21.2 第3课时公式法-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

第21章一元二次方程 第3课时公式法 边一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.x=-2=√2+4×2× 是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则下列满足要求的方程是 2×2 A.2x2-2x-1=0 B.2x2-2x+1=0 C.2.x2+2x+1=0 D.2x2+2x-1=0 2.已知x=a是一元二次方程2x2一2x一1=0较大的实数根，则a的值在 () A.3和4之间 B.2和3之间 C.1和2之间 D.0和1之间 3.已知关于x的一元二次方程ax2十x十c=0能用公式法求解，则a、c满足的条件是 4.教材变式题用适当的方法解下列方程： (1)3.x2=54. (2)-题多解2x2十8.x一7=0. (3)(x+3)(x-1)=5. (4)x(2x-5)=4x-10. 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.若b2=ac,则的值为() A2-1 B3-1 C5-1 D6-1 2 2 2 2 6.将关于x的一元二次方程x2一x十q=0变形为x2=x一q,就可以将x2表示为关于x的一 次多项式，从而达到“降次”的目的，又如：x3=x·x2=x(px一q),我们将这种方法称为“降次 法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知x2一2x一1=0，且x<0,则 x3+1的值为 () A.√2-3 B.8-5√2 C.3+5√2 D.8-√2 21 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 7.若在实数范围内定义一种运算“”，使a￥b=(a+1)2-ab,例如：1￥2=(1+1)2-1×2=2.方 程(x+2)￥5=0的解为 8.如图，点A在数轴的负半轴上，点B在数轴的正半轴上，且点A对应的数是2x一1，点B对应的 数是x2十x.若AB=5,则x的值为 A 0 B (第8题) 9.已知关于x的一元二次方程(m一1)x2-2m.x十m十1=0. (1)求该方程的根， (2)当m为何整数时，该方程的两个根都为正整数？ 10.舒考向新定义题定义：我们把关于x的一元二次方程a.x2+bx十c=0与cx2+b.x十a=0(ac卡 0,a≠c)称为一对“友好方程”.如：2x2-7x十3=0的“友好方程”是3x2-7x十2=0. (1)写出一元二次方程x2+2x一8=0的“友好方程”： (2)已知一元二次方程x2十2x一8=0的两根分别为x1=2,x2=一4，则它的“友好方程”的两 根分别为x=之x4= 根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根分别为x1、x2 与其“友好方程”cx2+bx十a=0的两根x3、x4之间存在一种特殊的关系，即分别 ,并 证明你的结论. (3)已知关于x的方程2025x2+bx一1=0的两根分别为x1=一1x2=2025,请利用(2)中的 结论，写出关于x的方程(x一1)2一bx十b=2025的根为 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 1解方程写+号名+-6 22 >“答案与解析”见PI012.(1)a2+6ab+10b2+2b+1=0,.a2+6ab+ 9b2+b2+2b+1=0..∴.(a+3b)2+(b+1)2=0..∴.a+ 3b=0,b+1=0,解得b=-1,a=3.∴.a-b=4 (2)2a2+b2-4a-6b+11=0,∴.2a2-4a+2+b2 6b+9=0.∴.2(a-1)2+(b-3)2=0.∴.a-1=0,b-3= 0,解得a=1,b=3.由三角形三边关系可知，三角形三边长 分别为1、3、3，∴.△ABC的周长为1+3+3=7. (3)x+y=2,.y=2-x.∴.xy-z2-4z=x(2 x)一x2-4z=5.∴.x2一2x+1+22十42十4=0..∴.(x 1)2十(z十2)2=0..x一1=0,2十2=0，解得x=1,z= -2.∴.y=1.∴.xyg=-2. 一微专题·利用配方法求最值问题 1.23由题意，得m2+2m+3=(m十1)2+2.：对 于任意实数m都有(m+1)2≥0，∴.(m+1)2+2≥2. ∴.当m=一1时，代数式m2+2m十3取得最小值，为2. 又：-n+3m+=-(m-）》+3,-(m-2)≤ 0-(-)+3≤3.4当u=时.代数式 -n2+3m+子取得最大值，为3 2将原式配方，得2+3y-10y+9=2r+3(y 号）护+分r≥0.(-）≥02+3y 10+>0无论xy为何值，2r+3y-10十 的值恒为正数. 3 第3课时公式法 1.D由题意，可知a=2,b=2,c=-1. 2C解方程2r-2x-1=0,得-1由题意，得 a1.1<后<21+5<a1K15 2 多，即1<a<2 3.4ac≤1且a≠0：一元二次方程a.x2十x十c=0能 用公式法求解，∴.12一4ac≥0且a≠0，即4ac≤1且a≠0. 4.(1)方程两边都除以3，得x2=18,∴.x1=3√2，x2= -3√2.(2)解法-：a=2,b=8,c=-7,.b2-4ac= 8-4X2X(-7)=120>0.x=-82@.,= 2×2 -4+√30 2 ,=4-30 解法二：2x2十8.x-7= 2 0r+4-号=0a+22-5=0x+2 30·。x,—。 -4-√/30 ，x2= 2 2 (3):(x+ 3)(x-1)=5,即x2+2x一8=0，∴.b2-4ac=22一4×1× 8》=36≥0=2生愿--4 2 x2=2.(4)x(2x-5)=4x-10,.x(2x-5)- 2(2x-5)=0,即(2x一5)(x一2)=0.∴.2x一5=0或x一 5 2=0.小2x=2x2=2. 5.C:∠C=90°，∴.a2+b2=c2.b2=ac,.a2+ ac=c2.设x-名，则a=x.(xy+c·c=c. .x2c2+xc2=c2.c≠0，∴.x2十x=1,即x2十x-1= 0银得x=1或x=2(不合题意，含去 2 :的值为5 6.Bx2-2x-1=0,x2=2x+1..x3=x·x2= x(2x+1)=2x2十x.,∴.x3十1=2x2+x+1=2(2x+1)+ x十1=5x+3.解方程x2-2x-1=0,得x=1±√2， x<0,.x=1-2..x3+1=5.x+3=5(1-√2)+ 3=8-52 7k=1+5 ,6=1-5 2 2 由题意，得(x十3)2- 5x+2)=0化简，得x2+x-1=0,解得，=-15， 2 -1-√5 x2= 2 &1-17 2 根据题意，得x2十x-(2x-1)=5,整理，得 x2-x-4=0,a=1,b=-1,c=-4,∴.b2-4ac= （-1)-4×1×(-40=17>0.x=1±y厘.，= +,区，=1二厘.：点A在数轴的负半轴上， 2 2 2x-1k0,即分=1此时r+>0. 1-/17 满足题意·x的值为2 9.(1)根据题意，得m一1≠0，即m≠1.：a=m-1, b=-2m,c=m+1,.b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)· (m十1)=4..x1 2n+2m+12m-2 2(m-0m-1x-2m-5-1. 2).得-1+ 十m二”方程的两个根都 为正整数：1十二是正整数：m为整数m-1 1或m-1=2,解得m=2或m=3.∴.当m的值为2或 3时，该方程的两个根都为正整数. 10.(①-8x+2x+1=0.(2)-子：互为倒数。根据 公式法，可知一元二次方程ax2十bx十c=0的两根分别为 ,=叶公-延，=6-6-他，其友好方 2a 2a 程”cx+bx十a=0的两根分别为x,=一6十6-4ac 2c =6-匹·，b-匹， 2c 2a -b-B-4ac_6B-(6-4ac2=4如c=1,x,·x6= 2c Aac Aac -b--4ac.-b+√6-4ac=b2-(62-4ac) 2a 2c Aac 4=1.《3)与=0，=206方程2025x2+ 1 6一1=0的两根分别为.1=一1，x:=2025该方程的 “友好方程”-x2+bx+2025=0,即x2-bx一2025=0的 两根分别为x3=一1，x1=2025.将方程(x一1)2一ba+ b=2025变形，得(x-1)2-b(x一1)-2025=0，将(x 1)看作一个整体，可知x-1=-1或x-1=2025,∴.所求 方程的根为x,=0,x2=2026. 1解写+-+=6分组可得号(+）- 5(后-士）=6，方程两边都乘以6，可得2（女+3） 5(-）=36,整理，得2[(x-)+12-5(x ）-36=0,可得2(x-）°-5(x-）-12=0.设 y=x-9,可得2y-5y-12=0,分解因式，可得2y十 3(0y-40=0,解得=-2y=4.当y=-2时，可得 -9-号整强，可得2x十3x-12=0, -b士0=ac=二3±0，解得=二3+西 2a 4 4 =-3.经检验，1=-3+ 2,x2= 4 4 一3二105均为原分式方程的解.当y=4时，可得x一 4 6=4,整理，可得x2一4x-6=0.x -b±6-4ac-4仕0=2士0，解得x6=2+ 2a 2 √0，x1=2-√0.经检验，x3=2+√10，x1=2-√10 均为原分式方程的解.综上所述，原分式方程的解为x,= -3汁105 4 2w,=-3-V105 4 ,3=2十√10，x1=2-√10. 第4课时一元二次方程根的判别式 1.C:关于x的一元二次方程(a一1)x2+2x+1=0有 a-1≠0， 实数根， 解得a≤2且a≠ 4=22-4×(a-1)×1≥0， 1.∴.实数a的取值范围是a≤2且a≠1. 2.BA.若x=-1是方程的解，则a×(-1)2+b× (一1)十c=0,即a一b十c=0,故选项A正确，不符合题意； B若c=0,则当b=0时，方程ax2+ba十c=0的两个根 相等，都是0，故选项B错误，符合题意；C.若ac<0,则 b2一4ac>0,故选项C正确，不符合题意；D.若a十c=0, 则b2一4ac>0,故选项D正确，不符合题意。 3.5(答案不唯一)由题意，得△=（一5）2-4×1×☐= 25-4X☐>0，即口<克，：口是整数口可以取5（答 案不唯一) 4.2关于x的方程mx2-3mx十x+2m-1=0为一 元二次方程，∴.m≠0.方程mx2-3mx十x十2m一1=0 的根的判别式的值为1，∴.△=(-3m十1)2一4×m× (2m-1)=1..9m2-6m+1-8m2+4m=1..m2- 2m=0,解得m1=0(不合题意，舍去)，m2=2. 5.(1)x=-1是一元二次方程b(x2-1)+2ax+ c(x2+1)=0的根，.一2a+2c=0.∴.a=c.∴.△ABC 为等腰三角形.(2)：b(x2-1)+2ax十c(x2+1)=0, .(b十c)x2+2ax+(c一b)=0.:方程有两个相等的实 数根，∴.△=4a2+4(b十c)(b-c)=0.∴.a2+b2=c2. ∴.△ABC为直角三角形 6.Cm-2m=3,∴.△=(-m)2-4(-n2+mm+1)=