21.2 第4课时一元二次方程根的判别式-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

b=-2m,c=m+1,.b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)· (m十1)=4..x1 2n+2m+12m-2 2(m-0m-1x-2m-5-1. 2).得-1+ 十m二”方程的两个根都 为正整数：1十二是正整数：m为整数m-1 1或m-1=2,解得m=2或m=3.∴.当m的值为2或 3时，该方程的两个根都为正整数. 10.(①-8x+2x+1=0.(2)-子：互为倒数。根据 公式法，可知一元二次方程ax2十bx十c=0的两根分别为 ,=叶公-延，=6-6-他，其友好方 2a 2a 程”cx+bx十a=0的两根分别为x,=一6十6-4ac 2c =6-匹·，b-匹， 2c 2a -b-B-4ac_6B-(6-4ac2=4如c=1,x,·x6= 2c Aac Aac -b--4ac.-b+√6-4ac=b2-(62-4ac) 2a 2c Aac 4=1.《3)与=0，=206方程2025x2+ 1 6一1=0的两根分别为.1=一1，x:=2025该方程的 “友好方程”-x2+bx+2025=0,即x2-bx一2025=0的 两根分别为x3=一1，x1=2025.将方程(x一1)2一ba+ b=2025变形，得(x-1)2-b(x一1)-2025=0，将(x 1)看作一个整体，可知x-1=-1或x-1=2025,∴.所求 方程的根为x,=0,x2=2026. 1解写+-+=6分组可得号(+）- 5(后-士）=6，方程两边都乘以6，可得2（女+3） 5(-）=36,整理，得2[(x-)+12-5(x ）-36=0,可得2(x-）°-5(x-）-12=0.设 y=x-9,可得2y-5y-12=0,分解因式，可得2y十 3(0y-40=0,解得=-2y=4.当y=-2时，可得 -9-号整强，可得2x十3x-12=0, -b士0=ac=二3±0，解得=二3+西 2a 4 4 =-3.经检验，1=-3+ 2,x2= 4 4 一3二105均为原分式方程的解.当y=4时，可得x一 4 6=4,整理，可得x2一4x-6=0.x -b±6-4ac-4仕0=2士0，解得x6=2+ 2a 2 √0，x1=2-√0.经检验，x3=2+√10，x1=2-√10 均为原分式方程的解.综上所述，原分式方程的解为x,= -3汁105 4 2w,=-3-V105 4 ,3=2十√10，x1=2-√10. 第4课时一元二次方程根的判别式 1.C:关于x的一元二次方程(a一1)x2+2x+1=0有 a-1≠0， 实数根， 解得a≤2且a≠ 4=22-4×(a-1)×1≥0， 1.∴.实数a的取值范围是a≤2且a≠1. 2.BA.若x=-1是方程的解，则a×(-1)2+b× (一1)十c=0,即a一b十c=0,故选项A正确，不符合题意； B若c=0,则当b=0时，方程ax2+ba十c=0的两个根 相等，都是0，故选项B错误，符合题意；C.若ac<0,则 b2一4ac>0,故选项C正确，不符合题意；D.若a十c=0, 则b2一4ac>0,故选项D正确，不符合题意。 3.5(答案不唯一)由题意，得△=（一5）2-4×1×☐= 25-4X☐>0，即口<克，：口是整数口可以取5（答 案不唯一) 4.2关于x的方程mx2-3mx十x+2m-1=0为一 元二次方程，∴.m≠0.方程mx2-3mx十x十2m一1=0 的根的判别式的值为1，∴.△=(-3m十1)2一4×m× (2m-1)=1..9m2-6m+1-8m2+4m=1..m2- 2m=0,解得m1=0(不合题意，舍去)，m2=2. 5.(1)x=-1是一元二次方程b(x2-1)+2ax+ c(x2+1)=0的根，.一2a+2c=0.∴.a=c.∴.△ABC 为等腰三角形.(2)：b(x2-1)+2ax十c(x2+1)=0, .(b十c)x2+2ax+(c一b)=0.:方程有两个相等的实 数根，∴.△=4a2+4(b十c)(b-c)=0.∴.a2+b2=c2. ∴.△ABC为直角三角形 6.Cm-2m=3,∴.△=(-m)2-4(-n2+mm+1)= m2+4n2-4m-4=(m-2)2-4=32-4=9-4=5>0. ∴.原方程有两个不相等的实数根。 7.B①若a十b+c=0,则x=1是方程a.x2十bx十c=0 的解，∴.△=b2一4ac≥0.故①正确.②，方程a.x2十c=0 有两个不相等的实数根，∴.△=b2一4ac=一4c>0.∴.方 程ax2十bx十c=0的根的判别式△=b2一4ac>0.∴.方程 ax2十bx十c=0必有两个不相等的实数根.故②正确. ③c是方程ax2十bx十c=0的一个根，∴.ac2+bc十c= 0..∴.c(ac十b十1)=0.当c=0时，等式成立，，∴.ac十b十 1=0不一定成立.故③不正确.④若x。是一元二次方程 ax2+bx+c=0的根，则由求根公式可得x,= -b+6-ac或x,=-b-y分=4a匹，：2a.十b 2a 2a √/b2-4ac或2a.xn+b=-√62-4ac.∴.b2-4ac= (2a.x。十b)2.故④正确.综上所述，正确的是①②④ 8.一3关于x的一元二次方程(k-1)x2+2kx+k十 3=0有实数根，∴.k-1≠0，△=(2k)2一4(k-1)(k+3)≥ 0,解得k≠1，k≤三.k的取值范围是k<号且k≠1 :直线y=(k十3)x十5经过第一、二、三象限，.k十3> 0.k>-3.k的取值范围是-3<k<号且k≠1. ∴.所有满足条件的整数k的值为一2、一1、0.∴.满足条件 的所有整数k的和为一2-1+0=一3. 9.土3或一5①当原方程是一个一元一次方程时，方程 只有一个实数根，则k2一9=0，一2(k+1)≠0，解得k= 士3.②当原方程是一元二次方程时，方程有两个相等的实 数根，即△=b2-4ac=0,∴.4(k+1)2一4(k2-9)=0,解 得k=-5. 10.2计号原分式方程，冬十-1-生的x的取位 范围是x≠0且x≠1.两边都乘以x(x一1)，得xk十 x(x一1)(k一1)=(x一1)(k十1)，整理，得(k一1)x2 kx十(k十1)=0.①当k一1=0，即k=1时，方程为一元一 次方程.将k=1代人原方程，解得x=2,经检验，x=2是 原方程的解且符合题意，故k=1符合条件.②当k一1≠ 0,即k≠1时，方程为一元二次方程.，方程有唯一实数 根心△=（一）2-4k-1D6+1)=0,解得6=士23 3 当6=±23月 k 3时x=2k-D经检验，符合题意，故k一 士23符合条件.③考虑增根的情祝.若x=0是根，代人 3 (k-1)x2-kx+(k+1)=0,得k+1=0,即k=-1.当 k=一1时，原方程的解为x=2,满足题意，故飞=一1符 合条件.若x=1是根，代人(k一1)x2一kx十(k+1)=0,得 k=0.当k=0时，原方程的解为x=一1，满足题意，故k= 0符合条件.综上所述，所有符合条件的飞值为1、0、一1、 23、一23其绝对值之和为11川+101+-1+ 3、 9+-2|-1+0+12+9-2+4 11.(1)'b2-4ac=[-(3k+1)]2-4(2k2+2k)=9k2+ 6k+1-8k2-8k=k2-2k+1=(k-1)2≥0，∴.无论k取 何值，方程总有实数根.(2)①若a=6为底边长，则b、c 为腰长，即b=c..(k一1)2=0，解得k1=k2=1.此时原 方程为x2一4十4=0，解得x1=x2=2,即b=c=2.此时 三角形的三边长为6、2、2，不能构成三角形.∴.不合题意， 舍去.②若a=6为腰长，b、c中一边为腰长，则不妨设b= a=6.将x=6代人方程，得6-6(3k+1)+2k2+2k=0, 解得k3=3,k1=5.当k=3时，原方程为x2一10x十24= 0,解得x3=4,x1=6.此时三角形的三边长为6、6、4，能构 成三角形.当k=5时，原方程为x2一16x+60=0,解得 x,=6,x6=10.此时三角形的三边长为6、6、10，能构成三 角形.综上所述，此三角形的周长为6+6+4=16或6十 6+10=22. 12设总-分=x,则6=ar,c=ar.由a+6十c=13,得 a(x2+x+1)=13.:a≠0，x2+x+1-13=00.又 a、b、c为整数，.方程①的解必为有理数..4=1一 41-）-华-3≥0，解得1<a≤号，且v石为有理数 ∴.1≤a≤17.当a=1时，方程①化为x2十x-12=0,解得 x1=-4,x2=3,.amn=1,b=-4,c=16;amin=1,b=3, c=9.当a=16时，方程①化为2+z十最=0，解得 ≤-三，x,三-1.a=16,b=-12,c=9:as 16,b=-4,c=1. 13.C①a1=n=1,且a0<a1,a0为自然数，∴.a= 0..P(x)=x.:P(x)十2=0，∴.x十2=0，解得x= -2放①正确@若n=2.则Px)-受+ax+a:方 程P)+1=a受x2+ax十，十1=a.受2计 a1x十1=0.方程P(x)十1=a有两个不相等的实数 根4=a-4×号=a-2a2>0且ag≠0a:< ai 且a2≠0.an<a1<a2≤4，a、a1、a2为自然数， 1<a1<3.若a1=1,则a:<2,不符合题意，舍去；若 a1=2,则a2<2,不符合题意，舍去；若a1=3,则a2<4.5, 又：3<a2≤4，∴.a2=4,符合题意.∴.a0十a1十a2=a十 7.:a<3,∴.ao最大为2..a十a1十a2最大为2十7= 9.故②正确.③：n、a、a1、…、am均为自然数，且a< a1<<am≤4，a、a1、…均从最小的数取起，则a0 0,a1=1,a2=2,ag=3,a1=4,a5=5>4(舍去).∴.n≤4. n≠0，∴.1≤n≤4.当n=1时，P(x)=a1x+ao, .a1x十a。是整系数多项式，∴.an>0.当an=1时，a1 2或a1=3或a1=4,有3个整系数多项式；当ao=2时， a1=3或a,=4,有2个整系数多项式；当a0=3时，a1=4, 有1个整系数多项式.故当n=1时，共有6个整系数多项 式当m=2时，p(x)-受r2+ax+a当a,=0.a 1时，a2=2或a2=4,有2个整系数多项式：当a。=0,a1= 2时，a2=4,有1个整系数多项式；当a。=0,a1=3时， a2=4,有1个整系数多项式；当ao=1,a1=2时，a2=4,有 1个整系数多项式；当a0=1,a1=3时a2=4,有1个整系 数多项式；当a0=2时，a1=3,a2=4,有1个整系数多项 式.故当n=2时，共有7个整系数多项式.当n=3时， P(x)=号x2+号x2+a1x十a,只有a=0,a,=1,ag 2a,=3,这1种情况：同理，当n=4时，P(x)学x+ 号x2+2zx2+a1x+a,只有a,-0a,=1ag=2,a=3, a1=4,这1种情况..共有整系数多项式6+7+1+1= 15(个).故③错误.综上所述，正确的是①②，共2个 第5课时一元二次方程的根与系数的关系 1.C:a、b是一元二次方程x2十x-8=0的两个实数 根，.a十b=-1,ab=-8,a2+a-8=0.a2十a=8. ∴.a2+2a+b-ab=(a2+a)+(a+b)-ab=8+(-1)- (-8)=15. 2.B:小红看错了常数项q,得到方程的两根是一3、1， ∴.一p=一3十1=一2，解得p=2.小明看错了一次项 系数p,得到方程的两根是5、一4，∴.q=5×(一4)=一20. .原来的方程是x2+2x一20=0. 3.A根据题意，得x1·x2=m2=1,则m=1或-1.当 m=1时，x2+1=0,原方程无实数根；当m=一1时，符合 题意..m=-1. 4.C整理方程，得x2十x一2-p2=0,则△=1一4×1· (一2-p2)=9十4p2>0,∴.该方程有两个不相等的实数 根.设两根分别为x1x2.x1·x2=一2-p2<0,.x1、 x2异号..该方程有一个正实数根，一个负实数根 5.x2一1=0（答案不唯一）：关于x的一元二次方程 x2十b十c=0(b、c为常数)的两根x1、x2满足一2<x,< 0,0<x2<2,.可以取x1=-1,x2=1.∴.b=-(x1十 x2)=0,c=x1·x2=一1.∴符合条件的一个方程为x2 1=0(答案不唯一). 6.(1).△=(-4m)2-4(4m2-4)=16m2-16m2+ 16=16>0,∴.此方程有两个不相等的实数根.(2)设此 方程的两根分别为t、3t.根据根与系数的关系，得t十3t= 4m,t·3t=4n2-4,∴.t=m..3m2=4m2-4,解得 m1=2,m2=-2. 7.C.(x一2)(ax一b)=0(a≠0)，.∴.x一2=0或ax- b=0,解得x,=2,x2=么.方程(x-2)(ar-b)=0 a (a≠0)是“倍根方程”，分两种情况：当2=2，么，即a= 6名-元宁当x2=兰即6如时 a 名0品-品-景综上所述，代数式名的 a+b at4a 5a 值为或-号 8.-一1方程x2一2025x+1=0的两个根分别为x1、 x2,.x1x2=1,x号-2025x1+1=0.∴.x号-20251= -1..x-2025-x8-20254=x-2025,=-1. 9.9关于x的方程x2一2x一m十1=0的两个实数根 分别为aB,∴.a+B=2,a3=-m+1.:a|+|B|=6, ∴.a、3为异号，即a8<0.由a十B=2,得a2+B=4-2a8, 由a+|B=6,得a2+B2=36-23|,∴.4-2a3=36 2a3=36+2a8.∴.a3=-8.∴.-m+1=-8.∴.m=9. 100的：r+2x-m-m=0由根与系致的关第21章一元二次方程 第4课时一元二次方程根的判别式 边一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基。 1.[2025内江中考]若关于x的一元二次方程(a一1)x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范 围是 () A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 2.对于关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)，下列说法不正确的是 A.若x=一1是方程的解，则a一b十c=0 B.若c=0,则方程a.x2十bx十c=0必有两个不相等的实数根 C.若ac<0,则方程a.x2+bx十c=0必有两个不相等的实数根 D.若a十c=0,则方程ax2+bx十c=0必有两个不相等的实数根 3.舒考向开放性问题解一元二次方程x2一5x十☐=0，请你在“口”中填入一个整数，使得方程x2 5.x+口=0有实数根，则你填入的整数是 4.如果关于x的一元二次方程mx2一3mx十x十2m一1=0的根的判别式的值为1，那么m的值为 5.[2025眉山东坡期末]已知关于x的方程b(x2一1)+2ax+c(x2+1)=0,其中a、b、c分别为 △ABC的三边长. (1)若x=一1是方程的根，试判断△ABC的形状， (2)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状. 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.[2024淮坊中考改编]已知关于x的一元二次方程x2-m.x一n2十mm十1=0，其中m、n满足 m一2=3，则关于该方程根的情况，下列判断正确的是 () A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.只有一个实数根 23 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 7.对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有下列说法：①若a+b+c=0,则b2 4ac≥0；②若方程a.x2+c=0有两个不相等的实数根，则方程a.x2+bx十c=0必有两个不相等 的实数根；③若c是方程a.x2+bx十c=0的一个根，则一定有ac十b十1=0成立；④若x。是一 元二次方程a.x2+bx+c=0的一个根，则b2-4ac=(2axo+b)2.其中，正确的是 ) A.①② B.①②④ C.①②③④ D.①②③ 8.若关于x的一元二次方程(k一1)x2+2kx+k+3=0有实数根，且直线y=(k+3)x十5经过第 一、二、三象限，则满足条件的所有整数k的和为 9.如果恰好只有一个实数a是关于x的方程(k2一9)x2一2(k十1)x十1=0的根，那么k的值为 10老关丁x的方程，冬十长一1一生中只有一个实数根，则实数长所有可能的直的绝对值之和为 11.已知关于x的方程x2一(3k+1)x+2k2+2k=0. (1)求证：无论k取何值，方程总有实数根， (2)若等腰三角形ABC的一边长α为6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形 的周长 12若三个整数a6c之和为13，月身一-后求a的最大值和最小值，并求出此时相应的6与c的值 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 1已知关于的整式P)=+分号1十+叶号r+a十a,其中aeaa.均为 n 自然数，且ao<a1<<aw≤4，有以下说法：①若a1=n=1,则方程P(x)十2=0的解为x= 一2；②若n=2,且方程P(x)十1=a。有两个不相等的实数根，则a。十a1十a2的最大值为9； ③若P(x)为整系数多项式，则这样的P(x)有18个.其中，正确的个数是 ) A.0 B.1 C.2 D.3 24 >“答案与解析”见P11