21.2.4 一元二次方程根的判别式（第2课时：根据二次方程根的情况求参数） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 分层递进设计，通过基础巩固、能力提升、综合实践三阶路径，系统强化一元二次方程根的判别式参数求解，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|根的判别式直接应用|选择填空聚焦参数取值范围，解答题结合方程求解，夯实概念理解| |B能力提升|判别式与几何、根与系数综合|证明题强化推理，负整数根问题提升运算精度，渗透分类讨论| |C综合与实践|跨情境模型构建|材料探究结合二次函数最值，发展创新意识与模型意识|

21.2.4 一元二次方程根的判别式 （第2课时：根据二次方程根的情况求参数） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 2．已知关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，代入求解即可． 【详解】解：没有实数根， ， 即， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知对于一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；是解本题的关键． 3．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，进而求出m的取值范围． 【详解】解：原方程变形得 由题意知， 解得． 4．已知关于的方程，下列的取值能使方程有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程有两个不相等实数根的条件，得到判别式大于0，求出m的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴  ， 解得，， 对比选项，只有A选项的 符合要求，故选A． 5．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 6．等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 二、填空题 7．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和方程无实数根的条件，求出k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． 8．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，且， 即且， ∴． ∴原一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴． 三、解答题 9．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当时，用适当的方法解方程． 【答案】(1)且． (2)，． 【分析】（1）由一元二次方程二次项系数不为0及根的判别式大于0列不等式求解； （2）代入，用配方法解一元二次方程． 【详解】（1）解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵ ， ∴ ， 解得， 综上所述，的取值范围是且； （2）当时，原方程为， ∴ ， ， ， ， ∴ ，． 10．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是平行四边形的两边，的长． (1)如果，试求的值； (2)当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1)3 (2)当时，四边形是菱形 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，菱形的性质，解一元二次方程等，熟练掌握根的判别式是解题的关键． （1）把代入方程，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：把代入方程得： ， 解得：； （2）解：四边形是菱形， ，即方程有两个相等的实数根， ， ，，， ， 解得：， 当时，四边形是菱形． 【B能力提升】 1．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，推导m与n的数量关系，结合n的范围判断的范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 两边同除以，得 ， 整理得 ． 当时，， ∴， 则 ，可能小于1也可能大于1，故A、B均不成立． 当时，， ∴， ∴，故C错误，D正确． 2．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】k≥0 【分析】一元二次方程有实数根，则，结合二次根式有意义的条件可得k的取值范围． 【详解】∵有实数根 ∴ 解得 又∵有意义 ∴ 综上可得k的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，熟记时，一元二次方程有实数根，以及二次根式有意义的条件是解题的关键． 3．已知关于x的一元二次方程的两个根，满足，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根，满足 ∴该方程有两个相等的实数根， ∴． ∵方程中一次项系数， ∴， 整理得， 解得． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】(1) 证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． (2) 【分析】（1）通过计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的两个根，再根据方程有两个互不相等的负整数根，且为整数的条件，排除不符合的情况，得到的值； 【详解】（1）略 （2）解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 【C综合与实践】 1．【材料】小明在做作业时，遇到了如下的问题，他是这样做的： 问题： 求的最小值（为实数） 解：设 则 化简得 由题意得，该方程有解． 得． (1)求的最小值．（为实数）； (2)求的最小值．（，为非零实数）． 【答案】(1)最小值为 (2)最小值为 【分析】（1）设，则，整理得，由题意得，该方程有解，分情况计算即可得出结果； （2）设（，且），则，原式可化为，令，则，由题意得，该方程有解，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 由题意得，该方程有解， 当，即时，方程变为， 解得，即此时是可以取到的， 当，即时，方程为一元二次方程，需满足， ∴， 解得， ∴综上所述，，即的最小值为； （2）解：， ∵，为非零实数，且分母不能为， ∴， 设（，且），则， 原式可化为， 令，则， ∴， 由题意得，该方程有解， 当，即时，方程变为， 解得，即此时是可以取到的， 当，即时，方程为一元二次方程，需满足， ∴， 解得， ∴综上所述，，即的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2.4 一元二次方程根的判别式 （第2课时：根据二次方程根的情况求参数） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知关于的方程，下列的取值能使方程有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 6．等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 二、填空题 7．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 8．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 三、解答题 9．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围；(2)当时，用适当的方法解方程． 10．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是平行四边形的两边，的长． (1)如果，试求的值； (2)当为何值时，四边形是菱形？ 【B能力提升】 1．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______． 3．已知关于x的一元二次方程的两个根，满足，则的值为_________． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【C综合与实践】 1．【材料】小明在做作业时，遇到了如下的问题，他是这样做的： 问题： 求的最小值（为实数） 解：设 则 化简得 由题意得，该方程有解． 得． (1)求的最小值．（为实数）； (2)求的最小值．（，为非零实数）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $