边长度，再根据相似三角形三边成比例的判定定理，寻找满足条件的整点，使得与的三边对应成比例． 【详解】（1）解：∵点的横、纵坐标之和等于5，且为整点， ∴的坐标可以为、、、、、． 如图所示，满足条件的点或即为所求(取其中一个即可)． （2）解：∵，，， ∴，，． 取整点， 此时，，， ∴， ∴，符合题目要求． 如图所示，即为所求． 39．在如图所示的网格图中，画出一个与相似但不全等的三角形． 【答案】 如图，即为所求（答案不唯一）． 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质画出图形即可解得此题． 【详解】略 40．如图，在的方格纸中，的顶点都在格点（小正方形的顶点）上．请仅用无刻度直尺按下列要求作图： (1)在图①中的线段上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在图②中作一格点三角形，使与相似． 【答案】(1) 如图①，点即为所求（作法不唯一）： ． (2) 如图②，即为所求（答案不唯一）： 【分析】利用方格纸的格点特征，结合线段比例和相似三角形的判定来进行作图． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定，解题关键是利用方格纸的格点特征，结合相关定理确定点的位置和三角形的形状． ◆题型9 相似三角形的动点问题 41．如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵，点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动， ∴点P到达点B的时间为（秒）， ∵，，， ∴， ∵点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动， ∴点Q到达点C的时间为（秒）， ∵在上以每秒4个单位长度的速度运动，， ∴点P到达点A的时间为（秒）， ∴当时，， 故； 当时，； （2）解：由题意，， ∴， 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当与的一边平行时，或． 42．如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据路程=速度时间列式即可； （2）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：当时，①若，则有， ， 又， 解得； ②由，若，则有， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，点与点重合，如图， ，只有当时，才有， ， 解得， 综上所述，或． 43．如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【分析】分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 由题意，有， ∴， ∴①当时，如答图1，   ，， ， ，即， 解得秒； ②当时，如答图2，   ，， ， ，即， 解得秒， 综上所述，为秒与秒时，与相似． 44．如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【答案】4或 【分析】设运动时间是t秒，根据题意得，，，根据相似三角形的性质可得或，进而求解即可． 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 45．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． ◆题型10 重心的有关性质 46．两个等腰直角三角形和的位置如图所示，点、、和点、、分别在一直线上，，，，点、分别是、的重心，联结，那么______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可求出，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，然后根据重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍即可求解． 【详解】解：联结并延长交于，联结并延长交于， ∵等腰直角三角形和， ∴，， ∴， ∵点、分别是、的重心， ∴，，，，， ∴，即、、三点共线， ∵等腰直角三角形和， ∴，， ∴. 47．在中，边上的中线等于，那么这个三角形的重心到顶点的距离是________． 【答案】4 【分析】根据三角形重心的性质，三角形的重心将中线分为长度比为的两段，重心到顶点的距离为对应中线长度的，代入中线的长度即可计算得到结果． 【详解】解：是的重心，是边上的中线， ， ， ． 48．如图，的两条中线，交于点F，若四边形的面积为18，则的面积是（   ） A．54 B．51 C．42 D．41 【答案】A 【分析】连接并延长，交于点，得到三角形的三条中线，利用中线的性质得到，求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， 三角形三条中线必交于一点，为三角形的重心， 也是的中线， 由中线的性质得， 由是的中线，是的中线， ， 同理， ， ． 49．如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由重心的性质可得，由相似三角形的性质可得面积与的面积之比． 【详解】解：点恰好是的重心， ， 将沿边上的中线平移到的位置， ，， ， ， ，， ，， ， 面积与的面积之比． 50．如图，中，，点O是的重心，过点C作交射线于点E，连接，若的面积是6，则四边形的面积为________． 【答案】 8 【分析】连接并延长交于点D，过点E作于点F，根据等腰三角形三线合一性质及重心定义可得且，结合证得四边形为矩形，利用角角边证明与全等，得到点O为的中点，再计算直角梯形的面积，最后求和即可． 【详解】解：连接并延长交于点D，过点E作于点F，如图， ，点是的重心， ，，， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ，， 在与中， ， ， ， 点O为的中点， 点D为的中点， 为的中位线， ， ，即， ， ， ． ◆题型11 相似三角形的实际应用 51．邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 【答案】6 【分析】首先推出，证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 52．如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面 地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 53．某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 54．如图①，将长、宽均为3，高为8的长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图．求图②中水面的高度． 【答案】米 【分析】设，则，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出，再由勾股定理求出，过点作于，证明得到比例线段求得结果即可． 【详解】解：如图过点作于，则， 设米，则米， 根据题意得：， 解得：， 米， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即， （米）， 答：水面的高度为米． 55．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． ◆题型12 图形的位似 56．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【详解】解：A、以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， 则，本选项说法正确，不符合题意； B、与是位似图形， 三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意； C、，相似比为， ， ，本选项说法错误，符合题意； D、与是位似图形， ，本选项说法正确，不符合题意． 57．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比是 58．古书《墨子·天志》中记载：“执规矩以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则两点之间的距离为______________． 【答案】 【分析】位似图形一定是相似图形，可以得出四边形是正方形，利用相似比得出正方形的边长，利用正方形的性质和勾股定理即可进行求解． 【详解】解：连接， ∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 即， ∵四边形与正方形是位似图形，， ∴四边形是正方形，， ，， ． 59．根据题目要求，回答相应问题． (1)如图1，点A，B，C都在格点上，以点C为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得； (2)根据（1）中所作图形，可得_______； (3)如图2，点D，E在格点上．在上求作一点P，使得． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据是边长为1的小正方形的对角线，根据相似比为2，延长到，使得为边长是2的小正方形的对角线，类似地可画出，以此画出三角形即可； （2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求解即可； （3）根据，得，利用相似的性质证明即可． 【详解】（1）略； （2）解：，且， ∴； （3）解：根据平行线间的距离处处相等，得到， 根据， ∴， ∴， ∴； 60．如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出位似比，根据位似图形的性质，再由面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， 五边形与五边形位似， ， ， ． ◆题型1 黄金分割的实际应用 1．2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 【答案】 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比为黄金比，将已知的长代入比例式，化简计算即可求解． 【详解】解：设海报的宽为，已知长为，由黄金矩形的定义可得 ， 解得， 即宽为． 2．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理求出，进而得到、、、的长度，根据黄金分割的定义逐一判断点、、、是否为所在某条线段的黄金分割点； 【详解】解：在正方形中，， 设， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵、、、在同一直线上， ∴， ∵，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵是的中点， ∴不是的黄金分割点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴不是的黄金分割点， 综上所述，点、、是黄金分割点，共3个． 3．中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 4．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，求出的长，再根据黄金分割的定义，可得，代入即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又 ， ， ， 四边形是矩形， ． 又 ， ， 则的长为． 5．古希腊数学家毕达哥拉斯发现的黄金分割被誉为“最优美的比例”，C是线段的黄金分割点，，则的长为______． 【答案】或 【分析】点C是线段的黄金分割点，需分两种情况讨论：即为较长线段或为较短线段，根据黄金分割的定义计算即可得到结果． 【详解】解：由黄金分割的定义可知，黄金分割比为， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当为较长线段时.； ②当为较短线段时，此时为较长线段：， 则， 综上可得：的长为或． ◆题型2 平行线分线段成比例的综合问题 6．如图，在平行四边形中，点E，F分别为，的中点，连接，分别交于点G，H．求证：． 【答案】证明：、F是对边、的中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ． 在中，， ． 又是的中点， ， ． 同理，在中，， ． 【分析】先证明四边形是平行四边形，再利用平行线分线段成比例和，即可得到结论成立． 【详解】略 7．如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于，过点作交于， ，， ，， 又，， ，， ，， ，， ． 【分析】（1）过点作交于，结合平行线分线段成比例解得，，进而求解； （2）过点作交于，过点作交于，由平行线分线段成比例解得，，，，进而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于， ， ， ， 点为中点， ， 点是中点， ，且， ， ， 点是中点， ． （2）略 8．如图，为矩形纸片的边上一点，将纸片沿折叠，使点落在边的中垂线上，，则______________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，再得出，从而得出，继而得出，再利用直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】四边形是矩形， ， ， 点落在边的中垂线上， ，， ，， ， ， ． 9．如图，在中，是边上的高，点是上一点，且，连接并延长交于点，已知，，则__________． 【答案】 【分析】过点作，交于点，连接，根据平行线分线段成比例可知，，即，，进而可知，根据同高三角形面积比等于底之比计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 过点作，交于点，连接， 根据平行线分线段成比例可知，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，在上，与面积比等于， ∴， ∵在上，与同高，面积比等于底之比， ∴． 10．如图，在中，延长至点，使，在上，连接交于点，交于点，已知，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】设，则，，根据平行线分线段成比例可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴ ∴，则 ∵ ∴ ∴ 解得：，即的长为． ◆题型3 相似三角形的判定与性质综合 11．如图，与相交于点，，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】先证明，则可得，进而可求出的长． 【详解】解：∵在和中， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 12．如图，已知，，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据，得到，得，求得，  即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即，解得， ∴． 13．如图，在菱形中，，，点E是边的中点，连接，，． (1)求的长； (2)点F为边上的一点，连接交于点G，连接，．求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是菱形， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 【分析】（1）证明为等边三角形，利用三线合一，结合勾股定理求出的长即可； （2）求出，结合对顶角相等，以及两组对应角相等的两个三角形相似，即可得出结论； 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵点E是边的中点， ， ， ； （2）略 14．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则________． 【答案】 【分析】证明得出，证明得出，进而求出结论． 【详解】解：， ． ， ． ， ， ， ． 与等高， ． 15．如图，在和中，D，分别是，上一点，．当时，判断与是否相似，并说明理由． 【答案】相似，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似证得，推出，再证明即可． 【详解】略 ◆题型4 重心的综合应用 16．如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分面积为_____________． 【答案】 【分析】先根据三角形中线的性质推出，，，再根据三角形重心的性质推出，，最后根据进行等量代换计算即可求解． 【详解】∵，，为中边的中线， ∴，，， ∴，，， ∵三边的中线，，的公共点为， ∴为的重心， ∴， ∴，，即，， ∴，， ∵ 即，解得：， ∴． 17．如图，在中，中线相交于点G， (1)若，求的长； (2)若的面积为1，求的面积． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据题意可得点G是的重心，由重心的性质可得，据此求出的长即可得到答案； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积得到，再由（1）得，据此可得． 【详解】（1）解：∵在中，中线相交于点G， ∴点G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴； 由（1）得， ∴， ∴． 18．在中，，，G是的重心． (1)求的长； (2)过点G作，分别交、于点D、E，猜想与的比值，并证明． 【答案】(1)8 (2) 解：比值为，证明如下： 如图，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴与的比值为． 【分析】（1）延长交于点，根据三角形的重心可得，，再由等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可； （2）连接，根据共高三角形面积比等于底之比进行转化求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵点G是的重心 ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ （2）略 19．如图（1），线段是的中位线，我们可以得到，． (1)如图（2），现将所在的直线平移至经过的重心G的位置，请问：与的值________（填相等或不相等），如果相等，那么等于________． (2)如图（3），已知点M为是中线AF上一点，且，现将所在的直线平移至经过点M的位置，请问：与的值还相等吗？如果相等，那么等于多少？并说明理由． 【答案】(1)相等，； (2) 解：与的值相等，等于， 理由是：∵， ∴， ∵， ∴， 即与的值相等，等于． 【分析】（1）利用三角形中位线的性质和三角形重心的性质进行解答即可； （2）利用三角形中位线的性质和三角形重心的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设的中点为，连接， ∵是的重心， ∴即， ∵， ∴ ∴， 即与的值相等，且都等于； （2）略 20．如图，在中，对角线、交于点，为的重心，连接并延长交于点，设，，那么用向量、表示是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质三角形法则求出，根据重心的性质，相似三角形的判定与性质求出，即可求解． 【详解】解：∵在中，对角线、交于点，，， ∴，，， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型5 相似三角形的实际应用压轴 21．如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【分析】证明，得出对应边成比例，求出相关线段即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 22．为了加强红色教育，传承红色基因，某数学兴趣小组前往烈士陵园开展测量纪念碑高度的实践活动．如图所示，纪念碑直立于斜坡的顶端B点处，某同学在斜坡的底端E点处直立一根标杆，调整自己所处的位置，使得自己的眼睛通过标杆顶端恰好看到纪念碑的顶端，即点三点共线．已知该同学的眼睛到脚底的距离米，标杆的高度米，标杆的底端到脚底的距离米，斜坡米，，点在同一水平线上，点三点共线．请根据以上所测数据，计算纪念碑的高度．（参考数据：） 【答案】纪念碑的高度约为米 【分析】如图，过点作于点，交于点，先解，进而证明，根据相似三角形性质求得的长，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 依题意，四边形，是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 答：纪念碑的高度约为米． 23．数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小明所在小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，完成了如下的测量活动报告： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 目的 利用相似三角形的知识解决实际问题 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 如图，小明在地面上的点处安装一测角仪，测得，然后沿方向走到点处，在点处安装一测角仪，此时，测得，同时测得，，从房管物业处查询到建筑物，利用激光笔测得点、点和点在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计 安全 测量过程中注意自己及他人的安全 请你根据活动报告求出教学楼顶部宣传牌的高度（精确到）． 【答案】 【分析】先根据角度关系证明，再利用相似三角形的对应边成比例求出的长度，最后用减去得到的高度． 【详解】解：由题意得： 又 ， 即 解得 答：教学楼顶部宣传牌的高度约为． 24．西安曲江池遗址公园的阅江楼，是彰显唐文化的仿古建筑，楼阁错落有致、飞檐映水，承载着西安的盛唐底蕴．某数学活动小组开展测量阅江楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量阅江楼的高度 测量工具 皮尺、自制直角三角纸板、平面镜等 测量过程 1．小明手持自制直角三角纸板（，使长直角边与水平地面平行），调整自己站的位置，当在D处时其眼睛在C处看到C，F及阅江楼顶端A在一条直线上； 2．小华在B，D之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当平面镜在点G处，小明在D处恰好能从平面镜中看到阅江楼顶端A的像 测量示意图 测量说明 ，，，均与水平地面垂直，图中所有的点都在同一平面内，点B，D，G在同一水平线上，忽略平面镜的厚度及大小 测量结果 米，米，米，米 请你根据活动报告中的信息，计算阅江楼的高度． 【答案】阅江楼的高度为米 【分析】过点作，得到矩形，由，则进而得到，即，根据镜面反射的等角性质，证得，结合建立方程，解得． 【详解】解：过点作于，如下图： ，，， 四边形是矩形， 又∵，， ∴点E在上， ，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， 又， ， 解得， ，，， ∴ ∴ 解得， 答：阅江楼的高度为米． 25．某校开展爱国主义教育活动，组织学生走进孔繁森纪念馆，学习并弘扬孔繁森精神．为将所学与实践相结合，该校某数学兴趣小组计划在参观学习之余，实地测量孔繁森塑像的高度，具体测量方案如下： 测量目的 孔繁森塑像的高度（精确到0.1米） 测量工具 平面镜、测角仪、米尺 测量过程 如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，小明先在点处安装测角仪，测得塑像顶端的仰角为．再从点处放置平面镜，然后小明从点处沿方向移动到点处，此时视线刚好在平面镜内看到塑像顶端的像，测得眼睛离地面高度． 测量数据 已知米，米，米，米，，． 参考数据 【答案】塑像的高度约为5.0米 【分析】过点作，交于点，设米，根据三角函数求出长，证明，得到，求出x的值，进而可知的值． 【详解】解：过点作，交于点， 由题意得：米，， 设米， 米， 米， 在中，， （米）， 米， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， （米）， ∴塑像的高度约为5.0米． 一、单选题 1．如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心时，点的对应坐标等于原坐标乘以位似比或其相反数，位似比为，把缩小，即缩小倍或倍． 【详解】解：∵点，位似中心为原点，位似比为，把缩小， ∴点A的对应点的坐标为或， 即或． 2．小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理可证是的中位线，进而利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∵小正方形的边长为， ∴， ∴． 3．如图，点为边上的一点，若过点画一直线与两边相交所截得的三角形与相似，这样的直线可以画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理，画出图形，分析即可得出结果． 【详解】解：如图： 作交于点，则， 作交于点，则， 作，由，可得， 作，由，可得， 综上所述，这样的直线可以画条． 4．如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 5．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】过点作交于点，再利用平行线分线段成比例定理建立线段比例关系求解，即可解题． 【详解】解：过点作交于点， 是的中点，， ∴ ， ，即是的中点， ∵，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴． 6．如图，直线（）与轴、轴分别交于点、，平行于x轴的直线与轴、线段分别交于点、．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．先求出长度，然后根据线段比例关系求出长度，从而求得点坐标． 【详解】直线（k＜0）与y轴交于点A， 点横坐标为，纵坐标， ， ， ， ， ， ，， 点坐标是． 7．如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，和是位似图形，位似中心为点O，再根据周长比等于位似比，即可求解． 【详解】解：由题意得，和是位似图形，位似中心为点O， ∴， ∵与的周长之比为， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 8．如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 【答案】4 【分析】分两种情况：①当时；②当时，进一步结合相似三角形求解即可． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴． 分类讨论：①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴， 此时与没有交点， 综上可知，线段的长为4． 9．如图，将沿边向右平移得到，交于点G．若，，则的值为________． 【答案】4 【分析】由平移的性质得到：，由，得到，由，推出，即可求出． 【详解】解：由平移的性质得到：， ， ， ， ， ， ， ， ． 10．如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F．若，则的长是______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理可得且，进而证得，利用相似比求解即可． 【详解】解：点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】建立以C为坐标原点的新平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图， 则点A在新坐标系中的坐标为，即点A向右平移1个单位，向上平移一个单位， 与以点C为位似中心，在位似中心异侧把的边长放大为原来的2倍， 点A在新坐标系中的横、纵坐标都乘， 点在新坐标系中的坐标为， 则点向左平移1个单位，向下平移一个单位后的坐标为， 即点在原坐标系中的坐标为． 三、解答题 12．如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． (1)求证：． (2)若，点E是边的中点，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据矩形的性质、直角三角形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解； （2）由矩形的性质得，，根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形，，点E是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 13．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， 且， 又， ， 且， 四边形为平行四边形． ， ， 四边形为矩形． (2) 【分析】本题考查平行四边形，矩形的判定与性质，相似三角形的判定．第一小问的解题关键点是先通过边的等量代换证明四边形是平行四边形，再结合垂直条件证得矩形，第二小问通过设参数证明相似三角形建立方程求解的长度． 【详解】（1）略． （2）解：设， ， ，. 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ，即， 解得，（舍）， ． 14．在学习“图形的旋转”时，有这样一道例题： 如图1，已知矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形． 求证：对角线与对角线所在的直线互相垂直． (1)完成该“例题”的解答过程； (2)王老师对例题进行了改编：如图2，已知所在的直线恰好经过点，若，求的长． 【答案】(1)证明：在矩形中，， 由旋转，得，， ∴， 点在同一条直线上， ， ， ， 在中，， ，即对角线与对角线所在的直线互相垂直． (2) 【分析】（1）先证明点在同一条直线上，再求出，在中，求出即可证明对角线与对角线所在的直线互相垂直． （2）由矩形是矩形旋转所得的图形得，．设，则，，证明，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵矩形是矩形旋转所得的图形，， ∴，． 设，则，， ∵， ∴， ， ，即， 解得（舍去）， 的长为． 15．如图，在正方形中，是边上一动点（不与端点重合），连接，作关于的对称图形． (1)如图1，延长交于点，与相等吗？证明你的结论； (2)如图2，当时，连接交于点，求的值； (3)如图3，连接交于点，连接并延长交于点，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：相等，理由如下， 连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由对称可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) (3)解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由对称可得，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵在正方形中，是对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系为． 【分析】（1）连接，证明即可； （2）延长交于点，交延长线于点，设，同（1）可得，，设，则，则，对运用勾股定理求解，再由，求解即可； （3）证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：延长交于点，交延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴设，，， ∵， ∴， 同（1）可得，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）略 1 / 14 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