22.3.2 相似三角形的判定（第2课时：利用两边对应成比例且其夹角相等判定相似）同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

22.3.2 相似三角形的判定 （第2课时：利用两边对应成比例且其夹角相等判定相似） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合相似三角形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：如图， A、，， ， 不能判定和相似，不符合题意； B、，和不是对应边，不能判定和相似，不符合题意； C、，和不是对应角，不能判定和相似，不符合题意； D、，， ， 又， ，符合题意． 2．如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ， ， ． 3．如图，和相似需具备的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，题中隐含条件，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，得出添加的条件只能是，根据比例的性质即可推出答案． 【详解】解：∵在和中，， ∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，得出添加的条件是：， ∴， 故选：C． 4．在中，D、E分别是、上的点，、交于点F，下列不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形相似的判定定理，判断解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：若，已经具备的条件是一对公共角相等即， 故A. ，符合两边对应成比例且夹角相等，故能判定    ，不符合题意； B. 即，由，得，得，故能判定，不符合题意； C. ，，能判定，不符合题意；     D. ，夹角不相等，无法判定相似，错误，符合题意， 故选：D． 5．如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．设经过秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若，得，②若，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：设经过秒后与相似， ∵， 若， 则需， ， 解得； ， 则需， ， 解得， 经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 二、填空题 6．在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分和两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 7．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 若，则，代入相关长度，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线上一点，则， 若， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 8．如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 三、解答题 9．如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，对角线交于点O， ，， ， ，即， ∴ 又， ； (2)证明：， ， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴, 即， 又∵四边形 为平行四边形， ∴四边形 是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，进一步得出，结合即可得出结论； （2）由，得到，由直角三角形两两个锐角互余得出，结合已知条件以及三角形内角和定理得出，即，再根据菱形的判定即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 10．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 11．如图，在中，点D、E分别在边、上，且，连接、． (1)求证：； (2)若点E为的中点，，若，求的长度． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题关键． （1）根据两组对应边成比例及夹角相等即可得证； （2）由，得出，再利用相似三角形的对应边成比例得出，求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在正方形中，，是的中点，点在上，且． (1)求证：； (2)试判断是否为直角三角形，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，且， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴； (2) 解：是直角三角形，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，，，由勾股定理得：， ∵， ∴是直角三角形，且． 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定定理、勾股定理及其逆定理的综合应用． （1）先利用正方形性质得到，再结合已知条件求出相关线段的长度，计算对应边的比例，最后根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明； （2）通过勾股定理分别求出三条边的平方，再验证是否满足勾股定理的逆定理，若满足则该三角形为直角三角形． 【详解】（1）略 （2）略 13．如图，在中，点是的边上的一点． (1)判断三人的对错：小星_____，小红_____，小亮_____．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：； (3)若，且，，求． 【答案】(1)对，对，错 (2) 解：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）根据相似三角形的判定方法进行证明即可求解； （3）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由， 由不是和的夹角，故不能证明． ∴小星和小红对，小亮错． 故答案为：对，对，错． （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $22.3.2相似三角形的判定 (第2课时：利用两边对应成比例且其夹角相等判定相似) 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1.在△ABC和△DEF中，AB=AC,DE=DF,根据下列条件，一定能判断△ABC和△DEF相似的是() AB AC AB AC A.DEDF B.DE-EF C.∠B=∠D D.∠A=∠D 之如图，点P是△C的边4C上的-点，P=2,B=23,当4C的值是多少时，△MP8△MC() A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是() D B 4答 ®岩器 C.AC2=AD·AB D.CD2=AD·BD 4.在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，BD、AE交于点F,下列不能判定△BCD∽aACE的是() 答案第1页，共2页 B BC CD A.CA CE B. DF,FB=AF·EF BC BD C.∠CDB=LAEC D.AC AE 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm,BC=8cm,点P从点C出发，以2cm/s的速度沿着CA向点A 匀速运动，同时点O从点B出发，以lCm/s的速度沿着BC向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止. 经过()s后，△PCQ与△ABC相似. O B 40 4025 4016 2516 A.13 B.13或7 C.13或7 D.7或7 二、填空题 6.在△ABC和△AB'C'中，如果∠A=45°，AB=12cm,AC=15cm,∠A=45°，'B'=16cm,那么A'C'= 时，△ABC与△AB'C相似， 7.如图，D是∠ABC的平分线上一点，AB=15cm,BD=12cm.若要使△ABD△DBC,则BC的长为 8.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始 沿BC边运动，速度为4cm/s;如果P、Q两动点同时运动，那么经过 秒时△OBP与△ABC相似. 答案第2页，共2页 B->O 三、解答题 9.如图，在平行四边形ABCD中，对角线ACBD交于点O,点G在边BC上，连接AG交BD于点F,若 AO2=OF.OB A D O 口▣ B G C (I)求证：△AOFADOC: (2②)若AG⊥BC,∠BCA=∠ACD,求证：四边形ABCD是菱形. 10.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC2=CD.AC=6. D (I)求证：△CBD∽△CAB, (2)若BD=AC=3,求AB的长. AB AD IL.如图，在A4BC中，点D,、B分别在边AC、AB上，且AC=AE,连接DE、 BD· D (I)求证：△ADE∽△ABC: (2)若点E为AB的中点，AD:AE=4:3,若AB=12,求CD的长度. 12.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E是AD的中点，点F在CD上，且CF=3FD. 答案第3页，共2页 (I)求证：△ABE∽△DEF; (2)试判断△BEF是否为直角三角形，并说明理由. 13.如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点. B 小星：若∠ACP-∠B,则可证： △ACPO△ABC 小红：若北6 则可证： 小亮：若SC 则可证： △ACP△ABC △ACPP△ABC ()判断三人的对错：小星一，小红一，小亮一· (填“对”“错”) (2)选择一种正确的方法求证：△ACP∽△ABC: (3)若△ACP∽△ABC,且AP=2,BP=1,求AC. 答案第4页，共2页 答案第5页，共2页