5.3 分式方程(第3课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

分式与分式方程 第五章 分式方程（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题端午节期间，某食堂根据职工饮食习惯，用700元购进甲、乙两种粽子共260 个，其中甲种粽子用了300元。已知甲种粽子的单价比乙种粽子的单价高20%，乙种棕子的 单价是多少元？甲、乙两种棕子各购买了多少个？ 【分析】若乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价是(1+20%)x元，根据“购进甲、 乙两种粽子共260个”找到等量关系，列分式方程求解，求解后要注意验根。 【解答】设乙种粽子的单价是x元，则甲种棕子的单价是(1+20%)x元。根据题意，得 300 +700-300=260，解得=2.5。经检验，x=2.5是原方程的根。 (1+20%)x 当=25时.购买乙种棕子0贺-160（个），购买甲种棕子260-160=10（个）。 答：乙种棕子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子分别购买了100个和160个。 【点拨】列分式方程解应用题的关键是找出等量关系，恰当地设出未知数并列方程。 基础巩固飞U达标闯关 1.随着《中国诗词大会》节目的热播，《唐诗宋词精选》和《唐诗鉴赏辞典》也随之热 销。某书商看准商机，欲购进这两种图书，已知每本《唐诗鉴赏辞典》的进价比《唐诗宋词 精选》多9元，花费2400元购进《唐诗鉴赏辞典》的数量与花费1500元购进《唐诗宋词 精选》的数量一样多。若设每本《唐诗鉴赏辞典》的进价为x元，则可列方程为 2.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢 马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定 时间少2天，已知快马的速度是慢马的)倍，求规定时间。设规定时间为x天，则下列列出 的分式方程正确的是() A809=×800B.80-5×80 X C.800-5x800D.800-5×800 ·x+22x-1 ”x-2-2x+1 ”x-12x+2 ·x+12x-2 3.在体育课上，甲、乙两名同学进行跳绳比赛。在相同时间内，甲跳360次，乙比甲少 跳40次。已知甲每分钟比乙多跳20次，求甲每分钟跳多少次。 口数学 八年级下册（北师大版） 4.为了提升生物实验教学的质量，提高学生的动手实践能力，培养科学素养，某校投入 专项资金购置了单目显微镜和双目显微镜共计40台。已知购买单目显微镜用了8320元， 购买双目显微镜用了6720元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这 批双目显微镜的单价。 5.文房四宝之名，起源于南北朝时期，其所指代的“笔、墨、纸、砚”是中国独有的书 法绘画工具。为了丰富学生的课后服务活动，某中学计划用4300元为社团购买A,B两种 型号的“文房四宝”若干套，其中购买B型号“文房四宝”花费3000元，结果A型号的 “文房四宝”的购买数量比B型号的“文房四宝”的购买数量少20套。已知每套A型号的 “文房四宝”的价格比B型号的“文房四宝”的价格高30%。求A,B两种型号“文房四宝” 的单价分别是多少元。 能力提升睡综合拓展 6.某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服， 上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量 的2倍，但每套进价多了10元。 (1)该商场两次共购进这种运动服多少套？ (2)如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套 售价至少是多少元？ 利润率=利润x100% 成本 金 分式与分式方程 第五章 7.甲车从A地驶往B地，同时乙车从B地驶往A地，两车相向而行，匀速行驶，甲车 距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60kh。 (1)求甲车的速度。 (2)当甲、乙两车相遇后，乙车速度变为akmh,并保持匀速行驶，甲车速度保持不 变，结果乙车比甲车晚38min到达终点，求a的值。 y/km 280 120 01234xh 第7题图 8.某县为落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造。该工 程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定 天数的3倍。如果由甲、乙队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天。 (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元。为缩短工 期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成，则该工程 施工费用是多少？ 9.随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效 率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20 倍。经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节 省4h。 (1)求人工每人每小时分拣多少件。 (2)若该快递公司每天需要分拣10万件快件，机器每天工作时间为16h,则至少需要 安排多少台这样的分拣机？ 在 数学 八年级下册（北师大版） 中考链接©真题演练 10.(2025·山西)我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术， 能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务。一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是 一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨 所用时间少22h。求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里。 11.(2025·成都)2025年8月7日至17日，第12届世界运动会在成都举行，与运动会 吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱。某文旅中心销售A,B两种吉祥物 挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的号，用300元购买B种挂件的数量 比用200元购买A种挂件的数量多7个。 (1)求每个A种挂件的价格。 (2)某游客用不超过600元购买A,B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的 数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件。 12.(2025·广安)某景区需购买A,B两种型号的帐篷，已知用1800元购买A种帐篷 的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元。 (1)求A,B两种帐篷的单价各多少元。 (2)若该景区需要购买A,B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且 购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的】，则购买A,B两种型号的帐篷各 多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ @数学 八年级下册（北师大版） (x+1)=0。去括号，得3x-3-x-1=0。解得x=2。检验： 机器每小时分拣20x件。根据题意，得6000-6000 将=2代入(x+1)(x-1)≠0，.原分式方程的解为=2。 20x5x20x 15.解：小李的解法中，第一步是去分母，去分母 =4。解得x=60。经检验，x=60是原分式方程的解。 的依据是等式的基本性质。小李的解答过程不正确。 答：人工每人每小时分拣60件。(2)设需要安排 正确的解答过程：去分母，得受x-2)·-2) y台分拣机。根据题意，得16x20x60y≥100000。解 -2(x-2)。整理，得1-x=-1-2x+4。移项并合并，得= 得y≥票-5京y为正整数，的量小值为6 241 2。检验：当x=2时，x-2=0。原分式方程无解。 答：至少需要安排6台这样的分拣机。 3分式方程（第3课时） 10.解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 1.2400-15002.B x公里，根据题意，得80-116-22。解得x=2。经检 x-9 0.5xx 3.解：设甲每分钟跳x次，那么乙每分钟跳(x- 验，x=2是原方程的解。答：一辆该型号快速换轨车 20次。根据题意，得@0想，解得180，经 每小时更换钢轨2公里。 11.解：(1)由题意，设每个A种挂件的价格为 检验，=180是所列方程的根。答：甲每分钟跳180次。 x元，则每个B种挂件的价格为号x元。根据题意， 4.解：设这批单目显微镜的单价为x元，则双目显 微镜的单价为1.5x元。由题意，得8320+6720=40。 得300-200+7。解得=25。经检验，x=25是原方程 4 1.5x 5x 解得x=320。经检验，x=320是原方程的根。1.5x= 的根。答：每个A种挂件的价格为25元。(2)由 1.5×320=480。答：这批双目显微镜的单价为480元。 题意，设该游客最多购买m个A种挂件，则购买 5.解：设B型号的“文房四宝”的单价是x元， (m+5)个B种挂件，又结合(1)知每个A种挂件的 则A型号的“文房四宝”的单价是(1+30%)x元。根 据题意，得300_43003000-20。解得=10。经 价格为25元，每个B种挂件的价格为号×25=20元。 x(1+30%)x 检验，=100是所列方程的解。∴.(1+30%)x=(1+30%)× 根据题意，得25m+20m+5)≤60。m≤9=1g。 100=130(元)。答：A型号的“文房四宝”的单价是 又7m为整数，m=11,则该游客最多购买11个A 130元，B型号的“文房四宝”的单价是100元。 种挂件。 6.解：(1)设商场第一次购进x套运动服。由题 12.解：(1)设A种帐篷的单价为x元。由题 意得68000_32000=10。解这个方程，得x=200。经 2x 意，得1800-3000 xx+400 解得=600。经检验，x=600是 检验，x=200是所列方程的根。2x+x=600（套)。答： 所列原方程的解。x+400=600+400=1000(元)。答： 该商场两次共购进这种运动服600套。(2)设每套 A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000 运动服的售价为y元。由题意，得60032000-68000 元。(2)设购买A种帐篷m顶，则购买B种帐篷 32000+68000 ×100%≥20%。解这个不等式，得y≥200。答：每套 (20-m)顶，总费用为取元。由题意，得20-m≥号m。 售价至少是200元。 解得m≤15。又.：两种型号的帐篷均需购买，：0<m≤ 7.解：(1)由图象，可得甲车的速度为280-120 15。W=600m+1000(20-m)=-400m+20000。:-400<0, 2 .W随m的增大而减小。.当m=15时，W取最小值 =80(km/h),即甲车的速度是80km/h。(2)相遇 W小=-400x15+20000=14000。此时20-m=5。答：当 时间为00-2。由题意，可得+器-02 80+60 购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低， a 解得a=75。经检验，a=75是原分式方程的解，即a的 最低总费用为14000元。 值是75。 第六章平行四边形 8.解：(1)设这项工程的规定时间为x天。根据 1平行四边形的性质（第1课时） 题意，得+15+10-1。解得x=30。经检验， 1.142°，38°，142°2.26°3.20或284.3 2 x=30是原分式方程的解。答：这项工程的规定时间是 5.C6.B 30天。(2)设这项工程由甲、乙队合作完成，所 7.解：∠ABC=135°，∠C=45°，CD=BD=3V2。 需的时间为y天，则动01。解得)-25。 8.证明：：四边形ABCD是平行四边形，AB= CD,AB∥CD,即BE∥CD。∴.∠D=∠EAF。又AF= 该工程施工费用为22.5×(6500+3500)=225000（元）。 AB,.AF=CD.BE=AD,BE=AB+AE,AD=AF+DF. 答：该工程施工费用为225000元。 .'AE=DF。∴.△AEF≌△DFC(SAS)。 9.解：(1)设人工每人每小时分拣x件，则每台 9.解：(1)AE⊥BC于点E,.∠AEB=90°。