21.2 第1课时直接开平方法和因式分解法-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

第21章一元二次方程 21.2一元二次方程的解法 第1课时直接开平方法和因式分解法 边一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2024南阳内乡期中]如图是一个简单的程序计算器，若输出的值为一10，则输入x的值为（) A.-8 B.25-1或-25-1 输入x→+1→平方→(2)一→输出 C.√5-1或-5-1 (第1题) D.W5-1 2.已知菱形ABCD中AB边的长是方程(x十3)(x一3)=7x一21的一个根，则菱形ABCD的周 长是 () A.12 B.16 C.12或16 D.24 3.定义一种新运算：对于实数a、b,a⊕b=a2十b,例如：1⊕2=12+2=3.若(x十1)⊕x=1,则x的 值为 4.解方程： (1)9(3x-2)2=64. (2)3(x-√2)=5x(√2-x). (3)一题多解4(x十3)2一(x一2)2=0. 5.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m十1与2m一4，求的值 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.若关于x的方程a(x十m)2十b=0的解是x1=2,x2=一1(a、m、b均为常数，a≠0)，则关于x 的方程a(-x-m+1)2+b=0的解是 () A.x1=1,x2=-2B.x1=1,x2=0 C.x1=3,x2=-2D.x1=3,x2=0 17 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 7.分类讨论思想已知关于x的方程(x一1)(x一m)=0与(x一2m)2=c(c≥0)的解完全相同，则常 数c的值为 () A号 B日 C.1 D.4 8.整体思想如果(a2十b2+1)(a2十b2一1)=63，那么a2十b2的值为 9.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例 如：x2=4和(x一2)(x十3)=0有且仅有一个相同的实数根x=2,即这两个方程为“同伴方程”. 若关于x的方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的参数同时满足a十b+c=0和4a十2b+c=0,且该方 程与关于x的方程(x+2)(x一n)=0互为“同伴方程”，则n= 10.对于实数p、q(p≠q),我们用符号min{p,q}表示p、q两数中较小的数，如：min1,2}=1, min{-2,-√3}=-3.已知min{(x-1)2,x2}=1,求x的值. 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.新考向新定义题若关于x的一元二次方程(a.x一b)(cx一d)=0(ac≠0且a≠一1，c≠一1)的 解x1-。=a-bx,=1=c一d,则称该方程为二次“差解方程”.例如：（女-）)(-3x+9=0 的解2：且}1-2}-3-(》…方k-8x+》0是=次装 解方程” 根据上述材料，解决下列问题： ()判断方程2x-(-4x+9)=0是否为二次“差解方程”，并说明理由. (2)若关于x的方程(3x一mm一m)(一2x一mm十n)=0是二次“差解方程”，求关于y的一元 二次方程my-1+nym)-mm，”y的解 18 >“答案与解析”见P8.∴.m2-2025m+1=0..∴.m2+1=2025m,m2-2024m= m-1,m+m =2025.∴.m2-2024m+ 2025 1+m2 =m-1+ 1=2025-1=2024. 17m 95+3)-=72:正方形水池的边长是x步， ·圆的半径为（受+3）步.根据园的面积一正方形的面 积=圆内可耕地的面积，可列出方程：x(号+3) x2=72. 10.设这两个方程的一个根分别为a和一a.把x=a代入 方程x2-2016.x+m2-3m=0,得a2-2016a+m2 3m=0①；再把x=一a代入方程x2+2016.x一m2+3m 0,得a2-2016a-m2+3m=0②.①-②，得2m2-6m= 0,解得m=3或m=0. 11.(1)①5.(2+i)(2-i)=4-i2=4一(-1)=5. ②-8+6i.(1+3i)2=1+6i+9i2=1+6i-9=-8+6i. (2)将x=2一i代入原方程，得(2一i)2+m(2一i)十n=0, .3-4i+2m-mi+n=0...2m+n+3-(4+m)i=0. ∴.2m+n十3=0,4+m=0...m=-4,n=5.∴.m n=-4-5=-9. 21.2一元二次方程的解法 第1课时直接开平方法和因式分解法 1.C由题意，得(x+1)2×(-2)=-10,∴.(x+1)2=5. .x+1=±5.∴.x=-1±5. 2.C将原方程整理，得x2-7x+12=0,∴.(x一3)(x- 4)=0..x-3=0或x一4=0，解得x1=3,x2=4..菱 形ABCD的周长为3×4=12或4×4=16. 3.0或一3由题意，得(x+1)①x=(x+1)2+x=1,整 理，得x2+3x=0,∴.x(x十3)=0.∴x=0或x十3=0. .x=0或x=一3. 41原方程可化为(ar-2r-号：3x-2-号或 3-2一号解得，号：=-子2原方程可化 为3(x一√2)+5x(x一√2)=0，方程左边分解因式，得 (x-√2)(3+5.x)=0,∴.x-√2=0或3+5.x=0,解得 3 x=2,x,=一后(3)解法一：原方程可化为4(x十 3)2=(x-2)2,.2(x十3)=一(x一2)或2(x+3)=x 2解得=一青：=一8、解法二：原方程可化为 [2(x+3)]一(x一2)2=0，方程左边分解因式，得[2(x+ 3)十(x一2)][2(x+3)一(x-2)门=0，即(3x+4)(x十 4 8)=0.3x十4=0或x+8=0,解得x1=-3,x2= -8. 5方程ar=6两边同时除以a,得-台x=土√只 b :方程的两个根互为相反数，∴.m十1十2m一4=0. ∴.m=1.∴.一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别 是与-2±臣-2小-4 a 6.D:a(-x-m+1)2+b=0,∴.a(x十m-1)2+b= 0.又：关于x的方程a(x十m)2+b=0的解是x1=2, x2=一1(a、m、b均为常数，a≠0)，∴.x一1=2或x- 1=一1，解得x1=3,x2=0. 7.B(x-1)(x-m)=0,∴.x1=1,x2=m.(x- 2m)2=c,∴.x-2m=士√C..x1=2m-√，x2=2m+ 2m-c=1, √.分两种情况讨论：① 1 解得m=3c无 2m十√c=m, 1 2m-√c=m, 解.②{ 解得 2m+=1, 1 c=9. 8.8设a2十b2=x,则(x十1)(x-1)=63.整理，得x2= 64,解得x=±8，即a2+b2=8或a2+b2=-8(不合题意， 舍去)..a2十b2的值为8. 9.1或2：关于x的方程ax2+bx十c=0(a≠0)的参数 同时满足a十b十c=0和4a十2b十c=0,∴.此方程的两个 实数根为x1=1,22=2.又该方程与(x十2)(x一n)=0 互为“同伴方程”，且方程(x十2)(x一n)=0的两个实数根 分别为x3=-2,x1=n,∴.n=1或2. 10当x>(x-10,即x>号时mim(x-10,x) (x-1)2=1,解得x,=2,x2=0(不合题意，舍去)；当(x一 1)2>x,即x<号时，mim(x-1),x2)=x2-1,解得 x3=1(不合题意，舍去)，x1=一1.综上所述，x的值为 -1或2. 11D是强由：方程(2x-号)(-4x+）=0的解 号=且号-2-，=-4-(-9) :方程(2x一号)(-r+)=0是二次“差解方程 (2):方程(3x一m-m)(-2x一mn十n)=0的解为 x,=mn十m 3 ,=一m十，该方程为二次“差解方程”， 2 .m十m=3-(m十m),二mm十n=-2-（mm-.整 3 2 里，可得mm十m=号m-n=-4,m十-草又：-元 二次方程m(y-1D十n(y-m)=（mn一m)y,即(m 4 n)2y2-4(m+n)y+4(mn+m)=0,.16y2-25y+9= 0,条得y号或y=1. 第2课时配方法 1.A题图①中的解法是将二次项系数化为1后，再利用 配方法把含未知数的项写成完全平方式；题图②中的解法 是将二次项系数化为非1的完全平方数后，再利用配方法 把含未知数的项写成完全平方式.∴.两人都正确。 2.二原方程可化为x2十4x=16,配方，得x2十4x+4= 20,即(x十2)2-20=0，.p=2,q=-20.∴.直线y= px十q对应的函数表达式为y=2x一20.∴.该直线经过第 一、三、四象限，不经过第二象限 3.-1或号由题意，得(2x)2-2(-)-3=-1,整理， 得2x+x-1=0,+受=，即(c+)=0 x=土子=-1=x的值为 一1或2 4-6:x+x-号=02x+2x-5)=0 :}[+1)2-6]=0.:可配方为2[(x+1)P+k]= 0,.k=一6. 5.(1)移项，得x2-6x=4.配方，得x2-6x十9=4十9，即 (x-3)2=13.直接开平方，得x-3=±√13，解得x1= 3十√13，x2=3-√13.(2)移项，得2x2-8x=一3.方程 两边都除以2，得一红=一配方，得2一十4= 是+4，即G-2护=直校开平方，得x一2=士四。 2?-20 解得x,=2+四. 21 (3)去括号，得2x+ x=5x十70.移项、合并同类项，得2x2一4x=70.方程两边 都除以2，得x2-2x=35.配方，得x2一2x十1=35+1，即 (x-1)2=36.直接开平方，得x一1=±6，解得x1=7, x2=-5. 易错警示 配方时易出现的错误 (1)移项时忘记变号. (2)系数化为1时漏项. (3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的 平方 6.Dx2-8x十m=0,∴.x2-8x=-m.x2-8x+ 16=-m十16.∴.(x-4)2=-m+16.由题意，得n=4, -m+16=6,∴.n=4,m=10..x2+8x十m=5可化为 x2+8x+5=0..x2+8x+16=-5+16.∴.(x+4)2= 11,即(x+n)2=11. 7.A根据题意，得-(k一1)=士2×5×1.∴.k-1= ±10，解得k,=11,k2=-9. 8.D:x2-2ha+4c2=0(b>2c>0),.x2-2bx= -4c2,则x2-2bx+b2=b2-4c2.∴.(x-b)2=b2-4c2. ∴.x-b=±W6-4c2.∴.x1=b+√62-4c2,x2=b √62-4c2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2c,AB= b,∴.BC=√AB2-AC=√b2-4c.AB+BC= AB十BE=AE,∴.方程较大的根为AE的长度， 9.t1=2027,t2=-2025.'t2-2t-4104675=0, ∴.t-2t+1=4104675+1.∴.(t-1)2=4104676. ∴.t-1=±2026.∴.t=±2026+1.∴t1=2027,t2= -2025. 10.一1士√5设t=2x十3y,则原方程为t2+2t-4=0. 配方，得(t+1)2=5.直接开平方，得t+1=土5，解得 t=-1±5.∴.2x十3y的值为-1±5. 12:3a+2-12a-2+19=13(a+2+ )-12(a+）+13=13(a+)°-12(a十 )+12=,即(a+)°-4(a+)+4=0.(a+ 日-2)°=0a+日-2=0a+日=2