21.2.1 第2课时 因式分解法-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

(2):圆形团扇半径为20y丘cm,正方形团扇的边长为20m, 5.x2=4(答案不唯一)6.B7.A8.A9.A 10.x(x+1)=182x2+x-182=011.-1 ∴.圆形团扇的周长为40√π，正方形团扇的周长为80cm. 能力在线 40√元<40√4=80，.40√斤<80. 12.B13.A14.B15.15x(10-x)=360 ∴圆形团扇所用的包边长度更短. 16.整理a(x十1)2十b(x+1)十c=0,得a.x2+(2a十b)x十(a +b+c)=0, 3.1依题意，(9-25）10-25)=10-405+12= a=3, a=3, (112-40√3)dm2, 则{2a十b=2, 解得b=一4， ∴.裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为(112一 (a+b+c=-1. c=0. 17.根据题意，得 40√5)dm2. (x-40)[500-10(x-50)]=8000. (2)四个直角处的小正方形边长为号(10-42)=(5- 化为一般形式为 -10x2+1400x-48000=0(或10x2-1400x+48000=0). 2√2)dm, 拓展在线 无盖长方体铁箱的宽为4√2dm, 长为2[20-42-2×(5-22)]=5dm, 18.()由题意，得二2m=4,代人已知方程，得 2x2+5x十11=0. 裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积为(5一2√2)× ∴.二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11， 4√2×5=(100√2-80)dm3. (2)若方程是关于x的一元一次方程，则m的取值应分 (3)欣欣. 单元综合复习（一）二次根式 以下两种情况：①，②+1≠。 m+1≠-1：9 热门考点突破 ∴.m=3或m=2. 1.C2.x≥-1且x≠33.A4.A5.二或三6.D 21.2一元二次方程的解法 7.D8.C9.A10.B11.A12.A 21.2.1直接开平方法和因式分解法 13.3314.215.216.217.5+0 第1课时直接开平方法 2 基础在线 18.(1)原式=3V2+5 -1=8-1=7. 1.x1=1,x2=-12.C √2 3.(1).x2-3=5,.x2=8..x=±2√2. (2)原式=(103-4√3)÷√3一√7+2√7 ∴x1=2√2，x2=-2√2. =6-√7+2√7=6+√7. (2)-0.5x2+2=0,.-0.5x2=-2. (3)原式=72-(4√3)2-(45-6√5+1) .x2=4..x=士2.∴.x1=2,x2=-2. =49-48-46+6√5=6V5-45. 4.根据题意，得3x2-8=2x2-1, 19.(1),a=2-√3，b=2+√3， 整理，得x2=7,所以x1=√7，x2=一√7. .a+b=2-√5+2+√5=4： 所以当x=√7或一√7时，代数式3x2一8与2x2-1的值相等. a-b=(2-V3)-(2+√3)=2-√3-2-√3=-2W3. 5.D6.D (2)由(1)知，a+b=4,a-b=-2√3， 7.(1)(x+1)2=25,.x+1=±5. ∴.(a+b)2-6a+6b-9=(a+b)2-6(a-b)-9 .x1=4,x2=-6. =42-6×(-2√3)-9=16+12√5-9=7+12√3. (2)(3x-1)2=36,.3x-1=±6. 核心素养提升 =a= 20. 8.一4或6 (2)①84 能力在线 ②AD⊥BC,BC=14, 9.D10.6+√311.2或-412.813.x1=0,x2=4 14.由题意，得a-2≥0,4-2a≥0，解得a=2, 2X14×AD=84.AD=12. .b=-3. 又.AC=15,∠ADC=90°， 关于x的一元二次方程ax2+十bz+c=0(a≠0)的一个 ∴.CD=√AC-AD=√152-122=9. 根是1， 第21章一元二次方程 .a+b+c=0.∴c=1. 21.1认识一元二次方程 则方程为少-1=0， 基础在线 整理，得y2=4,=2,2=-2. 1.C2.A3.C 4.(1)一元二次方程(x-5)2=36的一般形式是： 15.:ar2=b(ab>0),.x=±V0 b x2-10x-11=0, 方程的两个根互为相反数. 二次项系数是1，一次项系数是一10，常数项是-11. ∴.(m+1)+(2m-4)=0..m=1. (2)一元二次方程3y(y+1)=2(y十1)的一般形式是： ∴.x1=m+1=2,x2=2m-4=-2, 3y2+y-2=0, 二次项系数是3，一次项系数是1，常数项是一2. =2=4 a 18 / 探究在线·九年 拓展在线 16.±2 7.(1)方程变形，得x2十x=2 1 17.原方程变形成[(x+3)-2][(x+3)+2]=12, .(x+3)2-22=12..(x+3)2=16. 配方，得++=即(+)=， 方程两边同时开平方，得x十3=士4， 解得x1=1,x2=一7. 开方：得+ 第2课时因式分解法 解得x=一 1+3 13 2 +=-2- 基础在线 1.B (2方程变形，得2十号=1， 2.2x+5=02x-5=01=-5, 5 2x2=2 因式分解法 配方，得2+号x+(兮)‘=1+（行）》广 3.D4.x1=4,x2=0 5.(1D=0,4=14、(2)=3,=g 即(x+)'-吕， (3)m=-7a=2 开方，得x+号=士， 3 6.2y2y-32y-3-号号7.z-2x-22 =-1+10 3 81m=-专-手(2)== 4 1 x2=-1-10 3 或写成，=-1+而)】 3 9.小敏和小霞的解法均是错误的. 正确的解答如下： 8.③右边没有加上1五=-1+5 x=-1-6 移项，得3(x一3)一(x一3)2=0， 能力在线 提取公因式，得(x-3)(3-x十3)=0. 9.D10.D11.-512.2113.3 则x一3=0或3一x十3=0， 解得x1=3,x2=6. 14.1)=7,,=-5.(2)x=57,=5,7 2 能力在线 15.方程变形为(a2+2)2-2(a2+b2)+1-1-15=0, 10.A11.D12.C13.C14.0或-4 (a2+b2-1)2=16, 15.(1)方程可变形为2x(x-2)十5(x-2)=0, a2+b2=5或a2十b=-3(不合题意，舍去)， 方程左边分解因式，得(x-2)(2x十5)=0， 即c2=a2+b=5, x-2=0或2x十5=0，解得x1=2,x2=- 5 .c=√5. 2 拓展在线 (2)方程变形为x2-2√3x十3=0. 16.(1)x1=x2=1x1=1,x2=2x1=1,x2=3 即(x-√3)2=0，x1=x2=√3. (2)x1=1,x2=8x2-(1+n)x+n=0 (3)3x3-12x2+12x=0可化为3x(x2-4x+4)=0, 方程左边分解因式，得3x(x一2)2=0， (3)2-9x+8=0,x2-9x=-8,x-9x+81=-8+8 4 41 ∴.3x=0或(x-2)2=0,.x1=0,x2=x3=2. 16.(1)24 (号)广-想x-是-± (2)把-4分解成1×(-4)，且1+(-4)=-3. .x1=1,2=8.猜想正确. .x2-3x-4=(x十1)(x-4)=0. 21.2.3公式法 .x十1=0或x-4=0,解得x1=-1,x2=4. 基础在线 拓展在线 1.A2.C 17.1或-1 3.(1),b-4ac=(-1)2-4×3×(-1)=1+12=13>0, 21.2.2配方法 x=1±3 基础在线 6 1.12(22x(3)号号 =1+压，，=1 6 6 2.2(x-1)2-73.C4.C (2)整理，得2x2-7x-6=0, 5.(1)x2+4x+4-4-6=0, -4ac=(-7)2-4×2X(-6)=49+48=97>0, (x+2)2-10=0, x=7±97 x=-2士√10， 4 ∴.x1=-2-√10，x2=-2+√/10. a=7+7 4 r-8+品-6-1=0 4.D5.(1)①(2)②(3)④⑥(4)③⑤ (-广-=0x-± 6.(1)(x-3)2=4, ∴.x-3=2或x-3=-2. a=2a=- 解得x1=5,x2=1. (2)x2-2x=4,x2-2x+1=4+1, 6.C (x-1)2=5, 级数学（上）·HD©第2课时 知识要点分类练 ①基础在线沙知识要 …0 知识点1解形如ab=0的方程 1.方程x(x-2)=0的解是 A.xC1=x2=-2 B.x1=0,x2=2 C.x1=0,x2=-2 D.无实数根 2.解一元二次方程(2x十5)(2x-5)=0时，可先将 方程转化为两个一元一次方程 和 ,从而求得方程的解是 ,这种解方程的方法叫做 知识点2利用提公因式法解一元二次方程 3.一元二次方程x2=4x的解是 ) A.x=0 B.x=4 C.x1=2,x2=-2 D.x1=0,x2=4 4.方程x(x一3)=x的解是 5.用因式分解法解下列方程： (1)x2-14x=0; (2)(x-3)2+4x(x-3)=0; (3)(2x+1)2=5(2x+1). 知识点3利用乘法公式分解因式解一元二 次方程 6.由4y2-9=0,可得( )2一32=0，则 (2y+3)( )=0,所以2y十3=0或 21探究在线九年级数学（上）·HD 因式分解法 =0,解得1= ,y2= 7.由方程x2一4x十4=0可得( )2=0, 则 =0,解得x1=x2= 8.用平方差公式或完全平方公式解下列方程： (1)9y2-16=0; (2)25x2=10x-1. 易错点解方程时，方程两边同时除以含有未 知数的代数式导致失根 9.小敏与小霞两位同学解方程3(x一3)=(x一3)2 的过程如下： 小霞： 小敏： 移项，得3(x-3)-(x-3)2=0, 两边同除以( 提取公因式，得(x-3)(3一x 一3)，得3=x 3)=0. 一3， 则x一3=0或3一x一3=0， 则x=6. 解得x1=3,x2=0. 请你分别判断他们的解法是否正确？若都不 正确，请写出你的解答过程。 2 能力在线沙方法规律综合殊 10.用因式分解法解方程，下列方法正确的是（) A..(2x-2)(3x-4)=0,∴.2x-2=0或3x 一4=0 B.(x十3)(x-1)=1,∴.x+3=0或x-1 =1 C..(x-2)(x-3)=2×3,∴.x-2=2或 x一3=3 D.x(x+2)=0,x+2=0 11.用因式分解法解方程x2一x一6=0，将左边 因式分解后有一个因式为x一3，则p的值为 ( ) A.-5 B.5 C.-1 D.1 12.已知方程x2+mx十n=0的两根为3和一4， 则代数式x2一mx十n可分解为 () A.(x-3)(x+4)B.(x+3)(x+4) C.(x+3)(x-4) D.(x-3)(x-4) 13.若三角形三边的长均能使代数式(x一6)(x 一 3)的值为零，则此三角形的周长是() A.9或18 B.12或15 C.9或15或18 D.9或12或15 14.关于x的方程x2十4kx+2k2=4的一个解是 2,则k的值为 15.解下列方程： （10号x(x-2)-2(2-x): (2)x2+3=2√3x; (3)3x3-12x2+12x=0. 16.由多项式乘法：(x十a)(x十b)=x2十(a十b)x 十ab,将该式从右到左使用，即可得到“十字 相乘法”进行因式分解的公式： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 示例： 分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3 =(x十2)(x十3). (1)尝试： 分解因式：x2十6x十8=(x十)(x十)； (2)应用： 请用上述方法解方程：x2一3x一4=0. 3拓展在线沙培代浆尖提升然… 17.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相 同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方 程”.例如x2=4和(x一2)(x十3)=0有且仅 有一个相同的实数根x=2,所以这两个方程 为“同伴方程”.若关于x的方程ax2十bx十c =0(a≠0)同时满足a十b十c=0和a-b十c =0,且该方程与(x十2)(x一n)=0互为“同 伴方程”，则n= 第21章22