22.3 第3课时相似三角形的判定理2，3-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

第22章图形的相似 第3课时相似三角形的判定定理2、3 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是 () A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE C.AB_AC AD AE D.AB_BC AD DE C B (第1题) (第2题) (第3题) 2.★如图，在正方形网格中有一只可爱的“小狐狸”，则图中由粗实线组成的相似三角形有() A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 3.如图，在4×4的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上.将点F、G、H、I分别与点D、E 连结，得到△FED、△GED、△HED和△IED,这四个三角形中与△ABC相似的是 4如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点F,点E在BD上，且AEC-AC ·AEED AD (1)∠BAE与∠CAD相等吗？请说明理由， (2)△ABE与△ACD是否相似？请说明理由. (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，△ABC与△BED都是顶角为36的等腰三角形，D是边AC上一点，DE与AB相交于点 F,且满足BC2=CD·AC,则图中的相似三角形共有 () A.6对 B.7对 C.8对 D.9对 (第5题) (第6题) 6.如图，△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是四个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同 条直线上，且AB=2,BC=1,连结AI,交FG于点Q,则QI= 47 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 7.情境传统文化在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小 正方形的顶点为格点)中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置 (填序号)处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅” ④炮 “相“兵”所在位置的格点构成的三角形相似 (第7题) 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D,分别以AC、BC为边向三角形外作等 边三角形ACE和等边三角形BCF,连结DE、DF.求证：△ADE∽△CDF. (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.考向探究题【提出问题】 在判定两个三角形全等时，除根据一般三角形全等判定定理外，还有“HL”.类似地，我们对直角 三角形相似的条件进行探索。 【提出猜想】 (1)除根据一般三角形相似判定的条件外，请你提出类似于“HL”的判定直角三角形相似的方 法，用文字描述为 【初步思考】 (2)我们不妨将问题用符号语言表示：如图①，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°.若 ,则△ABC∽△DEF,请给予证明. 【深入研究】 (试利用以上探究的结论解淡同意若因必中的∠C=∠P>90,提-品两个三角形足否 相似？若相似，请证明；若不相似，请画出反例 (第9题) 48 >“答案与解析”见P257.3:∠OCA与∠AOB互补，∴.∠OCA+∠AOB= 180°..∠OCA+∠COA+∠A=180°，，.∠AOB= ∠COA+∠A.又'∠AOB=∠COA+∠COB,∴.∠A ∠COB.又.'∠OCA=∠BCO,..△OCA△BCO 瓷长0x=AC=i.5x2=80C √（负值舍去）. 8.(1)∠A=40°，∠B=60°，∴.∠ACB=180°-∠A- ∠B=80°.，∠A≠∠B≠∠ACB,∴.△ABC不是等腰三 角形.CD平分∠ACB,∴.∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40.·∠ACD=∠A=40.AD=CD. 1 .△ACD为等腰三角形..∠DCB=∠A=40°.又 ∠CBD=∠ABC,.△BCD∽△BAC..CD是 △ABC的完美分割线.(2)：'△ACD是以CD为底边 的等腰三角形，∴.AD=AC=2.∴.AB=AD+BD=2十 BD.CD是△ABC的完美分割线，.△BCDK∽△BAC 小提-器·2-2平mam+0-20 ∴.BD=一1十√5（负值舍去）.：△BCD∽△BAC, ∴是罗cD-6-.(3% √2 或114°.由题意，得当AC=AD时，：∠A=48°， :.∠ACD=∠ADC=18048°=66.·△BCDn 2 △BAC,∴.∠BCD=∠A=48°.∴.∠ACB=66°+48°= 114°.当AD=CD时，∠A=∠ACD=48°，：△BCD∽ △BAC,∴.∠BCD=∠A=48°.∴.∠ACB=48°+48°= 96°.易知当AC=CD时，不合题意.综上所述，∠ACB的 度数为96或114°. 9.(I)相等.EF∥AB,∴.∠DEF=∠EBA,∠AEF= ∠EAB.又'∠EAB=∠EBA,∴.∠DEF=∠AEF. (2)△AGBO△EOA.四边形ABCD是菱形，∴.AB= AD,AC⊥BD,∠ABD=∠ADB.∴.∠EOA=90°， ∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE..·∠OEA= ∠ABE+∠BAE=2∠ABE,∴.∠GAB=∠OEA.又 :∠AGB=∠EOA=90°，∴.△AGBn△EOA.(3)连 结DM.:四边形ABCD是菱形，∴.ABCD.由对称性可 知，BM=MD,∠ADM=∠ABM.:AB∥CH, .∠ABM=∠H..∠ADM=∠H..'∠DMH= ∠RMD.△MrDn△MDH.册-S BM MF .MH BM 第3课时相似三角形的判定定理2、3 1.D∠1=∠2，∴.∠BAC=∠DAE.若∠C=∠E,则 △ABCn△ADE.故选项A不符合题意.若∠B= ∠ADE,则△ABC△ADE.故选项B不符合题意.若 铝-能·则△ABCU△ADE故达项C不符合题意者 光=，不能判定△ABC△ADE,故选项D符合 题意 2.C设每个小正方形的边长均为1.如图，易得△ABC的 各边长分别为2、√2、√2；△CDF的各边长分别为√2、√5、 3:△EGF的各边长分别为√5、√5、√I0;△HMN的各边 长分别为1、W2、W5;△HPQ的各边长分别为2、22、25. 可以得出△ABC与△EGF,△HMN与△HPQ的各边对 应成比例，故这两对三角形相似， (第2题) 方法归纳 证明网格中的两个三角形相似的方法 首先借助网格，根据格点数出或利用勾股定理计算 出每个三角形的三条边的长，再按照下列顺序进行判断. 排序>将三角形的边按大小顺序排列 计算> 分别计算他们对应边的比值 通过比值是否相等判断两个三 判断 角形是否相似 3.△GED设每个小正方形的边长均为1.在△ABC中， AB=√I?+1P=2,BC=1,AC=√+2=5：在 △DEF中，DE=2,EF=√22+1平=5，DF= +T=m.:%≠0%：△AC与△DEF 不相似.在△DEG中，DE=2,EG=√22+2=2√2， G=+区=25，%-器-品= ∴.△ABC∽△GED.在△DEH中，DE=2,EH= V+3=E,DH=月+f=5≠0≠ △ABC与△DEH不相似.在△DEI中，DE=2, AC EI=√2+-25，DI=√+=42，DE≠ BC 骨品△MC与△DEI不相 4)∠BAE=∠CD.里由：把-%-S, ∴.△ABC∽△AED.∴.∠BAC=∠EAD..∠BAC ∠EAF=∠EAD-∠EAF.∴.∠BAE=∠CAD. （2△ABEn△ACD.程由：A-SAC-品又 由(1)，知∠BAE=∠CAD.∴.△ABEC△ACD. 5.D:△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角 形，∴.△ABCC∽△EBD,∠ABC=∠ACB=∠EBD= ∠EDB=7Ec=CD·AC,C-畏又 ∠BCD=∠ACB,∴.△BCDP△ACB.∴.△BCD是顶 角为36°的等腰三角形..∠ABD=72°-36°=36°， ∠BDC=72°..∠EBF=72°-36°=36°，∠ADF=180° 72°×2=36°.∴.△ABC、△BED、△BCD、△BDF均是顶 角为36的等腰三角形，△ABD、△ADF、△EBF均是底角 为36的等腰三角形.∴.易得题图中的相似三角形共有 9对. 6 :△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是四个全等的 等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一条直线上， BC=CE=EG=GI=1.:IB=4BC-4..= :∠AB=∠CBA△MBI△CBA.-得 ,AB=AC,∴.AI=IB=4.∠ACB=∠FGE,∴.AC∥ rc器-8=g∴a1=g41=号 7.②设每个小正方形的边长为1，则“帅”“相“兵”所在 位置的格点构成三角形的三边长依次为4√瓦、25、2.设 “马”“车”“炮”所在位置的格点构成三角形的三边长分别为 m、n、p(m<n<p).①当“马”落在①处时，m=1n=3, 干饭8 ,三边不成比 例，即两三角形不相似.故①错误.②当“马”落在②处时， m=1,n=+2-5,p=2+2=2反.：合 2252·42之…三边成比例，则两三角形相似 1512W2_1 故②正确.③当“马”落在③处时，m=1,n=√22+32= 店--需得三边不 成比例，则两三角形不相似.故③错误.④当“马”落在④处 时，m=1,n=√3+4=5，p=V3+5=√34.“2≠ 2≠特一三边不成比例，则两三角形不相似故④错 误综上所述，“马”落在②处时，两个三角形相似 8.∠ACB=90°，CD⊥AB,∴.∠CAD+∠ACD=90°， ∠ACD+∠BCD=90°.∴.∠CAD=∠BCD.∴.△ACDC △CBD.“答品：△hCE和△以F部是等边三角 形，∴.AE=AC,CF=CB,∠EAC=60°，∠FCB=60°. 2=-答品：∠EaD=∠EAC+/CD=前+ ∠CAD,∠FCD=∠BCF十∠BCD=60°十∠BCD, ∴.∠EAD=∠FCD.∴.△ADE△CDF. 9.(1)斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形 框似(2公管案不唯-如册- ,如图①，在BA上 取一点A',使BA'=DE,过点A'作A'C'∥AC交BC于点 C'..∠A'C'B=∠C=90°=∠F,△A'CBn△ACB. .A'BA'c 腰C提器-光 DF AC' 是：aMr-DE-DR,在△ACB A'B=DE, 和Rt△DFE中， ∴.Rt△A'CB≌Rt△DFE. A'C'=DF, △A'C'Bp△ACB,.△ABC∽△DEF.(3)相似. 如图②，过点A作AG⊥BC,交BC的延长线于点G,过点 D作DH⊥EF,交EF的延长线于点H.∴.∠G=∠H= 90°..'∠ACB=∠DFE,∴.∠ACG=∠DFH.∴.△AGC∽ △D.∠CG=∠PDH品-S是-s DEDE ·品-2由(2)的结论，得△MG∽△DEH, .∠B=∠E,∠BAG=∠EDH..∠BAC=∠EDF. ∠B=∠E,∴.△ABC△DEF. CC'B F ① ③ (第9题) 专题特训四相似三角形的基本模型 11君：∠C=90,AB=5,BC=4,由勾股定理，得 15