第21章 一元二次方程 单元质量检测 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

第21章一元二次方程单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤将原方程化为题目要求的形式，得到m和n的值，再计算即可． 【详解】解：， 方程两边同除以2，得， 移项得 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方16，得 ， 整理得，即 对比，得 ∴． 2．若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 3．若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】先解出方程的两个根，再利用平方差公式化简所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：解方程得，， ∴ ． 4．下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A． ，，该方程有实根，，不符合题意； B． ，，该方程有实根，且，不符合题意； C． ，，该方程有实根，且，符合题意； D． ，，该方程无实根，不符合题意 5．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数关系列方程，求解得到的值． 【详解】解：∵ 原方程可变形为， 由平方差公式因式分解得 ， ∴ 方程的两个根为和， ∵ ，， ∴ ，，代入关系式得 ， 展开整理得 ， 因此的值为． 6．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 7．春节将至，某花店购进一批鲜花，进价为每束元．根据市场调研：当售价为每束元时，每天可售出束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价元，每天就能多售出束．店主希望每天的利润达到元，又能尽量减少库存，则每束鲜花售价多少元？嘉嘉和淇淇根据题意分别列出如下方程： 嘉嘉： 淇淇： 下面对两人所列方程描述正确的是（   ） A．嘉嘉设每束鲜花售价元 B．淇淇设每束鲜花降价元 C．嘉嘉和淇淇所列方程中代数式“”和“”都表示降价后的销售量 D．每束鲜花售价元时，既可以达到店主预期利润，也可以尽量减少库存 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由嘉嘉方程：，其中为降价金额，表示降价后销售量；由淇淇方程：，其中为售价，为降价金额，表示降价后销售量；解嘉嘉方程得或，对应售价元或元，销量束或束，尽量减少库存应选销量大的售价元，由此逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由嘉嘉方程：，其中为降价金额，表示降价后销售量； 由淇淇方程：，其中为售价，为降价金额，表示降价后销售量； 、由题意得为降价金额，所以该选项描述不正确，不符合题意； 、由题意得为售价，所以该选项描述不正确，不符合题意； 、由题意得表示降价后销售量，表示降价后销售量，所以该选项描述正确，符合题意； 、解嘉嘉方程得或，对应售价元或元，销量束或束，尽量减少库存应选销量大的售价元，所以该选项描述不正确，不符合题意； 故选：． 8．已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 9．下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 【答案】D 【分析】该题考查了一元二次方程的一般式，二次函数的定义和应用，旋转，根据以上相关知识点解答即可． 【详解】解：A：一元二次方程的一次项系数为，正确； B：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得，即， 当时，系数，不符合要求， ∴，正确； C：数字“69”整体旋转后，得到“69”，正确； D：第一季度的营业额包括一月、二月和三月， 一月为200万元，二月为万元，三月为万元， 总和， 而非，错误． 故选：D． 10．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 二、填空题（每题3分，共18分） 11．关于的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得：未知数的最高次数为，且二次项系数不为零．解题的关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：． 12．某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场比赛，问某校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般式）：_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，准确找到关键语句，从而根据等量关系准确列出方程是解答的关键． 根据题意，每一个球队和其它球队可打场比赛，又赛制为单循环形式，则可列出方程求解． 【详解】解：设共有x个队参赛， 依题意，得， 化为一般式为． 故答案为：． 13．近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为______． 【答案】 【分析】设月平均增长率为，根据3月份和5月份的销售量列出一元二次方程，舍去不符合题意的负根后即可得到结果． 【详解】解：设该新能源汽车月平均增长率为． 根据题意列方程得：， 解得：，， 因为增长率不能为负，不合题意，舍去． ∴该新能源汽车月平均增长率为． 14．若是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由题意可得，，即得，进而得到，再代入计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．设方程的正根介于整数与之间，则________． 【答案】3 【分析】利用配方法解出的根后，利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则． 16．关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个相等的实数根． （1）若，，则代数式的值为________． （2）若，为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 【答案】 / 【分析】（1）利用一元二次方程有两个相等实数根的判别式条件，代入a与b、c的关系，变形得到所求代数式的值． （2）先由系数和为0得是方程的根，结合重根条件与根与系数的关系，推导m与n的数量关系，代入代数式计算． 【详解】解：（1）一元二次方程有两个相等的实数根， ， ，， ， ， ； （2）， 是方程的一个根， 方程有两个相等的实数根， 方程的两个根均为1， 根据根与系数的关系，两根之和为， ， 将，代入得， 整理得， ，为非零实数， ． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可； 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 18．已知关于一元二次方程． (1)若，求此方程的解； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键 ． （1）把代入，解方程即可； （2）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零且二次项系数不为零，据此解答即可． 【详解】（1）解： 当 时，原方程变为： 解得 ，； （2）解： 原方程化为一般形式： ∵有两个不相等实数根的条件是： ∴ ， 综上， 的取值范围为且． 19．为落实乡村快递配送，某物流园准备购入A、B两种型号的无人配送车，承担快递转运任务．已知A型无人车运送720件快递所用的时间与B型无人车运送480件快递所用的时间相同，且A型无人车每小时比B型无人车多运送15件，由于充电及道路拥堵问题，无人配送车的每天工作时间为8小时． (1)求A、B两种型号无人配送车每小时分别运送快递的件数； (2)若该物流园计划购入这两种无人配送车共20辆，保证每天至少6000件快递的转运量，求至少购入A型无人配送车多少辆？ 【答案】(1)A型无人配送车每小时运送快递45件，B型无人配送车每小时运送快递30件 (2) 至少购入A型无人配送车10辆 【分析】（1）根据“时间工作总量工作效率”列式，根据两种型号车的时间关系列等式求解即可； （2）根据“工作总量总工作效率总工作时间”列不等式． 【详解】（1）解：设A型号无人配送车每小时运送快递的件数为件，则B型号无人配送车每小时运送快递的件数为件， 由题意得， 解得， 经检验，当时，， ∴是原分式方程的解， ∴， ∴A型无人配送车每小时运送快递45件，B型无人配送车每小时运送快递30件． （2）解：设A型无人配送车有辆，则B型号无人配送车有辆， 则， 解得， ∴至少购入A型无人配送车10辆． 20．解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 【答案】(1) (2)购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 【分析】（1）设平均每年增长的百分率为x，根据“该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨．”列出方程，即可求解； （2）设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只，根据“购买母蟹的数量不少于公蟹数量的”列不等式求出m的取值范围，设购买费用为w元，列出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设平均每年增长的百分率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：平均每年增长的百分率为； （2）解：设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只， 根据题意得：， 解得：， 设购买费用为w元，则 ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴m的最大值为9， 当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 21．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 22．西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 【答案】(1) 礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元 (2) 礼盒甲每件降价元 【分析】（1）利用两款礼盒销售量相等的等量关系列分式方程求解； （2）结合价格调整后总销售额的变化关系列方程求解． 【详解】（1）解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义， ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）． 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． （2）解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：礼盒甲每件降价元． 23．请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2028 【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果； （2）求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ，即 两边同时乘以得． ，； （2）解：， ， ， ， 即， ． 24．月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第21章一元二次方程单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分) 1,用配方法解一元二次方程2x-16x+18=0,得+m=n,则m+n的值是（) A.11 B.3 C.-11 D.-3 2.若a是关于x的方程3x2-x-1=0的一个根，则2026-6a2+2a的值是（) A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 3.若记方程2-2x-2=0的两个不相等的实数根为（伍>），则-女的值为《） A.45 B.2V3 C.4 D.2 4.下列方程的两个实数根的和为4的是() A.x2+2x-4=0 B.x2-4x+4=0 C.x2+4x-5=0 D.x2+4x+5=0 5.关子产的方程-2m+㎡-1=0的两个根，”满足=2，且>5，则m的值为《） A.2 B.±3 C.3 D.-3 6.有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为 () A.10 B.11 C.12 D.15 7.春节将至，某花店购进一批鲜花，进价为每束50元.根据市场调研：当售价为每束80元时，每天可 售出30束.为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价1元，每天就能多售出2束.店主希 望每天的利润达到1000元，又能尽量减少库存，则每束鲜花售价多少元？嘉嘉和淇淇根据题意分别列出 如下方程： 嘉嘉：(80-50-x30+2x)=100 淇淇：0-50儿30+2(80-]=1000 下面对两人所列方程描述正确的是() 试卷第1页（共3页） A.嘉嘉设每束鲜花售价x元 B.淇淇设每束鲜花降价y元 C.嘉嘉和淇淇所列方程中代数式。30+2x”和。30+280-川。都表示降价后的销告量 D.每東鲜花售价75元时，既可以达到店主预期利润，也可以尽量减少库存 8.已知一次函数y=x+b(k≠0)的图象不过第三象限，则方程bx2-2x+k=0的根的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 9.下列说法错误的是() A.一元二次方程x2-2x+7=0的一次项系数是-2 B.若函数y=(m-3列x+ 是关于x的二次函数，则m的值为3 C.将数字图案“69”旋转180°，得到的数字图案是“69 D.某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的 增长率为，则y与x之间的函数关系式为”=200(1+x 10.若实数0， b(a≠b) 满足02-2a-2=0,6-2b-2=0,则() A.a+b=2,a2+2b>0 B.a+b=2,a2+2b<0 C.a+b=-2,a2+2b>0 D.a+b=-2,a+2b<0 二、填空题（每题3分，共18分） 1,关于*的方程(m+2)r++5=0是一元二次方程，则m=一 12.某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场比赛， 问某校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般式）：一· 13.近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长.某 新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为 14.者a, 是方程”-x-2025=0 的两个实数根，则 &2+P的值为一 试卷第2页（共3页） 15.设方程x2-2x-5=0的正根介于整数n与n+1之间，则n= 16.关于x的一元二次方程ar2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)有两个相等的实数根. (1)若a=1,b=c+1,则代数式c2-2c的值为 2m-n (2)若m,n为不相等的非零实数，当a=m-n'b=n-mn'c=mm-m时，代数式2m的值为 三、解答题（每题9分，共72分) 17.解下列方程： ①-6x+5=0 ②+2r=x+2 （1-2k)x2-5x=-6 18.已知关于一元二次方程 (1)若k=0,求此方程的解； (2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围， 19.为落实乡村快递配送，某物流园准备购入A、B两种型号的无人配送车，承担快递转运任务，已知A 型无人车运送720件快递所用的时间与B型无人车运送480件快递所用的时间相同，且A型无人车每小 时比B型无人车多运送15件，由于充电及道路拥堵问题，无人配送车的每天工作时间为8小时. (I)求A、B两种型号无人配送车每小时分别运送快递的件数： (2)若该物流园计划购入这两种无人配送车共20辆，保证每天至少6000件快递的转运量，求至少购入A 型无人配送车多少辆？ 20.解决问题 探究 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 主题 探究 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造 背景 了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片。 资料 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升.该养殖基地2024年大闸 试卷第3页（共3页） 蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨. 资料 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹。其中，某规格公蟹单只售 二 价40元，母蟹单只售价45元. 问题解决： ()该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的3，怎样购买费用 最低，最低费用是多少？ 21.若关于*的一元二次方程-2(k+x+?+2=0 有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； ②已知方程的两个实数根分别为么，B,且(a+(B+)=I 3,求k的值， 22.西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙.己知礼盒甲每件售 价比礼盒乙贵100元.上一周，礼盒甲销售总额为9000元，礼盒乙销售总额为6000元，且两款礼盒销售 量相等. (I)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价12元，销量增加1件；礼盒乙每件提价40元，销量和上周一样.调 整价格后，两款礼盒总销售额比上周多600元，求礼盒甲每件降价多少元？ 23.请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c=0,其中b、c均为整数，且有一个根为 x=V5+2 ,求、C的值」 辰辰同学根据=次根式的性质：（a=a(a≥0)，联想到了如下解法：由x=5+2得x-2=5,则 (x-2=5,即-4x+4=5,2-4-1=0.故b=4,c=1, 请运用上述方法解决下列问题： 已知关于的方程2+r+C=0,其中5、均为整数，且有一个根为=2-5，求0、C的值。 (2)已知2，求代数式3x3+6x2+2025的值. 试卷第4页（共3页） 24.月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列 的9个数（如6,7,8,13,14,15,20,21,22）.试解决以下的问题： 日一 二三四五六 1 23 4 5 6 7 891011 12 13 14 15 1617 18 19 20 2122 2324 25 262728293031 ()用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x,那么最中间的数可用x表示为一， 最 大的数可用x表示为 (2)若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 试卷第5页（共3页）