21.1 认识一元二次方程-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

第21章一元二次方程 21.1认识一元二次方程 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1,则代数式2025-a-b的值为()》 A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 2.青境数学文化[2025辽宁中考]我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积 八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意如下：一块矩形田地的面积为864平 方步，只知道它的长与宽共60步.问：它的长比宽多多少步？设这块矩形田地的宽为x步，根据 题意可列方程为 （) A.x(60-x)=864 B.x(x-60)=864 C.x(60+x)=864 D.2x+(x+60)]=864 3.教材变式题[2024凉山中考]若关于x的一元二次方程(a十2)x2+x十a2一4=0的一个根是x= 0,则a的值为 () A.2 B.-2 C.2或-2 D.2 4.易错题[2025长春九台期末]若关于x的方程(m一2)xm十x一2=0是一元二次方程，则m的 值为 5.已知关于x的方程(m十1).xm-1+(m-3)x=5. (1)当m为何值时，该方程为一元二次方程？ (2)当为何值时，该方程为一元一次方程？ 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.若关于x的一元二次方程(m一3)x2十mx=9x十5化为一般形式后不含一次项，则m的值为 () A.0 B.±3 C.3 D.-3 7.已知关于x的-元二次方程ar2+bx十c=0a≠0)的两个实数根分别为1和-号，则关于y的 一元二次方程c(y一2025)2+b(y一4)=2021b-a(c≠0)的两个实数根分别为 8.已知m是关于x的一元二次方程x2-2025x+1=0的一个根，则代数式m2一2024m+ 2025 1+m2 的值为 15 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 9.情境数学文化我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题： x单位：步 “今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周 3 有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一.”其大意如下：有一块 圆形的田，中间有一个正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好 3 为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远.如图，若设正方形水池的 3 边长是x步，则列出的方程是 (第9题) 10.已知关于x的方程x2一2016x+m2一3m=0的一个根与关于x的方程x2+2016.x-m2十 3m=0的一个根互为相反数，求m的值. 道]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.舒向阅读理解题材料一：数学家为了解决一元二次方程x2=一1在实数范围内无实数根的问 题，引进虚数单位i,规定=一1.当b≠0时，形如a十bi(a、b为实数)的数统称为虚数.比如 5i、3+2i、1一√2i.当b=0时，a十bi=a十0·i=a为实数.若a十bi=0,则a=0,b=0,反之亦 成立 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数a十bi、c十di(其中a、b、、d为实数，且 b≠0，d≠0)有如下运算法则： (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. (1)填空： ①(2+i)(2-i)= ②(1+3i)2= (2)关于x的一元二次方程x2十mx十n=0有一个根是2一i,其中m、n是实数，求m-一n 的值. 16 “答案与解析”见P?整数解"士>0m>-5又：x≠1士1， 2 即m≠-3.√2-m有意义，∴.2-m≥0..m≤2. “-5<m<2且m≠-8：m是整数，m5是正整数。 ∴.m可以是-1或1，其和是一1+1=0. 8.10观察题图可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， .重叠部分也为正方形.：空白部分的面积总和为 10√2-10，∴.一个空白部分的面积=5√2-5.小正方 形A2B,C2D的面积为20，两个小正方形重叠部分的面积 为5，∴.小正方形A2B,C2D的边长=√20=25，重叠部 分的边长=5..一个空白部分的长为25-5=5. ∴.这个空白部分的宽为(52-5)÷5=√0-5.∴.小 正方形A,BC,D,的边长=一个空白部分的宽+重叠部分 的边长=√10一√5+√5=√10.∴.小正方形 A1BC1D1的面积=(W10)2=10. 9.(1)2..4<5<9,∴.2<5<3.∴.√5的整数部分为2. (2).9<1016,.3<√10<4.∴.√10的整数部分为 3,小数部分为√10-3..a=3,b=√10-3..a+b- 第21章- 21.1认识一元二次方程 1.C,'关于x的一元二次方程ax2十bx+1=0的一个 解是x=1,∴.x=1是方程的解.∴.将x=1代入方程，得 a+b+1=0.∴.a+b=-1.∴.2025-a-b=2025-(a+ b)=2025-(-1)=2026. 2.A利用矩形面积公式即可列出方程为x(60一x)= 864. 3.A关于x的一元二次方程(a十2)x2+x十a2一4= 0的一个根是x=0,∴.a2-4=0且a+2≠0，解得a=2. m一2≠0， 4.一2由题意，可知 解得m=一2. |m=2, 易错警示 忽略一元二次方程二次项系数不为0而致错 根据一元二次方程的概念求字母的值时，既要保证 未知数的最高次数为2，又要保证二次项系数不为0. 5.(1)由关于x的方程(m十1).xm1+(m-3)x=5是一 lm-1=2, 元二次方程，得 解得m=3.∴.当m=3时，该 m+1≠0， √10=3+√10-3-√10=0. 4a-b+11=0, a= 10.由题意，得 3b-4a-3=0 解得 4 b=12. ·当a=寻6=12时，原式=2××2-5. 1 11.(1)3+2.(2)4-25=3+1-25=(W3)2+ 12-23=(5-1)2,∴.√4-25=√(5-1)2=5-1. (3)6+4W2=4+2+4√2=(W4)2+(W2)2+2×√4× √2=(2+√2)2，∴.A=√6十42=2+√2.3-√5= 6-25=5+1-25 =5)2+12-2×1×W5 2 2 2 51),.B=W3-万-√ 5-12-5-1 2 2 2-而-.A+B=2+E+而- 2 2-+四+9 十2 元二次方程 方程为一元二次方程.(2)由关于x的方程(m十1)· xm-十(m-3)x=5是一元一次方程，得m十1=0或 (lm-1=1, 或m一1=0，解得m=±1或m=0或 m+1+m-3≠0 m=2.∴.当m=士1或m=0或m=2时，该方程为一元一 次方程 6.D将原方程整理，得(m-3)x2十(m2-9)x一5=0， {m3≠0， 解得m=一3. m2-9=0, 7y=2023.=2026令x=号，代入ar2+ba+c=0 a≠0，得a·(付)厂+b·是+c=0,即c2+c十a=0. ∴.方程ax2十bx十c=0与方程cz2+b加十a=0的根互为 倒数，即x,=-2,22=1.:c·(y-2025)2十b(y-4)= 2021b-a(c≠0)，∴.c(y-2025)2+b(y-2025)+a=0. .y-2025=-2或y-2025=1,解得y1=2023或y2= 2026. 8.2024m是方程x2一2025.x+1=0的一个根， .∴.m2-2025m+1=0..∴.m2+1=2025m,m2-2024m= m-1,m+m =2025.∴.m2-2024m+ 2025 1+m2 =m-1+ 1=2025-1=2024. 17m 95+3)-=72:正方形水池的边长是x步， ·圆的半径为（受+3）步.根据园的面积一正方形的面 积=圆内可耕地的面积，可列出方程：x(号+3) x2=72. 10.设这两个方程的一个根分别为a和一a.把x=a代入 方程x2-2016.x+m2-3m=0,得a2-2016a+m2 3m=0①；再把x=一a代入方程x2+2016.x一m2+3m 0,得a2-2016a-m2+3m=0②.①-②，得2m2-6m= 0,解得m=3或m=0. 11.(1)①5.(2+i)(2-i)=4-i2=4一(-1)=5. ②-8+6i.(1+3i)2=1+6i+9i2=1+6i-9=-8+6i. (2)将x=2一i代入原方程，得(2一i)2+m(2一i)十n=0, .3-4i+2m-mi+n=0...2m+n+3-(4+m)i=0. ∴.2m+n十3=0,4+m=0...m=-4,n=5.∴.m n=-4-5=-9. 21.2一元二次方程的解法 第1课时直接开平方法和因式分解法 1.C由题意，得(x+1)2×(-2)=-10,∴.(x+1)2=5. .x+1=±5.∴.x=-1±5. 2.C将原方程整理，得x2-7x+12=0,∴.(x一3)(x- 4)=0..x-3=0或x一4=0，解得x1=3,x2=4..菱 形ABCD的周长为3×4=12或4×4=16. 3.0或一3由题意，得(x+1)①x=(x+1)2+x=1,整 理，得x2+3x=0,∴.x(x十3)=0.∴x=0或x十3=0. .x=0或x=一3. 41原方程可化为(ar-2r-号：3x-2-号或 3-2一号解得，号：=-子2原方程可化 为3(x一√2)+5x(x一√2)=0，方程左边分解因式，得 (x-√2)(3+5.x)=0,∴.x-√2=0或3+5.x=0,解得 3 x=2,x,=一后(3)解法一：原方程可化为4(x十 3)2=(x-2)2,.2(x十3)=一(x一2)或2(x+3)=x 2解得=一青：=一8、解法二：原方程可化为 [2(x+3)]一(x一2)2=0，方程左边分解因式，得[2(x+ 3)十(x一2)][2(x+3)一(x-2)门=0，即(3x+4)(x十 4 8)=0.3x十4=0或x+8=0,解得x1=-3,x2= -8. 5方程ar=6两边同时除以a,得-台x=土√只 b :方程的两个根互为相反数，∴.m十1十2m一4=0. ∴.m=1.∴.一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别 是与-2±臣-2小-4 a 6.D:a(-x-m+1)2+b=0,∴.a(x十m-1)2+b= 0.又：关于x的方程a(x十m)2+b=0的解是x1=2, x2=一1(a、m、b均为常数，a≠0)，∴.x一1=2或x- 1=一1，解得x1=3,x2=0. 7.B(x-1)(x-m)=0,∴.x1=1,x2=m.(x- 2m)2=c,∴.x-2m=士√C..x1=2m-√，x2=2m+ 2m-c=1, √.分两种情况讨论：① 1 解得m=3c无 2m十√c=m, 1 2m-√c=m, 解.②{ 解得 2m+=1, 1 c=9. 8.8设a2十b2=x,则(x十1)(x-1)=63.整理，得x2= 64,解得x=±8，即a2+b2=8或a2+b2=-8(不合题意， 舍去)..a2十b2的值为8. 9.1或2：关于x的方程ax2+bx十c=0(a≠0)的参数 同时满足a十b十c=0和4a十2b十c=0,∴.此方程的两个 实数根为x1=1,22=2.又该方程与(x十2)(x一n)=0 互为“同伴方程”，且方程(x十2)(x一n)=0的两个实数根 分别为x3=-2,x1=n,∴.n=1或2. 10当x>(x-10,即x>号时mim(x-10,x) (x-1)2=1,解得x,=2,x2=0(不合题意，舍去)；当(x一 1)2>x,即x<号时，mim(x-1),x2)=x2-1,解得 x3=1(不合题意，舍去)，x1=一1.综上所述，x的值为 -1或2. 11D是强由：方程(2x-号)(-4x+）=0的解