18.5分式方程（分层作业，25大题型）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 18.5 分式方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 分式方程的定义 题型02 解分式方程 题型03 判断分式方程 题型04 分式方程的应用 B组 能力进阶 题型01 根据分式方程解的情况求值 题型02 分式方程的行程问题 题型03 分式方程的工程问题 题型04 分式方程的销售问题 题型05 分式方程的其他实际问题 题型06 由分式方程解的值的求参数 题型07 换元法解分式方程 题型08 根据分式方程的解求值或求范围 题型09 经济问题 题型10 古文问题 题型11 素材问题 题型12 图形问题 题型13 和差倍分问题 题型14 方案设计问题 C组 思维拔高 题型01 分式方程无解问题 题型02 由分式方程无/有解求参数 题型03 由分式方程的整数解求参数 题型04 由分式方程解的取值范围求参数 题型05 分式方程的规律探索题 题型06 分式方程的新定义题 题型07 分式方程的增根与无解 分式方程的定义题型01 1．在方程中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义，可得答案． 【详解】中分母中不含未知数，故不是分式方程； 是分式方程，共2个． 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的定义，分母中含有字母的方程是分式方程． 2．（24-25八年级下·上海·期中）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是分式方程； B、它不是分式方程； C、它是分式方程； D、它不是分式方程． 故选：C 3．在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的定义，分母中含有未知数的方程即为分式方程．逐一分析各方程分母是否含未知数即可判断． 【详解】解：方程①：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 方程②：，无分母，为整式二次方程，不是分式方程． 方程③：，分母为常数3和2，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程． 方程④：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 综上，分式方程为①和④， 故选：D． 4．下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）：_____． 【答案】⑤ 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，是解此题的关键． 【详解】解：方程①、②、③、④的分母中都不含未知数，不是分式方程，⑤的分母中含有未知数，是分式方程， 所以分式方程有⑤． 故答案为：⑤． 5．下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、不含有分式，不是分式方程，不符合题意； B、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； C、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； D、分母中含有x，是关于x的分式方程，符合题意． 故选：D． 解分式方程题型02 1．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的方法，掌握分式的性质，去分母的方法是解题的关键． 【详解】解：， 整理得， 等式两边同时乘以去分母得，， 整理得，， 故选：C ． 2．方程的解是____． 【答案】 【分析】观察可得方程最简公分母为，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，具体方法是方程两边同时乘以最简公分母，在此过程中有可能会产生增根，增根是转化后整式的根，不是原方程的根，因此要注意检验． 【详解】解： 方程两边同乘得： ， 整理、解得． 检验：把代入． ∴是原方程的解， 故答案为． 3．解方程：． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母，得 ． 解得． 经检验，是原方程的解． 所以原方程的解是． 【点睛】本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验． 4．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 去分母，得， 解得：， 检验：当时，， 原分式方程无解； （2） 去分母，得， 解得：， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 5．（2025·广西·模拟）对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：方程两边同乘，得，        第一步 ，         第二步 ．        第三步 检验，当时，， 所以，是分式方程的解．          第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2) 解： 方程两边同乘，得， ∴， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）第一步去分母时方程右边的1没有乘以公分母，据此可得答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，从第一步开始出现错误，错误原因是去分母时方程右边的1没有乘以公分母； （2）略 判断分式方程题型03 1．（24-25七年级·上海·月考）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的识别，解题的关键是掌握分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程，注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．据此解答即可 【详解】解：A．是一元一次方程，故此选项不符合题意； B．是分式方程，故此选项符合题意； C．是一元一次方程，故此选项不符合题意； D．是代数式，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．下列方程中，是分式方程的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式方程定义分析即可． 【详解】解：A.是分式方程，符合题意； B.是一元二次方程，不是分式方程； C. 是一元一次方程，不是分式方程； D. 是二元一次方程，不是分式方程； 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫做分式方程），掌握分式方程的定义是解题的关键． 3．已知下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，解决本题的关键是熟练掌握分式方程的定义． 【详解】解：①的分母为常数，为整式方程； ②的分母含有未知数，是分式方程； ③的分母均含未知数，是分式方程； ④的分母中为常数，为整式方程． 故其中是分式方程的是②③． 4．下列关于的方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程，来进行判断． 【详解】解：A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程； B、方程分母中不含未知数，故不是分式方程； C、方程分母中不含表示未知数的字母，是常数； D、方程分母中含未知数，故是分式方程． 故选：D. 【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握判断分母是否含未知数是解题的关键. 5．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是________．（请填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】该题考查了分式方程的定义，分式方程是指分母中含有未知数的方程．判断时需满足两个条件：一是方程为等式，二是分母中含有未知数． 【详解】解：方程①的分母中含未知数，故是分式方程；②不是方程，故不是分式方程；方程③的分母是常数，不含未知数，故不是分式方程；方程④的分母中含未知数，故是分式方程． 故答案为：①④． 分式方程的应用题型04 1．下列分式方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可． 【详解】当时， A． 中，左边，右边，A不符合题意； B．中，，分母等于0，分式无意义，B不符合题意； C． 中，左边右边，C符合题意； D． 中，分母，D不符合题意． 故答案是：C 【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为0的情况． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．图书管理员用3600元购买若干套“四大名著”后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，因此又用2400元购买了第二批该套书，此时正赶上图书城八折优惠，于是第二批购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据第二批购买的套数只比第一批少4套，列出方程即可． 【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为元， 由题意，得：； 故选B． 3．在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示．设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据信息，下列所列方程（组）中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据大巴租金比中巴贵180元/辆，可得，根据7200元全部租用中巴比全部租用大巴多2辆，即可得出分式方程． 【详解】解：∵大巴租金比中巴贵180元/辆， ∴， ∵7200元全部租用中巴比全部租用大巴多2辆， ∴． 4．（2025·山西怀仁·模拟）某校根据实际需要购置一批光学显微镜，已知在实体店购买这种显微镜比网上购买每台价格多81元，用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台．设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则可列方程为______． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的应用，由解题的关键读懂题意列出分式方程，设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则在实体店购买这种显微镜的价格为元，根据用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台列出方程即可． 【详解】解：设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则在实体店购买这种显微镜的价格为元， 由题意得：， 故答案为：． 5．解下列分式方程 (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解． （1）先去分母，化为一元一次方程求解，再检验即可； （2）先去分母，化为一元一次方程求解，再检验即可． 【详解】（1）解： ， 解得：， 经检验：是方程的增根， ∴原方程无解； （2）解：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为． 根据分式方程解的情况求值题型01 1．若是方程的根，则m的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题关键．将代入分式方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 解得， 故选：B． 2．（25-26八年级上·湖南·期中）已知是分式方程的解，那么的值为（        ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是分式方程的解的含义，将代入分式方程，直接求解m的值. 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴ ， 即， ∴ ， 移项得： ， ∴. 故选：C 3．若分式方程的解是，则________． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，将1代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， 由分式方程的解为， 代入整式方程得：， 解得：， 故答案为：． 4．已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为_________． 【答案】且 【分析】求出分式方程的解，得出，求出的范围，根据分式方程得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：， 解方程得：， 关于的方程的解是负数， ， 解得：， 又原方程有意义的条件为：， ， 解得：， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出和，注意题目中的隐含条件，不要忽略． 5．当为何值时，关于的方程的解小于零． 【答案】且． 【分析】本题考查了分式方程的解，要注意分式方程的解不能使最简公分母等于0．方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，求解，再根据解小于0列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：方程两边都乘以去分母得， ， 整理得，， 解得， 方程的解小于零， 且， 解得且． 分式方程的行程问题题型02 1．（25-26八年级上·期末）“忆峥嵘”的红色之旅——追寻红色足迹，回望烽火岁月、集宁战役纪念馆位于内蒙古自治区乌兰察布市集宁区，它是内蒙古最大、影响力最强的红色旅游景区，也是国家级国防教育示范基地．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生前往距离学校的集宁战役纪念馆参观．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘坐汽车出发，结果他们同时到达．假设汽车行驶的速度和骑自行车速度均保持不变，汽车行驶的速度是骑自行车的速度的4倍，设骑自行车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设骑自行车的速度为，则汽车行驶的速度为，根据题意可知乘车的时间比骑自行车的时间少列方程即可． 【详解】解：设骑自行车的速度为，则汽车行驶的速度为， 由题意得，． 故选A． 2．甲、乙两人同时从 A地出发，步行 15km 到 B地，甲比乙每小时多走 1km，结果甲比乙早到半小时，两人每小时各走几千米？设甲每小时走 x km，则可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设甲每小时走xkm，则乙每小时走（x-1）km，根据时间=路程÷速度结合甲比乙早到半小时，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】设甲每小时走xkm，则乙每小时走（x-1）km， 依题意，得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．甲、乙两个转盘同时转动，甲转动270圈时，乙恰好转了330圈，已知两个转盘每分钟共转3000圈，设甲每分钟转x圈，则列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲每分钟转x圈，则乙每分钟转圈，根据“甲、乙两个转盘同时转动，甲转动270圈时，乙恰好转了330圈”列分式方程即可． 【详解】解：设甲每分钟转x圈，则乙每分钟转圈，由题意可得， ， 故选：D 【点睛】此题考查了列分式方程解应用题，找出等量关系是解题的关键． 4．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小敏通过AB时的速度．设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程为_____． 【答案】 【分析】设小敏通过AB时的速度是x米/秒，则通过BC的速度是1.2x米/秒，根据题意列出分式方程解答即可． 【详解】解：设小敏通过AB时的速度是x米/秒， 依题意可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 5．（25-26八年级·期末）广东绿道建设起步早、历时长、成效快，现已形成了遍布南粤大地的绿道网络，将居民点、自然与人文景观、生态保护地串联为一体．小张和小李相约到某体育休闲公园的环湖绿道上匀速骑行，已知环湖绿道全长6600米，小张的速度是小李的速度的1.2倍． (1)若两人同时出发，背向而行，经过12分钟后两人相遇，则小李每分钟骑行多少米？ (2)若两人同时出发，同向而行，结果小张比小李早了4分钟回到起点，则小李每分钟骑行多少米？ 【答案】(1)250米 (2)275米 【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意找到等量关系列出方程求解． （1）设小李每分钟骑行x米，则小张每分钟骑行米，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设小李每分钟骑行a米，则小张每分钟骑行米，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设小李每分钟骑行x米，则小张每分钟骑行米． 根据题意，得， 解得． 答：小李每分钟骑行250米． （2）解：设小李每分钟骑行a米，则小张每分钟骑行米． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：小李每分钟骑行275米． 分式方程的工程问题题型03 1．施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米? 设实际每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，理解题意并找到等量关系列出方程是关键；由题意得原计划每天施工米，根据等量关系：按原计划施工速度所需的天数按实际施工速度所需天数，列出方程即可． 【详解】解：由实际每天施工x米，则原计划每天施工米， 由题意，得：， 故选：D． 2．某人生产一种零件，计划在30天内完成，若每天多生产6个，则25天完成且还多生产10个，问原计划每天生产多少个零件？设原计划每天生产个，列方程式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．设原计划每天生产x个零件，先求出实际25天完成的个数，再求出实际的工作效率，最后依据工作时间工作总量工作效率解答． 【详解】解：由题意可得列方程式是：． 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海·月考）甲、乙两队学生绿化校园，两队合作6天可以完成，若单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作，各需多少天？如果设甲队单独工作需要天，那么根据题意列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解决本题的关键． 由题意得乙队需天，根据工作总量为1，甲效率为，乙效率为，则合作效率之和为，合作6天完成，列方程即可． 【详解】解：由题意得，甲效率为， ∵甲比乙少用5天， ∴乙队单独工作需天， ∴乙效率为， ∴两队合作效率为， 由题意可得，． 故选：C． 4．（24-25七年级上·上海·期末）甲安装队为A小区安装78台空调，乙安装队为B小区安装65台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装3台，若设乙队每天安装x台，则根据题意可列方程____________________．（无需解方程） 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙队每天安装x台，则甲队每天安装台，根据两队同时开工且恰好同时完工，列出分式方程即可． 【详解】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装台， 由题意得：， 故答案为：． 5．如图，“主收1号”小麦的试验田是边长为am(a＞1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a﹣1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg. (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的(kg)倍，求a的值 (3)利用(2)中所求的a的值，分解因式x2﹣ax﹣108＝_____.    【答案】(1)丰收2号”单位面积产量高；(2)a＝3；(3)(x﹣12)(x+9). 【分析】（1）因为总产量相等，所以面积小的试验田，其单位面积产量就高，分别求出“主收1号”和“丰收2号”的面积，并比较大小，即可得； （2）根据题（1）的结果和题意列出等式，求解即可； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可得. 【详解】（1）由题意得：“主收1号”单位面积产量为，“丰收2号”单位面积产量为 又 故“丰收2号”的单位面积产量高； （2）由题意，结合题（1）结果可得： 解得： 经检验，是分式方程的解，并符合题意 答：a的值为3； （3）由题（2）得： （十字相乘法）. 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用、分式方程的解法、以及利用十字相乘法分解因式，根据题意列出分式方程是解题关键. 分式方程的销售问题题型04 1．（25-26八年级·质检）在“双十一”活动中，甲、乙两家电商共销售同款小商品100件．已知两家销售数量不同，但销售额相同．若将两家销售数量互换，则甲电商销售额变为1800元，乙电商销售额变为800元．问：甲、乙两家电商各自销售了多少件小商品？设甲电商销售x件小商品，根据题意列出方程，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列分式方程， 设甲电商销售x件，乙电商销售件，根据原销售额相同和互换后销售额变化，列出方程并代入推导． 【详解】解：设甲电商销售x件，乙电商销售件，根据互换后的销售额可得甲的单价为元，乙的单价为元，由原销售额相同，得 = ． 故选：C． 2．开学之际，学校需采购部分课桌，现有A，B两个商家供货，A商家每张课桌的售价比B商家优惠20元，若该校花费1500元在A商家购买课桌的数量与花费2500元在B商家购买课桌的数量一样多，设A商家每张课桌的售价为x元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】设A商家每张课桌的售价为x元，则B商家每张课桌的售价为元，由题意：该校花费1500元在A商家购买课桌的数量与花费2500元在B商家购买课桌的数量一样多，列出分式方程即可． 【详解】解：设A商家每张课桌的售价为x元，则B商家每张课桌的售价为元， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品，请你根据下面的信息，回答下列问题． 信息：已知每个灯笼的进价比每副春联的进价多元． 信息：超市用元购进的灯笼数量和用元购进的春联数量相同． (1)求每个灯笼和每副春联的进价． (2)若超市准备用不超过元的资金再购进这两种春联和灯笼共个副，最多能购进灯笼多少个？ 【答案】(1)每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元 (2)个 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设每副春联的进价是元，则每个灯笼的进价是元，根据等量关系列分式方程，解方程即可； （2）设购进灯笼个，则购进春联副，根据题意列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设每副春联的进价是元，则每个灯笼的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元； （2）解：设购进灯笼个，则购进春联副， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：最多能购进灯笼个． 4．（2025·山西太原·二模）年低空经济的核心产业飞行器和燃油直升机对比调查发现飞行器平均每公里航程能源成本是燃油直升机的倍，且飞行器充电费元比燃油直升机燃油费元飞行航程多公里，那么飞行器平均每公里航程的能源成本为多少元？ 【答案】元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，首先设燃油直升机平均每公里航程的飞行成本为元，则飞行器平均每公里航程的能源成本为元，根据飞行器充电费元比燃油直升机燃油费元飞行航程多公里，列分式方程求解即可． 【详解】解：设燃油直升机平均每公里航程的飞行成本为元，则飞行器平均每公里航程的能源成本为元， 根据题意可得：， 解方程得：， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：飞行器平均每公里航程的能源成本为元． 5．长白山是吉林省的著名旅游景点，近年来旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同，每件款文创产品进价比款文创产品进价多元．求两款文创产品每件的进价各是多少元？ 【答案】款文创产品每件的进价元，款文创产品每件的进价是元． 【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用，正确理解题意，列出分式方程是解题的关键． 根据“用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同”这一关系，设出未知数，列出分式方程并求解． 【详解】解：设款文创产品每件的进价元，款文创产品每件的进价是元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴（元）． 答∶款文创产品每件的进价80元，则款文创产品每件的进价是65元． 分式方程的其他实际问题题型05 1．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在物理学中，压强等于物体所受压力的大小与受力面积之比，即．两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考要了分式方程的应用，根据压强公式，结合题目中压强之比为的条件，建立分式方程求解． 【详解】解：铁块A的重量为50N，底面积为，对桌面的压强为， 铁块B的重量为100N，底面积为，对桌面的压强为， 由题意知，即， 代入压强表达式得：， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级·期末）为估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捕捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘．经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从中多次捕捞，并算得平均每200条鱼中带有标记的鱼有5条．试估计该鱼塘中鱼的数量约为（  ） A．800条 B．1200条 C．1500条 D．3000条 【答案】B 【分析】本题考查了用样本估计总体、分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 利用标记重捕法的比例关系，标记鱼在总体中的比例等于在样本中的比例，建立方程求解即可． 【详解】解：设鱼塘中鱼的总数量为条， 根据题意，得， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴估计鱼塘中鱼的数量约为1200条． 故选：B． 3．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距蜡烛到凸透镜中心的距离、像距像到凸透镜中心的距离和凸透镜的焦距满足关系，若，，则该凸透镜的焦距 _______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用．把代入得到，解分式方程即可． 【详解】解：把代入得：， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 故答案为：． 4．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是 ________米． 【答案】## 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意列出方程，求解方程即可． 【详解】解：设边衬的宽度是米，则整幅图画宽为米，整幅图画长为米，根据整幅图画宽与长的比是，得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 边衬的宽度是米． 故答案为：． 5．现有两块面积相同的小麦试验田，第一块种植原品种，第二块种植新品种，结果分别收获小麦12000kg和14000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，求第一块试验田每公顷的产量． 【答案】9000kg 【分析】设第一块试验田每公顷产量xkg，则第二块试验田每公顷产量，根据有两块面积相同的小麦试验田，以试验田的面积做为等量关系，列方程求解． 【详解】解：设第一块试验田每公顷产量xkg，则第二块试验田每公顷产量． 依题意， 得， 解得， 检验：当时，， 所以是方程的解， 故：第一块试验田每公顷产量9000kg． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 由分式方程解的值的求参数题型06 1．若关于x的分式方程的解为2，则m的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考出了分式方程的解、解分式方程等知识点，掌握方程的解使方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程可得，然后解关于m的分式方程即可． 【详解】解：将代入方程可得，即， ， ， 经检验，是分式方程的解， 所以m的值为2． 故选D． 2．（25-26八年级上·期末）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于k的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定k的范围． 【详解】解：， ， 解得， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， ∵， ∴， 即， 解得， ∵时，不可能取， ∴； 故选：A． 3．如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和分式方程的解法，解不等式组可得，解分式方程可得，再结合已知不等式组和分式方程解的情况即可求解． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 由不等式组有且只有两个奇数解，得到， 解得：， 即整数，3，4，5，6，7，8，9， 分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程解为非负整数， 得到，6，8，之和为16， 故选：B． 4．（25-26八年级·期末）已知关于x的方程的解为，则m的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，掌握方程的解的意义是解题的关键． 将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， 故答案为：． 5．已知关于x的方程． (1)当此方程的解为时，求k的值； (2)当此方程会产生增根时，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的解，分式方程的增根， （1）先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得，再结合得出方程，求出解即可； （2）当时原方程有增根，可得方程，求出解即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 因为，所以． 当此方程的解为时，，解得； （2）当此方程会产生增根时，， 即， 所以， 解得． 换元法解分式方程题型07 1．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程， 根据，可得，即可得出答案 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程可化为. 故选：C 2．用换元法解方程，设，则得到关于y的整式方程为___． 【答案】 【分析】把用y代入后，整理即可得整式方程． 【详解】原方程可化为：， 方程两边乘2y，并整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的特殊解法：换元法，根据题目特点合理引入新的未知数是换元法的特点，从而把复杂的算式或方程转化为简单的算式或方程，利用问题的解决． 3．某中学假期后勤中的一项工作是请名木工制作把椅子和张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作把椅子或张课桌，将这名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配_______________________人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短． 【答案】 【分析】设制作课桌的工人为名，则制作椅子的工人有名，分别表示出制作椅子和课桌所需要的时间，列出分式方程求解． 【详解】解：设制作课桌的工人为名，则制作椅子的工人有名， 则制作把椅子所需时间， 制作张课桌所用的时间为， 令， 当值最小时，表示工人分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短， 当时，即， 解得不符合实际， 当时，， 当时，， 即当时，完成此项工作时间最短． 故答案是：13． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找出等量关系列出分式方程求解． 根据分式方程的解求值或求范围题型08 1．（2025·海南·联考）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：； 经检验是原方程的解， 故选C． 2．方程 的解为 ______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， ∴是原方程的解， 故答案为：． 3．方程的解为______ 【答案】 【分析】本题考查分式方程，掌握分式方程的解题步骤是解题的关键． 根据解分式方程的步骤，方程两边同乘以，将分式方程化为一元一次方程，求出x的值，最后检验是否符合原方程即可． 【详解】解：， 两边同乘以，得 ， ， ， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：． 4．当_____时，关于的分式方程的解为正数． 【答案】且 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解分式方程，先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据“解是正数”建立不等式，求的取值范围即可，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解： ， ， ∴， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴，解得：， ∵且 ∴且， 综上可知：且， 故答案为：且． 5．（25-26八年级上·湖南永州·期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 (1)理解应用：方程 的解为： (2)知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； (3)拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 【答案】(1)3； (2) (3)12 【分析】（1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为． 【详解】（1）解：∵关于x的方程 的解为 ， ∴的解为或， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：可化为， ∵方程的解为， 则有或， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握题干知识，求分式方程的解，完全平方公式变形求值，整体代入法求代数式求值，是解题的关键． 经济问题题型09 1．（25-26八年级上·上海·期末）小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为，根据题意，为求解，以下列出的方程中正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】理财产品的收益率x为年化收益率，返还金额为未来值，需折现为现值后与本金相等． 本题考查了收益率，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 返还金额5110元和5250元分别发生在1年后和2年后，其现值需用折现， ∴ 1年后返还的现值为，2年后返还的现值为，现值之和应等于本金10000元， ∴ ， 故选：D． 2．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键． 由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 3．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》读本若干套，其中每套《西游记》读本的价格比每套《三国演义》读本的价格多40元，用3200元购买《三国演义》读本的套数是用2400元购买《西游记》读本套数的2倍，则每套《三国演义》读本的价格是______元． 【答案】80 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；设每套《三国演义》读本的价格是x元，则每套《西游记》读本的价格为元，由题意易得，进而求解即可． 【详解】解：设每套《三国演义》读本的价格是x元，则每套《西游记》读本的价格为元，由题意得： ， 解得：； 经检验：是原方程的解； ∴每套《三国演义》读本的价格是80元； 故答案为80． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了“数学迷宫”活动，购买了一批羽毛球拍和乒乓球拍作为奖品．通过电话询问文具店了解到羽毛球拍的单价比乒乓球拍贵，且花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副，则羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为多少？ 【答案】羽毛球单价为80元，乒乓球单价为50元 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．设乒乓球拍的单价为元，则羽毛球拍的单价为元，根据“花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副”列方程求解即可． 【详解】解：设乒乓球拍的单价为元，则羽毛球拍的单价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合实际， 元， 答：羽毛球单价为80元，乒乓球单价为50元． 5．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 其中，燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，如果燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，且金师傅平均每年都能行驶5100千米．为了节省开支，哪款国产车更适合金师傅，请通过计算说明．（年费用＝年行驶费用＋年其它费用） 【答案】 解：新能源车的每千米行驶费用为元， 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 燃油车：元/千米，元， 新能源：元/千米，元， ∵， ∴选择新能源． 【分析】根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元建立方程，解方程可得的值，据此计算比较即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确建立方程是解题关键． 古文问题题型10 1．《九章算术》中记载了一道题，大意是：兔子和狗在同一起点，兔子先出发100步，然后狗出发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗和兔子都不停的话，狗再跑多少步可以追到兔子？若设狗再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列方程，审清题意、找到等量关系成为解题的关键． 根据题意可得狗与兔子的速度比为，设狗再跑x步可追上兔子，此时兔子跑的步数为步，据此列出方程即可解答． 【详解】解：根据题意列方程为，即． 故选A． 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）《九章算术》中一道关于古代驿站送信的题目，译文：一份文件，若用慢马送到1000里远的地方，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得，． 故选：A． 3．我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？” 设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，设6210元购买椽的数量为x株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210文能买x株椽，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：C． 4．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列出的分式方程为______． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 5．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 【答案】规定时间为8天 【分析】此题考查了分式方程的应用，设规定时间为x天，快马速度是慢马速度的2倍，据此列分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设规定时间为x天， 由题意得：， 解得，经检验是所列方程的根，且符合题意 答：规定时间为8天． 素材问题题型11 1．根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）． 任务1：若，求10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价． 任务2：在任务1的前提下，商店要使什锦糖的价格降低1元，则需加入哪一种糖，多少千克？ 任务3：现有甲、乙两种什锦糖，均由A、B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的A，B两种糖果混合而成；乙种什锦糖由相同总价的A，B两种糖果混合而成，请选择合适的方法比较甲、乙两种什锦糖哪一种什锦糖的单价较高？ 【答案】（1）10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为27元/千克；（2）加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元；（3）当时，甲种糖果的价格高，当时，两种糖果的价格一样 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系和作差法是解题的关键． 任务1：根据素材计算； 任务2：根据“什锦糖的价格降低1元”列方程求解； 任务3：根据作差法求解． 【详解】解：任务1：（元/千克）， 答：10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为27元/千克； 任务2：若加A种糖x千克，则有： ， 解得：， 经检验：是这个方程的解； 若加B种y千克，则有： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，当时不合题意，舍去； 答：加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元； （3）甲糖的价格为：， 乙糖果的价格为：， ∴，只有当时取等号， ∴当时，甲种糖果的价格高，当时，两种糖果的价格一样． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）随着新能源汽车普及，某小区和某商场均配备了充电桩．小区新能源汽车充电桩收费标准按照“电费=充电量×电价”计费，表1为该小区充电桩不同时段的电价标准．商场新能源充电桩的收费标准按照“总费用=电费+服务费”计费，表2为该商场充电桩的收费标准，则“峰时”充10度电的总费用为： 表1： 项目 某小区新能源汽车分时电价方案 时段划分 峰时 17:00-22:00 平时 8:00-17:00 谷时 22:00-次日8:00 电价（元/度） a b 0.34 表2： 某商场新能源充电桩收费公示牌 收费时段 峰时 16:00-22:00 平时 10:00-16:00 谷时 22:00-次日10:00 电价（元/度） 0.56 c 服务费（元/度） 0.5 0.4 0.3 请根据以上素材解决下列问题： (1)小明爸爸第一天在小区“峰时”充了6度电，“平时”充了9度电，花费了7.8元；第二天在小区“峰时”充了12度电，“平时”充了15度电，花费了14.1元，求a，b的值； (2)小明爸爸发现在某商场充电时，“平时”花18元充电的度数与在“谷时”花14元充电的度数一样，求“谷时”的电价c为多少元/度？ (3)小明爸爸在小区“平时”充了m度电，又在某商场“平时”充了n度电，一共支付了20元．若充电的度数m、n均为正整数，则满足条件的m，n有几种情况？ 【答案】(1)， (2)“谷时”的电价c为元/度； (3)种 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）根据题意列出分式方程，据此求解即可； （3）根据题意列出二元一次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴，； （2）解：商场平时每度总费用：， 商场谷时每度总费用：， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“谷时”的电价c为元/度； （3）解：小区平时电费单价元/度，小区平时总支付：， 商场平时电价，服务费， 商场平时每度总费用元/度，商场平时总支付：， 总费用方程：， 整理得， ∵m、n均为正整数，， ∴， ∴，； ，； ，； ，； ∴满足条件的m，n有种情况． 图形问题题型12 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程即可； 【详解】解：由题意可知：装裱后的宽度（单位：米）为：， 装裱后的长度（单位：米）为：， ∵装裱后，整幅图画宽与长的比是， ∴， 故选：D 2．（2025·河南周口·一模）《百骏图》是中国十大传世名画之一，是意大利籍清代宫廷画家郎世宁的作品，其图共绘有100匹骏马，姿势各异，或立、或奔、或跪、或卧，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键． 根据装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 3．（25-26八年级·江苏镇江·月考）某AI公司租用云服务器进行模型训练，租用A、B两种型号的GPU实例（图形处理器）．A、B两种实例每小时的租用费用之和为100元，且两种实例的总租赁费用相同，均为12800元．已知“_________”，设A实例每小时的租用费用为元，则可列方程．根据此情境，题中“________”表示的缺失条件可以是（     ） A．A实例每小时的租赁费用是B实例每小时的租赁费用的两倍 B．B实例每小时的租赁费用是A实例每小时的租赁费用的两倍 C．A实例的租赁时间是B实例的租赁时间的两倍 D．B实例的租赁时间是A实例的租赁时间的两倍 【答案】C 【分析】先明确两个分式的实际意义，再根据给出的方程推导数量关系，即可得到缺失条件． 【详解】解：∵设A实例每小时的租赁费用为元，A、B两种实例每小时的租赁费用之和为100元， ∴B实例每小时的租赁费用为元 ∵两种实例的总租赁费用均为12800元， ∴表示A实例的租赁时间，表示B实例的租赁时间 已知方程为，即A实例的租赁时间是B实例租赁时间的两倍， 因此缺失条件为：A实例的租赁时间是B实例的租赁时间的两倍． 4．请阅读下面材料，并完成相应的任务．用“几何代数法”解分式方程． 《几何原本》中的“几何代数法”是指用几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据．在意大利数学家斐波那契（约1170—1250）编写的《计算之书》中频繁运用了这种方法．例如，运用面积关系将分式方程转化为整式方程，从而求解分式方程． 例：《计算之书》中记载了一道题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分硬币的人数．设第一次分硬币的人数为人，则可列方程为． 解：构造如图1所示的图形，，，矩形的面积为90，矩形的面积为120，则，．显然，． 根据图形可知． 所以．（将分式方程转化成了整式方程） 解得．         图1 答：第一次分硬币的人数为18人． 任务：      (1)   如图2，，，矩形和矩形的面积均为60，下列代数式可以表示边的是___________．（多选） A．    B．    C．    D． (2)如图3，，，矩形的面积为60，矩形的面积为20，，则可列方程为___________． (3)请仿照材料中的方法，通过构造图形，求分式方程的解． 【答案】(1)C、D (2) (3) 构造如图所示的图形， 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系列出表达式和分式方程是解题的关键． （1）根据题意表示出、，利用，即可解题； （2）根据列出分式方程即可． （3）根据分式方程构造图形，并根据图形的面积关系求解，即可解题． 【详解】（1）解：，，矩形和矩形的面积均为60， ，， ， 故选：C、D； （2）解：根据题意可列方程为：， 故答案为：； （3）解：，，， 矩形的面积为1，矩形的面积为2， 则，． 矩形中，，矩形中，， ． 根据图形可知． 所以．解得． 和差倍分问题题型13 1．为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召八年级同学自愿捐款．已知八（1）班同学捐款总额为1600元，八（2）班的同学捐款总额为1800元，八（2）班捐款人数比八（1）班多5人，而且两个班级人均捐款额恰好相等，如果设八（1）班捐款人数为x人，列出关于x的方程，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程，弄清题意、确定等量关系成为解题的关键 设八（1）班捐款人数为x人，则八（2）班捐款人数为人，利用“人均捐款额＝捐款总额÷捐款人数，结合两个班级人均捐款额恰好相等”，即可列出关于x的分式方程． 【详解】解：设八（1）班捐款人数为x人，则八（2）班捐款人数为人， 根据题意得：． 故选：A． 2．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为________． 【答案】5 【分析】本题考查了解一元一次方程组，解分式方程．熟练掌握解一元一次方程组，解分式方程是解题的关键． 解一元一次方程组可求得，，解分式方程可得，且，进而可得且，然后求满足要求的所有整数的值，最后求和即可． 【详解】解：， ， 解得，， ， 解得，， ∵不等式组的解集为， ∴，即， ， ， 解得，， 当时，是原分式方程的解， ∴， ∵关于y的分式方程有非负数解， ∴， 解得，， ∴且， ∴满足条件的所有整数a的和为， 故答案为：5． 3．（2026·宁夏吴忠·模拟）为绿化环境，某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵，列出分式方程即可. 【详解】解：设原计划人数为人，则实际人数为人，由题意， . 4．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设这个哨所共有名战士，第一次分苹果每人分得个，第二次分苹果每人分得个，根据第二次每人比第一次多分1个苹果，列出方程即可． 【详解】解：设这个哨所共有名战士， 第一次分苹果：剩余5个苹果，实际分发苹果数为：个，每人分得个， 第二次分苹果：还差6个苹果，需要苹果数为个，每人分得个， 由题意，第二次每人比第一次多分1个苹果，因此有， 故可列方程为：． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·山东泰安·期末）春节将至，某中学计划在期末考试后组织八九年级共青团员与社区居民共同举办一场联欢会，并向居民赠送手编小中国结．两个年级团员分别接到制作720个中国结的任务，八年级团员平均每人比九年级平均每人多编2个，九年级团员人数比八年级多．请你提出一个能用分式方程解决的问题并进行解答． 【答案】 解：提出问题1：求出八、九年级共青团员的人数？ 解决问题：设八年级团员有人，则九年级的团员有人， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：八年级的团员人数有60人，九年级的团员人数有72人； 或提出问题2：求出八、九年级团员人均编制小中国结数？ 解决问题：设九年级人均编制个，则八年级人均编制个， 根据题意得：． 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：八年级人均编制12个，九年级人均编制10个． 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确提出问题是解题的关键． 提出问题1：求出八、九年级共青团员的人数？则设八年级团员有人，则九年级的团员有人，根据八年级团员平均每人比九年级平均每人多编2个，列出方程求解即可． 或提出问题2：求出八、九年级团员人均编制小中国结数？则设九年级人均编制个，则八年级人均编制个，根据九年级团员人数比八年级多．列出方程求解即可． 【详解】略 方案设计问题题型14 1．（24-25九年级上·江西宜春·期末）项目学习方案： 项目情景 数学阅读有助于拓展同学们数学视野，培养逻辑思维，提升解决问题的能力．为了提高学生数学素养，我校图书馆拟购《古今数学思想》、《几何原本》等书籍供同学们阅读． 素材一 我校数学兴趣小组经过市场调查发现3000元可购买《古今数学思想》的数量比《几何原本》多40套，且《几何原本》的单价是《古今数学思想》单价的1.5倍． 任务一 根据题意，数学兴趣小组成员小刚设每套《古今数学思想》的价格为x元，由题意得方程：①　　　； 数学兴趣小组成员小明设②　　　，由题意得方程：． 素材二 数学兴趣小组成员小强发现自己单位时间内可完成m页《古今数学思想》的阅读或完成 页《几何原本》的阅读，并且阅读25页《古今数学思想》的所用时间与阅读10页《几何原本》所用时间相同． 任务二 求m的值． (1)任务一中横线①处应填　　　，横线②处应填　　　； (2)完成任务二． 【答案】(1)40，3000元可购买《古今数学思想》的数量是套. (2)5 【分析】 本题考查了分式方程的应用、由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）由《几何原本》及《古今数学思想》单价间的关系，可得出每套《几何原本》的价格为1.5x元，利用数量＝总价÷单价，结合3000元可购买《古今数学思想》的数量比《几何原本》多40套，可列出关于x的分式方程；利用单价＝总价÷数量，结合小明所列方程，即可找出y的含义； （2）利用读书时间＝读书总页数÷每天读书页数，结合阅读25页《古今数学思想》的所用时间与阅读10页《几何原本》所用时间相同，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1） 解：∵《几何原本》的单价是《古今数学思想》单价的1.5倍，且每套《古今数学思想》的价格为x元， ∴每套《几何原本》的价格为元， 又∵3000元可购买《古今数学思想》的数量比《几何原本》多40套， ∴可列出方程 ． ∵单价＝总价÷数量，结合小明所列方程为， ∴y表示3000元可购买《古今数学思想》的数量． 故答案为：，3000元可购买《古今数学思想》的数量套； （2） 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：m的值为5． 2．依据素材，解答问题． 方案设计 材料一 随着杭温高铁建设的顺利进行，我县正在迈向更加美好的明天．这一高铁项目的建成通车，将为我县居民带来更多便利和机遇，也必将成为当地发展的新引擎，为本地注入新的活力和动力． 材料二 某企业承接了为高铁建设配套的28000个集成套件的生产任务，计划安排给、两个车间共60人，合作20天完成．已知车间每人每天平均可以生产20个集成套件，车间每人每天平均以生产25个集成套件． 材料三 高铁建设项目指挥部要求企业提前完成生产任务，该企业计了两种方案： 方案1：车间改进生产方式，每个工人提高工作效率车间工作效率保持不变． 方案2：车间再到其他企业调配若干名与车间工作效率一样的工人，车间的工作效率保持不变． 问题解决 任务一 求A、B两个车间参与生产的集成套件的工人人数各是多少． 任务二 若材料三中设计的两种生产方案，企业完成生产任务的时间相同，求B车间需要到其他企业调配的工人数量． 【答案】任务一：A车间参与生产的工人有20人，车间参与生产的工人有40人；任务二：车间需要到其他企业调配8人． 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解题目中的数量关系，掌握一元一次方程，分式方程的运用是解题的关键． 任务一：设A车间参与生产的工人有人，则车间参与生产的工人有人，根据数量关系列方程求解即可； 任务二：设车间需要到其他企业调配a人，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：任务一：设A车间参与生产的工人有人，则车间参与生产的工人有人， 根据题意可列方程： 解得， 答：车间参与生产的工人有20人，车间参与生产的工人有40人； 任务二：设车间需要到其他企业调配a人，根据题意可列方程： ， 解得， 经检验，是该方程的解， 答：车间需要到其他企业调配8人． 分式方程无解问题题型01 1．分式方程的解为（    ） A．1 B．2 C．4 D．无解 【答案】D 【分析】方程两边都乘以x2-1得出整式方程2（x+1）=4，求出这个整式方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：方程两边都乘以x2-1得：2（x+1）=4， 解这个整式方程得：x=1， 检验：∵把x=1代入x2-1=0， ∴x=1是原方程的增根， 即原方程无解， 故选：D． 【点睛】本题考查了解分式方程，关键是能把分式方程转化成整式方程，注意一定要进行检验． 2．若关于x的分式方程无解，则m＝_____． 【答案】6，10 【分析】关键是理解方程无解即是分母为0，由此可得x=，再按此进行计算． 【详解】解：∵关于x的分式方程无解， ∴x=， 原方程去分母得：m（x+1）-5=（2x+1）（m-3） 解得：x=，m=6时，方程无解． 或是方程无解，此时m=10． 故答案为6，10． 【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 3．当______时，关于x的分式方程无解． 【答案】2 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣2＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解： 去分母得：1+2（x－2）＝m－1， 由分式方程无解，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程得：1+2（2－2）＝m－1， 解得：m＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 4．若关于的分式方程的无实数根，则实数的值是_______． 【答案】## 【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程无实数根可得分式方程有增根，由此可得，解方程即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的分式方程的无实数根， ∴分式方程有增根， ∴，即 ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，正确求出是解题的关键． 5．（24-25七年级上·上海·月考）求当为何值时，关于的方程无解． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程后，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：原方程去分母，得：， 整理，得：， 当整式方程无解时：； 当分式方程有增根时：或， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或． 由分式方程无/有解求参数题型02 1．若关于的分式方程的解是正数，且关于的不等式组有解，则满足上述要求的所有整数的和是（   ） A． B．9 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是根据分式方程解的情况和不等式组解的情况求参数的取值范围，掌握解分式方程、分式方程增根的定义和解不等式组是解决此题的关键． 先求出分式方程的解，根据分式方程的解为正数即可列出关于a的不等式，然后解不等式组，根据不等式组有解，再列出关于a的不等式，即可判断a可取的整数，最后求和即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是正数， ∴且， ∴且， ∴且， 解 得：， ∵不等式组有解， ∴， ∴， ∴且， ∴满足要求的所有整数的值为， ∴满足上述要求的所有整数的和是． 故选：D． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键． 先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 【详解】解： ∵原分式方程无解， ∴， 解得， 当时， ，该方程无解； 当时， ， ； ∴的取值为或2， 故选：C． 3．若关于y的不等式组有解，且关于x的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是_________． 【答案】 【分析】本题考查的是解分式方程、解一元一次不等式组，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 解出分式方程，根据题意确定的范围，解不等式组，根据题意确定m的范围，根据分式不为0的条件得到，根据题意计算即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理得，， 由题意得，，且， 解得，且， 解不等式组得，， 不等式组有解， ， 则且， 所有满足条件的整数m的值之和为：， 故答案为：． 4．已知关于的分式方程，若方程无解，求的值． 【答案】或或 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出的值；由分式方程无解求出的值，代入整式方程求出的值即可．此题考查了分式方程的无解问题，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键． 【详解】解：， 去分母得：， ， ， 由分式方程无解，得到，即或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，方程无解，此时分式方程无解，解得． 故的值是或或． 5．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1)1 (2) (3)3或 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值， （1）将分式方程转化为整式方程，把代入，求解即可； （2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的的值，代入，求解即可； （3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，增加整式方程无解，求解即可； 【详解】（1）解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵分式方程的根是， ∴， ∴； （2）由（1）将分式化为整式方程为：， ∵分式方程有增根， ∴或， ∴或， 当时，，解得：； 当时，无解，舍去； ∴； （3）由（1）将分式化为整式方程为：， 由（2）知，当时，分式方程有增根，无解； 当无解时，即时，分式方程也无解， ∴； 综上：或． 由分式方程的整数解求参数题型03 1．若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a之和是（    ） A．15 B．14 C．8 D．7 【答案】D 【分析】解不等式组，根据整数解的个数判断a的取值范围；解分式方程，用含a的式子表示y，检验增根的情况，再根据解的非负性，确定a的范围，然后根据方程的整数解，确定符合条件的整数a,相加即可. 【详解】 解不等式①，得x≤11 解不等式②，得x>a ∵不等式组至少有五个整数解 ∴a<7 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，a为整数 又∵为整数 ∴a可以取-1，3，5 ∴满足条件的所有整数a之和是-1+3+5=7 故选：D 【点睛】本题考查解不等式组求整数解、解分式方程、正确解不等式组是关键，利用不等式组的解集求参数是中考的常考题型. 2．如果关于x的分式方程有正整数解，且关于y的不等式组无解，那么符合条件的所有整数a的和是（    ） A．﹣16 B．﹣15 C．﹣6 D．﹣4 【答案】D 【分析】先根据分式方程有正整数解确定出a的值，再由不等式组无解确定出满足题意的a的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：2+ax﹣2x+6＝﹣4， 整理得：(a﹣2)x＝﹣12(a﹣2≠0)， 解得：x， 由分式方程有正整数解，得到a＝1，0，﹣1，﹣2，﹣4，﹣10， 当a＝﹣2时，x＝3，原分式方程无解， 所以a＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10， 不等式组整理得：， 由不等式组无解，即a≥﹣9， ∴符合条件的所有整数a有1，0，﹣1，﹣4， ∴a＝1，0，﹣1，﹣4，之和为﹣4， 故选：D． 【点睛】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．如果关于的方程有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的所有整数的和是_______． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、分式方程的解，有一定难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况． 解分式方程可得，求出为1，3，6，由不等式组至少有两个偶数解可求出的范围，则满足条件的整数有两个，再求和即可． 【详解】解：解方程得，， 方程有正整数解，， 整数，3，6， 解不等式组得， 关于的不等式组至少有两个偶数解， ， ， ∴或3， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：4． 4．若关于的不等式组有解且最多有三个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法等知识点，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解不等式组并结合题意确定a的范围，再解出分式方程确定a的范围，进而确定a的所有取值，最后相加即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式有解，且最多有三个整数解，即最多为：3，2，1三个整数解， ∴ 解得：． 即：a可取 解分式方程得：． ∵分式方程的解为整数，且（时原分式方程无意义） ∴符合条件的所有整数a的值为0、1、3， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：4． 5．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3，55 【分析】（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案； （2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可； （3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值． 【详解】（1）解：把，代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， 所以原分式方程的解是； （2）解：把代入分式方程， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ①当时，即，方程无解， ②当时，， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，， 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵，且为正整数，为整数， ∴必为65的因数，， ∵， ∴65的因数有1，5，13，65， 1，5小于11， 可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55， 满足条件的可取3，55这两个数． 【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根． 由分式方程解的取值范围求参数题型04 1．已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是正数”即可求出的取值范围． 【详解】解：去分母： 解得： ∵ ∴ ∵方程的解是正数 ∴ ∴ 综上：且 故选：A 【点睛】本题考查根据分式方程的解求解参数．正确解出分式方程是求解此题的前提． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程及不等式的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，根据题意列出关于k的一元一次不等式，解不等式并结合方程有意义的条件即可求得k的取值范围． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵该分式方程的解是非负数，且， ∴，且， 解得且． 故答案为：且． 3．关于x的方程的解大于，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，先化简分式方程，得出用含的代数式表示，再结合关于x的方程的解大于，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵关于x的方程的解大于， ∴， 解得， ∵ ∴ 解得 ∴m的取值范围为且． 4．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为； (2)当取何值时，此方程会产生增根； (3)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题的关键． （1）把分式方程化为整式方程，解之得到，把代入方程即可得出k的值； （2）根据增根的定义，得出增根，从而得出k的值； （3）根据解为正数，建立不等式求解，即可得出k的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， 方程的解为， ，解得， 当时，此方程的解为； （2）解：方程会产生增根， ， ，解得， 当时，此方程会产生增根； （3）解：方程的解是正数， 且， 解得且． 当此方程的解是正数时，的取值范围是且． 5．已知关于的方程． (1)在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值； (2)若该方程的解为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，将分式方程转化为整式方程求解是解此题的关键． （1）解分式方程得，由去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解可得当时，满足题意，从而得出，求解即可； （2）解分式方程得，由该方程的解为负数得出，结合要使原分式方程有解，则，即可得出答案． 【详解】（1）解：方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解， 当时，满足题意， ， 解得：； （2）解：方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 该方程的解为负数， ， 解得：， 由（1）可得，要使原分式方程有解，则， 的取值范围为：且． 分式方程的规律探索题题型05 1．阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ___，这个方程的解为 ___． 【答案】 【分析】根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，可得答案． 【详解】解：方程为：，解为， 故填：，． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 2．（24-25八年级·月考）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚： (1)她把这个数“？”猜成3，请你按小华的猜想解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数． 【答案】(1) (2)原分式方程中“？”代表的数是 【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． （1）“?”当成3，解分式方程即可； （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 方程两边同乘以，去分母，得，解得：， 检验：把代入，得， 是原分式方程的解． （2）设？为，方程两边同乘以，去分母，得，化简得：， 由于是原分式方程的增根，所以把代入，得． 原分式方程中“？”代表的数是． 分式方程的新定义题题型06 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的值为（     ） A．4 B．2 C．1 D．2或0 【答案】D 【分析】先根据新运算的定义将原方程转化为分式方程，再整理为整式方程，分一次方程无解、分式方程产生增根两种情况讨论，求出的可能值即可 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 去分母得 整理得 方程无解分两种情况： ① 当一次项系数为时，方程无解，即 ，得，此时，等式不成立，方程无解. ② 分式方程产生增根时，原方程分母，得增根，把代入，得 ，解得. 综上，的值为或 2．（24-25八年级上·山东聊城·月考）我们把形如a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为， ，． 再如为分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为，；若，．则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分式化简求值等知识点，读懂题意，理解“完美分式方程”的定义是解题的关键． 由“完美分式方程”的定义可得，，将变形为，然后将，代入求值即可． 【详解】解：由“完美分式方程”的定义可得： ，， ， 故答案为：． 3．对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算例如：．则方程的解是________． 【答案】 【分析】根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可． 【详解】解：， ∴方程为：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解本题的关键在理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法． 4．我们把形如不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，．再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解分式方程，理解题中解方程的方法是解题的关键． （1）仿照题中求解方法解方程即可； （2）根据“十字分式方程”的解可得，，进而利用完全平方公式化简，代入求解即可． 【详解】（1）解：为“十字分式方程”， ， ， 或， ，； （2）“十字分式方程”的两个解分别为，， ，， ． 5．形如不为零，且两个解分别为， （）的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，），求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)8 【分析】本题考查完全平方公式，分式方程；理解十字分式方程的定义以及题目中的答题方法是解题的关键． （1）类比题目中十字分式方程的答题方法即可求解； （2）结合运用十字分式方程并代数运算即可求解； （3）把原方程变形为，再结合运用十字分式方程的解得到，，代入式子根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：可化为， ∴，． （2）解∶∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ． （3）解：关于的十字分式方程可化为， 即， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大值为8． 分式方程的增根与无解题型07 1．下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用分式方程的定义，分式方程的解，以及分式方程根的判断即可解决． 【详解】①是分式方程，故正确； ②时，，即分母为0，故不是分式方程的解 ，错误； ③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘，故正确； ④解分式方程时不一定会出现增根，错误． 所以正确的有2个 故选：B 【点睛】本题考查了分式方程的定义、分式方程根的检验、分式方程的增根等知识． 2．（2026·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·联考）已知关于的分式方程有增根，则的值是___________． 【答案】3 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】解：去分母得： ， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故答案为：3． 4．（25-26八年级下·甘肃 天水·期中）若分式方程有增根，则的值为_______． 【答案】4 【分析】在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫做分式方程的增根，解分式方程，可得，因为分式方程有增根，可得． 【详解】解：分式方程两边都乘，得 ． 解方程，得 ． 因为分式方程有增根，可得 ． 解方程，得 ． 所以． 解方程，得 ． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的方程，若方程有增根，求m的值． 【答案】0 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解： 分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到或， 即或， 把代入整式方程得：，即； 把代入整式方程得：，无解， 综上，m的值为0． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 18.5 分式方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 分式方程的定义 题型02 解分式方程 题型03 判断分式方程 题型04 分式方程的应用 B组 能力进阶 题型01 根据分式方程解的情况求值 题型02 分式方程的行程问题 题型03 分式方程的工程问题 题型04 分式方程的销售问题 题型05 分式方程的其他实际问题 题型06 由分式方程解的值的求参数 题型07 换元法解分式方程 题型08 根据分式方程的解求值或求范围 题型09 经济问题 题型10 古文问题 题型11 素材问题 题型12 图形问题 题型13 和差倍分问题 题型14 方案设计问题 C组 思维拔高 题型01 分式方程无解问题 题型02 由分式方程无/有解求参数 题型03 由分式方程的整数解求参数 题型04 由分式方程解的取值范围求参数 题型05 分式方程的规律探索题 题型06 分式方程的新定义题 题型07 分式方程的增根与无解 分式方程的定义题型01 1．在方程中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·上海·期中）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 3．在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 4．下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）：_____． 5．下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 解分式方程题型02 1．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 2．方程的解是____． 3．解方程：． 4．解下列方程： (1)； (2)． 5．（2025·广西·模拟）对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：方程两边同乘，得，        第一步 ，         第二步 ．        第三步 检验，当时，， 所以，是分式方程的解．          第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 判断分式方程题型03 1．（24-25七年级·上海·月考）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是分式方程的是（    ）． A． B． C． D． 3．已知下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 4．下列关于的方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列关于x的式子是分式方程的是________．（请填写序号） ①；②；③；④． 分式方程的应用题型04 1．下列分式方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．图书管理员用3600元购买若干套“四大名著”后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，因此又用2400元购买了第二批该套书，此时正赶上图书城八折优惠，于是第二批购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 3．在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示．设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据信息，下列所列方程（组）中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山西怀仁·模拟）某校根据实际需要购置一批光学显微镜，已知在实体店购买这种显微镜比网上购买每台价格多81元，用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台．设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则可列方程为______． 5．解下列分式方程 (1) (2) 根据分式方程解的情况求值题型01 1．若是方程的根，则m的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 2．（25-26八年级上·湖南·期中）已知是分式方程的解，那么的值为（        ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若分式方程的解是，则________． 4．已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为_________． 5．当为何值时，关于的方程的解小于零． 分式方程的行程问题题型02 1．（25-26八年级上·期末）“忆峥嵘”的红色之旅——追寻红色足迹，回望烽火岁月、集宁战役纪念馆位于内蒙古自治区乌兰察布市集宁区，它是内蒙古最大、影响力最强的红色旅游景区，也是国家级国防教育示范基地．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生前往距离学校的集宁战役纪念馆参观．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘坐汽车出发，结果他们同时到达．假设汽车行驶的速度和骑自行车速度均保持不变，汽车行驶的速度是骑自行车的速度的4倍，设骑自行车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．甲、乙两人同时从 A地出发，步行 15km 到 B地，甲比乙每小时多走 1km，结果甲比乙早到半小时，两人每小时各走几千米？设甲每小时走 x km，则可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙两个转盘同时转动，甲转动270圈时，乙恰好转了330圈，已知两个转盘每分钟共转3000圈，设甲每分钟转x圈，则列方程为（　　） A． B． C． D． 4．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小敏通过AB时的速度．设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程为_____． 5．（25-26八年级·期末）广东绿道建设起步早、历时长、成效快，现已形成了遍布南粤大地的绿道网络，将居民点、自然与人文景观、生态保护地串联为一体．小张和小李相约到某体育休闲公园的环湖绿道上匀速骑行，已知环湖绿道全长6600米，小张的速度是小李的速度的1.2倍． (1)若两人同时出发，背向而行，经过12分钟后两人相遇，则小李每分钟骑行多少米？ (2)若两人同时出发，同向而行，结果小张比小李早了4分钟回到起点，则小李每分钟骑行多少米？ 分式方程的工程问题题型03 1．施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米? 设实际每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．某人生产一种零件，计划在30天内完成，若每天多生产6个，则25天完成且还多生产10个，问原计划每天生产多少个零件？设原计划每天生产个，列方程式是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·月考）甲、乙两队学生绿化校园，两队合作6天可以完成，若单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作，各需多少天？如果设甲队单独工作需要天，那么根据题意列出方程（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海·期末）甲安装队为A小区安装78台空调，乙安装队为B小区安装65台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装3台，若设乙队每天安装x台，则根据题意可列方程____________________．（无需解方程） 5．如图，“主收1号”小麦的试验田是边长为am(a＞1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a﹣1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg. (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的(kg)倍，求a的值 (3)利用(2)中所求的a的值，分解因式x2﹣ax﹣108＝_____.    分式方程的销售问题题型04 1．（25-26八年级·质检）在“双十一”活动中，甲、乙两家电商共销售同款小商品100件．已知两家销售数量不同，但销售额相同．若将两家销售数量互换，则甲电商销售额变为1800元，乙电商销售额变为800元．问：甲、乙两家电商各自销售了多少件小商品？设甲电商销售x件小商品，根据题意列出方程，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．开学之际，学校需采购部分课桌，现有A，B两个商家供货，A商家每张课桌的售价比B商家优惠20元，若该校花费1500元在A商家购买课桌的数量与花费2500元在B商家购买课桌的数量一样多，设A商家每张课桌的售价为x元，则可列方程为________． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品，请你根据下面的信息，回答下列问题． 信息：已知每个灯笼的进价比每副春联的进价多元． 信息：超市用元购进的灯笼数量和用元购进的春联数量相同． (1)求每个灯笼和每副春联的进价． (2)若超市准备用不超过元的资金再购进这两种春联和灯笼共个副，最多能购进灯笼多少个？ 4．（2025·山西太原·二模）年低空经济的核心产业飞行器和燃油直升机对比调查发现飞行器平均每公里航程能源成本是燃油直升机的倍，且飞行器充电费元比燃油直升机燃油费元飞行航程多公里，那么飞行器平均每公里航程的能源成本为多少元？ 5．长白山是吉林省的著名旅游景点，近年来旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同，每件款文创产品进价比款文创产品进价多元．求两款文创产品每件的进价各是多少元？ 分式方程的其他实际问题题型05 1．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在物理学中，压强等于物体所受压力的大小与受力面积之比，即．两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级·期末）为估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捕捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘．经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从中多次捕捞，并算得平均每200条鱼中带有标记的鱼有5条．试估计该鱼塘中鱼的数量约为（  ） A．800条 B．1200条 C．1500条 D．3000条 3．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距蜡烛到凸透镜中心的距离、像距像到凸透镜中心的距离和凸透镜的焦距满足关系，若，，则该凸透镜的焦距 _______． 4．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是 ________米． 5．现有两块面积相同的小麦试验田，第一块种植原品种，第二块种植新品种，结果分别收获小麦12000kg和14000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，求第一块试验田每公顷的产量． 由分式方程解的值的求参数题型06 1．若关于x的分式方程的解为2，则m的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26八年级上·期末）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（    ） A． B． C．且 D．且 3．如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 4．（25-26八年级·期末）已知关于x的方程的解为，则m的值为___________． 5．已知关于x的方程． (1)当此方程的解为时，求k的值； (2)当此方程会产生增根时，求k的值． 换元法解分式方程题型07 1．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 2．用换元法解方程，设，则得到关于y的整式方程为___． 3．某中学假期后勤中的一项工作是请名木工制作把椅子和张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作把椅子或张课桌，将这名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配_______________________人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短． 根据分式方程的解求值或求范围题型08 1．（2025·海南·联考）方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．方程 的解为 ______ ． 3．方程的解为______ 4．当_____时，关于的分式方程的解为正数． 5．（25-26八年级上·湖南永州·期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 (1)理解应用：方程 的解为： (2)知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； (3)拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 经济问题题型09 1．（25-26八年级上·上海·期末）小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为，根据题意，为求解，以下列出的方程中正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 2．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 3．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》读本若干套，其中每套《西游记》读本的价格比每套《三国演义》读本的价格多40元，用3200元购买《三国演义》读本的套数是用2400元购买《西游记》读本套数的2倍，则每套《三国演义》读本的价格是______元． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了“数学迷宫”活动，购买了一批羽毛球拍和乒乓球拍作为奖品．通过电话询问文具店了解到羽毛球拍的单价比乒乓球拍贵，且花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副，则羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为多少？ 5．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 其中，燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，如果燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，且金师傅平均每年都能行驶5100千米．为了节省开支，哪款国产车更适合金师傅，请通过计算说明．（年费用＝年行驶费用＋年其它费用） 古文问题题型10 1．《九章算术》中记载了一道题，大意是：兔子和狗在同一起点，兔子先出发100步，然后狗出发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗和兔子都不停的话，狗再跑多少步可以追到兔子？若设狗再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）《九章算术》中一道关于古代驿站送信的题目，译文：一份文件，若用慢马送到1000里远的地方，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？” 设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 4．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列出的分式方程为______． 5．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 素材问题题型11 1．根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）． 任务1：若，求10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价． 任务2：在任务1的前提下，商店要使什锦糖的价格降低1元，则需加入哪一种糖，多少千克？ 任务3：现有甲、乙两种什锦糖，均由A、B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的A，B两种糖果混合而成；乙种什锦糖由相同总价的A，B两种糖果混合而成，请选择合适的方法比较甲、乙两种什锦糖哪一种什锦糖的单价较高？ 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）随着新能源汽车普及，某小区和某商场均配备了充电桩．小区新能源汽车充电桩收费标准按照“电费=充电量×电价”计费，表1为该小区充电桩不同时段的电价标准．商场新能源充电桩的收费标准按照“总费用=电费+服务费”计费，表2为该商场充电桩的收费标准，则“峰时”充10度电的总费用为： 表1： 项目 某小区新能源汽车分时电价方案 时段划分 峰时 17:00-22:00 平时 8:00-17:00 谷时 22:00-次日8:00 电价（元/度） a b 0.34 表2： 某商场新能源充电桩收费公示牌 收费时段 峰时 16:00-22:00 平时 10:00-16:00 谷时 22:00-次日10:00 电价（元/度） 0.56 c 服务费（元/度） 0.5 0.4 0.3 请根据以上素材解决下列问题： (1)小明爸爸第一天在小区“峰时”充了6度电，“平时”充了9度电，花费了7.8元；第二天在小区“峰时”充了12度电，“平时”充了15度电，花费了14.1元，求a，b的值； (2)小明爸爸发现在某商场充电时，“平时”花18元充电的度数与在“谷时”花14元充电的度数一样，求“谷时”的电价c为多少元/度？ (3)小明爸爸在小区“平时”充了m度电，又在某商场“平时”充了n度电，一共支付了20元．若充电的度数m、n均为正整数，则满足条件的m，n有几种情况？ 图形问题题型12 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南周口·一模）《百骏图》是中国十大传世名画之一，是意大利籍清代宫廷画家郎世宁的作品，其图共绘有100匹骏马，姿势各异，或立、或奔、或跪、或卧，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级·江苏镇江·月考）某AI公司租用云服务器进行模型训练，租用A、B两种型号的GPU实例（图形处理器）．A、B两种实例每小时的租用费用之和为100元，且两种实例的总租赁费用相同，均为12800元．已知“_________”，设A实例每小时的租用费用为元，则可列方程．根据此情境，题中“________”表示的缺失条件可以是（     ） A．A实例每小时的租赁费用是B实例每小时的租赁费用的两倍 B．B实例每小时的租赁费用是A实例每小时的租赁费用的两倍 C．A实例的租赁时间是B实例的租赁时间的两倍 D．B实例的租赁时间是A实例的租赁时间的两倍 4．请阅读下面材料，并完成相应的任务．用“几何代数法”解分式方程． 《几何原本》中的“几何代数法”是指用几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据．在意大利数学家斐波那契（约1170—1250）编写的《计算之书》中频繁运用了这种方法．例如，运用面积关系将分式方程转化为整式方程，从而求解分式方程． 例：《计算之书》中记载了一道题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分硬币的人数．设第一次分硬币的人数为人，则可列方程为． 解：构造如图1所示的图形，，，矩形的面积为90，矩形的面积为120，则，．显然，． 根据图形可知． 所以．（将分式方程转化成了整式方程） 解得．         图1 答：第一次分硬币的人数为18人． 任务：      (1)   如图2，，，矩形和矩形的面积均为60，下列代数式可以表示边的是___________．（多选） A．    B．    C．    D． (2)如图3，，，矩形的面积为60，矩形的面积为20，，则可列方程为___________． (3)请仿照材料中的方法，通过构造图形，求分式方程的解． 和差倍分问题题型13 1．为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召八年级同学自愿捐款．已知八（1）班同学捐款总额为1600元，八（2）班的同学捐款总额为1800元，八（2）班捐款人数比八（1）班多5人，而且两个班级人均捐款额恰好相等，如果设八（1）班捐款人数为x人，列出关于x的方程，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为________． 3．（2026·宁夏吴忠·模拟）为绿化环境，某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则可列方程为________． 4．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为______． 5．（24-25八年级上·山东泰安·期末）春节将至，某中学计划在期末考试后组织八九年级共青团员与社区居民共同举办一场联欢会，并向居民赠送手编小中国结．两个年级团员分别接到制作720个中国结的任务，八年级团员平均每人比九年级平均每人多编2个，九年级团员人数比八年级多．请你提出一个能用分式方程解决的问题并进行解答． 方案设计问题题型14 1．（24-25九年级上·江西宜春·期末）项目学习方案： 项目情景 数学阅读有助于拓展同学们数学视野，培养逻辑思维，提升解决问题的能力．为了提高学生数学素养，我校图书馆拟购《古今数学思想》、《几何原本》等书籍供同学们阅读． 素材一 我校数学兴趣小组经过市场调查发现3000元可购买《古今数学思想》的数量比《几何原本》多40套，且《几何原本》的单价是《古今数学思想》单价的1.5倍． 任务一 根据题意，数学兴趣小组成员小刚设每套《古今数学思想》的价格为x元，由题意得方程：①　　　； 数学兴趣小组成员小明设②　　　，由题意得方程：． 素材二 数学兴趣小组成员小强发现自己单位时间内可完成m页《古今数学思想》的阅读或完成 页《几何原本》的阅读，并且阅读25页《古今数学思想》的所用时间与阅读10页《几何原本》所用时间相同． 任务二 求m的值． (1)任务一中横线①处应填　　　，横线②处应填　　　； (2)完成任务二． 2．依据素材，解答问题． 方案设计 材料一 随着杭温高铁建设的顺利进行，我县正在迈向更加美好的明天．这一高铁项目的建成通车，将为我县居民带来更多便利和机遇，也必将成为当地发展的新引擎，为本地注入新的活力和动力． 材料二 某企业承接了为高铁建设配套的28000个集成套件的生产任务，计划安排给、两个车间共60人，合作20天完成．已知车间每人每天平均可以生产20个集成套件，车间每人每天平均以生产25个集成套件． 材料三 高铁建设项目指挥部要求企业提前完成生产任务，该企业计了两种方案： 方案1：车间改进生产方式，每个工人提高工作效率车间工作效率保持不变． 方案2：车间再到其他企业调配若干名与车间工作效率一样的工人，车间的工作效率保持不变． 问题解决 任务一 求A、B两个车间参与生产的集成套件的工人人数各是多少． 任务二 若材料三中设计的两种生产方案，企业完成生产任务的时间相同，求B车间需要到其他企业调配的工人数量． 分式方程无解问题题型01 1．分式方程的解为（    ） A．1 B．2 C．4 D．无解 2．若关于x的分式方程无解，则m＝_____． 3．当______时，关于x的分式方程无解． 4．若关于的分式方程的无实数根，则实数的值是_______． 5．（24-25七年级上·上海·月考）求当为何值时，关于的方程无解． 由分式方程无/有解求参数题型02 1．若关于的分式方程的解是正数，且关于的不等式组有解，则满足上述要求的所有整数的和是（   ） A． B．9 C． D． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 3．若关于y的不等式组有解，且关于x的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是_________． 4．已知关于的分式方程，若方程无解，求的值． 5．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 由分式方程的整数解求参数题型03 1．若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a之和是（    ） A．15 B．14 C．8 D．7 2．如果关于x的分式方程有正整数解，且关于y的不等式组无解，那么符合条件的所有整数a的和是（    ） A．﹣16 B．﹣15 C．﹣6 D．﹣4 3．如果关于的方程有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的所有整数的和是_______． 4．若关于的不等式组有解且最多有三个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为________． 5．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 由分式方程解的取值范围求参数题型04 1．已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_______． 3．关于x的方程的解大于，求m的取值范围． 4．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为； (2)当取何值时，此方程会产生增根； (3)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 5．已知关于的方程． (1)在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值； (2)若该方程的解为负数，求的取值范围． 分式方程的规律探索题题型05 1．阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ___，这个方程的解为 ___． 2．（24-25八年级·月考）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚： (1)她把这个数“？”猜成3，请你按小华的猜想解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数． 分式方程的新定义题题型06 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的值为（     ） A．4 B．2 C．1 D．2或0 2．（24-25八年级上·山东聊城·月考）我们把形如a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为， ，． 再如为分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为，；若，．则的值为______． 3．对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算例如：．则方程的解是________． 4．我们把形如不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，．再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 5．形如不为零，且两个解分别为， （）的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，），求的最大值． 分式方程的增根与无解题型07 1．下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 3．（24-25八年级下·江苏扬州·联考）已知关于的分式方程有增根，则的值是___________． 4．（25-26八年级下·甘肃 天水·期中）若分式方程有增根，则的值为_______． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的方程，若方程有增根，求m的值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $