第21章 二次根式练习题 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

二次根式练习题 一．选择题（共5小题） 1．下列式子中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．20cm B． C． D． 5．已知a+b＝﹣6，ab＝7，则代数式ab的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 6．使式子有意义，则x的取值范围是　 　 ． 7．已知y+10，则的值为 　 　 ．9题图 8．若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝　 　 ． 9．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a| 10. 若|2017﹣m|m，则m﹣20172＝　 　 ． 三．解答题（共14小题） 11．计算： （1）2（2）2 （2）(1)2012 12.已知：，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2﹣3ab+b2． 13．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵3+21+2+212+（）2+2×1（1）2 ∴1； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： （1）； （2）． 14．【阅读理解】 爱思考的小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵，． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　 　 ； （2）计算：； （3）若a，求a2﹣4a+5的值． 15．定义：形如“mn”的数称为“族数”（其中m，n为有理数，n≠0），并规定：两个“族数”之间可以进行“+，﹣，×，÷”等运算，运算法则符合二次根式的相关要求． 根据上述材料，解答下列问题： （1）在2和中，属于“族数”的是　 　 ； （2）已知A＝4b，B＝4b（其中b为有理数，b≠0）均为“族数”，判断是否为“族数”，并说明理由． 16．在学习二次根式的性质时，知道，利用这个性质我们可以求的值． 解：设，两边平方，； ∴； ； ∴，∵x＞0，∴； ∴； 请利用以上方法，解决下列问题： （1）求； （2）若，求n的值． 2026年09月06日游春梅的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．下列式子中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】形如（a≥0）的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A：被开方数﹣2＜0， ∴不是二次根式； B：当x＜﹣1时，x+1＜0，不满足要求， ∴不一定是二次根式； C：根指数为2，被开方数9＞0，满足二次根式的定义， ∴一定是二次根式； D：根指数为3，属于三次根式， ∴不是二次根式． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握这个定义是解题的关键． 2．下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：根据最简二次根式的定义逐项分析判断如下： A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、2不能再开方，是最简二次根式； D、，不是最简二次根式． 故选：C． 【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件，熟练掌握以上知识点是关键． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式混合运算的法则及整式的除法法则进行计算即可． 【解答】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，整式的除法，熟知以上知识是解题的关键． 4．把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．20cm B． C． D． 【分析】先设小长方形卡片的长为x cm，再结合图形得出上面的阴影长方形的周长和下面的阴影长方形的周长，再把它们加起来即可求出答案． 【解答】解：设小长方形卡片的长为xcm， 根据题意得：， ∴， 则图②中两块阴影部分周长和是： ＝20（cm）， ∴图②中两块阴影部分的周长和是20cm． 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的应用，整式的加减运算，解题的关键是根据题意并结合图形列出关系式，去括号合并即可得到结果． 5．已知a+b＝﹣6，ab＝7，则代数式ab的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据二次根式的性质化简，再代入求值即可． 【解答】解：∵ab＝7， ∴a、b同号， ∵a+b＝﹣6， ∴a、b都为负数， ab ， 当a+b＝﹣6，ab＝7时， 原式， 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 二．填空题（共4小题） 6．使式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣3且x≠2　 ． 【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，分式的分母不等于0，进行求解即可． 【解答】解：∵二次根式被开方数大于等于0，分式的分母不等于0， ∴， 解得：x≥﹣3且x≠2， 故答案为：x≥﹣3且x≠2． 【点评】本题考查代数式有意义的条件，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 7．已知y+10，则的值为 　6　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式求出x，进而求出y，根据算术平方根的概念计算即可． 【解答】解：由题意得：x﹣13≥0，13﹣x≥0， 解得：x＝13， 则y＝﹣10， ∴2x﹣y＝2×13+10＝36， ∵6， ∴6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、算术平方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 8．若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝　±1　 ． 【分析】由于给出的两个根式既是最简根式又是同类根式．那么它们就是同类二次根式，被开方数就应该相等，由此可得出关于x的方程，进而可求出x的值． 【解答】解：由题意可得： 5x2+1＝7x2﹣1， 解得x＝±1， 当x＝±1时，与都是最简二次根式． 因此x＝±1． 故答案为±1． 【点评】本题考查了同类二次根式与最简二次根式的定义，掌握定义是解题的关键． 9．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a|． 【分析】根据先判断a，a+c，c﹣a，b与0的大小关系，然后根据二次根式与绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：由数轴可知：c＜﹣a＜0＜a＜b， ∴c+a＜0，c﹣a＜0， ∴原式＝a+（a+c）﹣（c﹣a）﹣b ＝a+a+c﹣c+a﹣b ＝3a﹣b． 【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型． 10.若|2017﹣m|m，则m﹣20172＝　2018　 ． 【分析】根据二次根式的性质求出m≥2018，再化简绝对值，根据平方运算，可得答案． 【解答】解：∵|2017﹣m|m， ∴m﹣2018≥0， m≥2018， 由题意，得m﹣2017m． 化简，得2017， 平方，得m﹣2018＝20172， m﹣20172＝2018． 故答案为：2018． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简绝对值是解题关键． 三．解答题（共14小题） 11．计算： （1）2（2）2 （2）（）﹣2﹣（﹣1）2012 【分析】（1）先利用二次根式的乘除法则运算，再利用完全平方公式计算，然后合并即可； （2）根据负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质计算． 【解答】解：（1）原式2（8+43） ＝4+211﹣4 ＝﹣7﹣2； （2）原式＝4﹣1×1﹣4+5 ＝4﹣1﹣4+5 ＝4． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 12.已知：，，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2﹣3ab+b2． 【分析】（1）先求出，a﹣b＝，再由a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）进行计算求解即可； （2）先求出，ab＝-13，再由a2﹣3ab+b2＝（a+b）2﹣5ab进行计算求解即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴a2﹣3ab+b2 ＝（a2+2ab+b2）﹣5ab ＝（a+b）2﹣5ab ＝85． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，能利用公式是解题的关键． 13.阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵3+21+2+212+（）2+2×1（1）2 ∴1； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： （1）； （2）． 【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案； （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． 【解答】解：（1）∵5+23+2+2 ＝（）2+（）2+2 ＝（）2， ∴； （2）∵7﹣44+3﹣422+（）2﹣2×2 ＝（2）2， ∴2． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键． 14. 【阅读理解】 爱思考的小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵，． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　　 ； （2）计算：； （3）若a，求a2﹣4a+5的值． 【分析】（1）将分子和分母同时乘以，再整理计算即可； （2）先将每个式子进行分母有理化，可将所求式子化为11，从而可以得解； （3）由题意得a＝2，则a﹣2，可得（a﹣2）2＝3，进而可得a2﹣4a＝﹣1，再根据a2﹣4a+5＝（a2﹣4a）+5＝﹣1+5＝4，从而可以得解． 【解答】解：（1）由题意得，． 故答案为：； （2）由题意得，原式 1 1． 故答案为：1； （3）由题意，a2， ∴a﹣2． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴a2﹣4a+5＝（a2﹣4a）+5＝﹣1+5＝4． 【点评】本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 15. 定义：形如“mn”的数称为“族数”（其中m，n为有理数，n≠0），并规定：两个“族数”之间可以进行“+，﹣，×，÷”等运算，运算法则符合二次根式的相关要求． 根据上述材料，解答下列问题： （1）在2和中，属于“族数”的是　2　 ； （2）已知A＝4b，B＝4b（其中b为有理数，b≠0）均为“族数”，判断是否为“族数”，并说明理由． 【分析】（1）将各式化简后进行判断即可； （2）根据题意计算后进行判断即可． 【解答】解：（1）22+2，它是“族数”， 不是“族数”， 故答案为：2； （2）是“族数”，理由如下： 已知A＝4b，B＝4b（其中b为有理数，b≠0）均为“族数”， 则 ＝0•， ∵b为有理数，b≠0， ∴为有理数， ∴是“族数”． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 16. 在学习二次根式的性质时，知道，利用这个性质我们可以求的值． 解：设，两边平方，； ∴； ； ∴，∵x＞0，∴； ∴； 请利用以上方法，解决下列问题： （1）求； （2）若，求n的值． 【分析】（1）设x，运用平方计算求出，根据x＞0求出结果即可； （2）两边平方后整理得，再平方解无理方程得到结果． 【解答】解：（1）设x， 两边平方得，x2， ∴， ∴， ∵x＞0， ∴， ∴， （2）∵， 两边平方，， 即92932， ∴7， 所以81﹣n＝49， 解得n＝32． 【点评】本题考查二次根式的性质，应用二次根式的性质计算是解题的关键． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $