山东省济宁市汶上圣泽中学2027届高三第一次月考数学试题

汶上圣泽中学高三第一次月考数学试题 （范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则集合中元素的个数为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 2．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．记，则（    ） A． B． C． D． 5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 6．若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是(   ) A． B． C． D． 7．已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设奇函数的定义域为，且满足：（1）；（2）当时，，则下列说法不正确的是（    ） A．的图象存在对称轴 B． C．当时， D．方程有四个实数根 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．若函数为奇函数，则 B．函数恒过定点 C．若函数，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 10．已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．已知函数，则（    ） A．有三个零点 B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．曲线有三条过点的切线 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是偶函数，且，当时，，则等于____. 13．已知直线过函数图象的定点，则最小值为______ 14．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 16．已知函数，函数． (1)求函数的值域； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 17.已知函数. (1)当，时，求的极值； (2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 18．已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)当时，讨论函数的极值; 19．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 汶数学参考答案 1.【答案】C【详解】若，则；若，则；若，则； 若，则；若，则； 所以，共个元素. 2【答案】D【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 3．【答案】A【详解】由可得， 因为“”“”，且“”“”， 故“”是“”的充分不必要条件. 4．答案C【解析】，，， 又，所以. 5．【答案】B【分析】先求出半衰期，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. 6．【答案】A【分析】将函数存在减区间的问题转化为导数小于0的存在性问题，通过分离参数法，结合反比例函数的值域求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，求导得.函数在区间上存在减区间， 等价于存在，使得成立，即在上有解.当时，， 故，即实数的取值范围是. 7．答案A【解析】因在上单调递增，故，若，则在上单调递减，因，故，此时不满足值域为； 若，则在上单调递增，因，故，若值域为，则，即，综上，实数a的取值范围是. 8．答案】D【分析】根据给定条件，求出对称轴判断A；确定函数的周期并求出函数值判断B；结合周期性求出指定区间上的解析式判断C；将方程根的个数转化为直线与函数图象的交点个数求解判断D. 【详解】对于A，由，得直线是的图象对称轴，A正确； 对于B，由函数是奇函数，得，则4是函数的一个周期， 而当时，，因此，B正确； 对于C，当时，，则， 因此当时，，，C正确； 对于D，方程，于是方程的实根个数 即为函数的图象与直线的交点个数， 由是奇函数，得当时，，当时，， 则，又函数的一个周期为4， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 观察图象知，函数的图象与直线有五个交点， 即方程有五个实数根，D错误. 9.答案：BD【解析】对于A，若，则函数为奇函数，但无意义，A错误， 对于B，函数，所以函数恒过定点,B正确， 对于C，令，又，则即， 则函数，即，C错误， 对于D，由题意知且，可得，则函数的定义域为,D正确. 10．【答案】AC【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得，即A正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误. 【详解】由题意可知，则，对于A，所以且，故A正确， 对于B，， 故B错误； 对于C，不等式，故C正确； 对于D，不等式，又， 可得，所以或，故D错误. 11．【答案】BC【分析】利用导数研究的单调性、极值及零点存在定理可判断A；利用极值点的定义可判断B，利用奇函数的性质及图象平移可判断C；利用导数几何意义求解可判断D． 【详解】对于B，由题，令，得或；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以是极值点，故B正确； 对于A，由B可知的极大值，极小值，因为在单调递增，且， 所以函数在定义域上有且仅有两个零点，故A错误； 对于C，令，该函数的定义域为， 则是奇函数，是的对称中心，将的图象向下移动个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，设切点为，则切线的斜率为， 切线的方程为， 代入，可得， 整理得，即即 解方程得：或 则过点的切线方程有两条，D错误． 12.【答案】【详解】因为， 所以函数的周期为， 又因为当时，，且是偶函数， 所以. 13．答案：【解析】函数的定点为，故直线满足（）. 将化为，则 . 由基本不等式，，当且仅当即时取等号. 结合，解得，，此时. 所以最小值为. 故答案为： 14．【答案】 【分析】由题意得出，由此得出，于是得出，然后对实数的取值进行分类讨论，结合极大值点的定义进行验证即可. 【详解】因为，所以， 由题知，则，令可得或. 若，即当时，由可得或，由可得， 此时，函数在、上单调递增，在上单调递减， 此时，函数在处取得极小值，不合乎题意； 若，即当，则对任意的恒成立， 此时，函数在上单调递增，无极值点； 若，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数在、上单调递增，在上单调递减， 此时，函数在处取得极大值，合乎题意.故实数的取值范围是. 15．【答案】(1)(2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由中对应项系数相等可得；（2）由已知得的关系，不等式化简后，根据的大小分类讨论． 【详解】（1）当时，，， 得，； （2），，，由可得， 整理并代入得，即， 已知，若，即时，或， 若，即时，， 若，即时，或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16．【解析】（1）由，化简可得 ． ， 因为，所以，即的值域为. （2）因为不等式对任意实数恒成立，所以． 令，因为，所以， 设， 结合二次函数性质可得，即，则. 所以，即，即， 所以，解得，所以实数的取值范围为． 17.【答案】(1)极大值为，极小值为(2) 【详解】（1）当时，则， 其定义域为，且， 令，解得或；令，解得， 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为. （2）若，则的定义域为，且， 当时，则，可知函数在上单调递增，所以函数无最大值，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减，则函数的最大值为， 因为的最大值小于，即，可得， 设，，可知在上单调递增， 且，由不等式可得， 所以的取值范围为 .18．【详解】（1）, 令，得，注意， 当，即时，令得，函数单调递增，令得，函数单调递减； 当，即时，令得，函数单调递增，令得或，函数单调递减； 当，即时，令得，函数单调递增， 令得或，函数单调递减； 当，即时，恒成立，函数单调递减； 综上所述： 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递减； （2）若，由（1）得 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减， 的极小值为， 极大值为， 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 的极小值为， 极大值为， 当时，函数在上单调递减，无极值. 19【答案】(1)(2)要证，即证．又，即证．设，， 所以在上单调递增．所以．所以(3)． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）通过构造函数，利用导数求出在时的最小值即可；（3）由函数在上是增函数，可得，构造，利用导数求出的单调性即可. 【详解】（1）因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）略. （3）因为，所以当时，且，即，所以在上是增函数， 因为，， 若对恒成立，则， 设，， ①时，显然，所以在单调递增， 当时，，所以对任意有，即，所以符合题意． ②当时，显然，． ↘ 极小值 ↗ 由上表知，． 依题意，所以． 综上可知的取值范围为． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $