21.2.3 公式法（第1课时：用公式法解一元二次方程） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练以“公式法解一元二次方程”为核心，通过A、B、C三层递进设计，构建“概念识别-运算巩固-综合应用”的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|公式法核心要素（a,b,c识别、求根公式直接应用）|基础题型（单选、填空、直接解方程），强化运算能力| |B能力提升|公式法综合应用（根与系数关系、新定义运算、几何建模）|变式题型（新运算、矩形边长计算），培养推理意识| |C综合与实践|跨情境实践（图形拼接、面积计算）|项目式探究（等腰三角形剪拼正方形），发展应用意识与创新意识|

21.2.3 公式法（第1课时：用公式法解一元二次方程） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】将原方程整理为一般形式，找出对应的二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：原方程为， 移项整理为一般形式得， 可得二次项系数，一次项系数，常数项 2．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 3．下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 4．若是一元二次方程的根，则（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，当关于x的一元二次方程有解时，则，由此根据题意可得，再代值计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， 故选：D． 5．利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，公式法解一元二次方程的过程：先确定的值，代入计算判别式，当，方程有实数根，当，方程无实数根，当时，将的值代入求根公式求解方程． 【详解】解： ，，， ， ， ， 一元二次方程的两个根，其中较小的根为． 故选：B． 6．有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可 【详解】解：依题意得：， 整理得：， 解得：（舍去） 故选：B 二、填空题 7．关于的一元二次方程（，且 为互质的整数）的两根分别是，，那么_____． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的公式法即可得出答案． 【详解】解：由，， 得：． 8．已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，理解题意，得，再整理得，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∴或， 故答案为：或． 三、解答题 9．用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 即，； （2）解：， ， ∴， 即，； （3）解：， ， ∴ 即，． （4）解：， ， ∴， 即，． 10．解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得； （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 解得； （4）解：， ， ， 整理得，即或， 解得． 【B能力提升】 1．若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】先解出方程的两个根，再利用平方差公式化简所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：解方程得，， ∴ ． 2．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．1 B． C．或 D．1或 【答案】C 【分析】根据新运算定义，分和两种情况列一元二次方程，求解后舍去不符合前提的解，即可得到的值，选出正确选项． 【详解】解：当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，x的值为或． 3．如图，在矩形中，为，点，分别在边，上，连接．若四边形是正方形，且有，则矩形的周长为_____． 【答案】/ 【分析】先根据正方形性质得出，再根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴矩形的周长为：． 4．已知，则______． 【答案】或 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程的求根公式求解，化简判别式后计算得到方程的根． 【详解】解： ∴，，， ∴ ， ∴， 解得或． 5．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3)， (4)方程无实数根 【详解】（1）解： ，， ∴ 解得，； （2）解： 整理得， ，， ∴ 解得； （3）解： 整理得， ，， ∴ 解得，； （4）解： 整理得， ，， ∴方程无实数根． 6．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用直接开平方法解答，即可求解； （2）利用公式法解答，即可求解； （3）先移项，再提公因式因式分解，即可求解； （4）利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】（1）解： ∴或， 解得：． （2）解： ∵， ∴， ∴ （3）解 ∴或， 解得：． （4）解： ∴或， 解得：． 【C综合与实践】 1．【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 (2)若，求的值； (3)在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】根据图形即可求解； 剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为，由剪拼后图形的面积不变，得，然后把代入即可求解； 把，代入即可求解． 【详解】（1）解：由题图可得，拼成的正方形的边长为，长方形的长为， 故答案为：，； （2）解：剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为， 由剪拼后图形的面积不变，得， 当时，， 整理得， 解得或（舍去）， （3）解：∵，， ∴等腰三角形纸片的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2.3 公式法（第1课时：用公式法解一元二次方程） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 3．下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 4．若是一元二次方程的根，则（    ） A．5 B．7 C． D． 5．利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（   ） A． B． C． D． 6．有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 二、填空题 7．关于的一元二次方程（，且 为互质的整数）的两根分别是，，那么_____． 8．已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 三、解答题 9．用公式法解方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 10．解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【B能力提升】 1．若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 2．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．1 B． C．或 D．1或 3．如图，在矩形中，为，点，分别在边，上，连接．若四边形是正方形，且有，则矩形的周长为_____． 4．已知，则______． 5．用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 6．用适当的方法解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 【C综合与实践】 1．【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 (2)若，求的值； (3)在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $