第三章 专题06 幂函数专项训练（8大题型39题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题06 幂函数（8大题型39题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　幂函数的概念与解析式（常考点） 题型二　幂函数的图象（常考点） 题型三　幂函数的定义域与值域（常考点） 题型四　幂函数的奇偶性与单调性（重点） 题型五　由幂函数的概念与性质求参数（重点） 题型六　利用幂函数比较大小（常考点） 题型七　利用幂函数的单调性解不等式（难点） 题型八　幂函数综合问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　幂函数的概念与解析式（共5小题） 【知识积累】 定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。 判断依据：① 的系数为 ；② 底数是自变量 ；③ 指数 为常数；④ 后面不加任何项。如 、 都不是幂函数。 求解析式：已知幂函数过某点，设 ，代入点的坐标求出 ；已知 是幂函数，先令系数 。 【典例】 1．下列函数是幂函数的是（    ）（26-27高一上·全国·课后作业） A． B． C． D． 【变式训练】 2．已知幂函数的图象过点，则（   ）（26-27高二·山东·学业考试模拟） A． B． C．3 D．6 3．幂函数的图象过点，则实数____________．（25-26高一下·上海宝山·期末） 4．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（     ）（25-26高二下·吉林长春·期末） A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数 5．若幂函数满足，则实数m的值为________．（25-26高一下·河南·期末） 题型二　幂函数的图象（共6小题） 【知识积累】 五个常见幂函数：，，，，，要熟记它们的图象。 图象特征：所有幂函数的图象都过点 ，都不经过第四象限； 时图象还过原点 ，在第一象限内单调递增； 时图象不过原点，在第一象限内单调递减。 看指数：在直线 的右侧，图象从下到上，指数 依次增大； 时图象在第一象限“下凸”， 时“上凸”。 【典例】 6．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ）（26-27高一上·全国·课后作业） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【变式训练】 7．已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ）（2026高三·全国·专题练习） A．， B．， C． D． 8．已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ）（25-26高二下·黑龙江·期末） A． B． C． D． 9．函数的图象恒过定点（    ）（26-27高一上·全国·课后作业） A． B． C． D． 10．如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ）（26-27高一上·全国·课后作业） A． B．或 C． D．或 11．给定一组函数解析式：（26-27高一上·全国·课堂例题） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．请写出图象对应的解析式号码. 题型三　幂函数的定义域与值域（共4小题） 【知识积累】 定义域：把 化成根式 ： 为偶数时要求被开方数非负；指数为负数时化成分式，要求分母不为 。 值域：结合定义域和单调性求；如 的值域为 ， 的值域为 。 【典例】 12．若有意义，则实数x的取值范围是________.（26-27高一上·全国·课堂例题） 【变式训练】 13．已知幂函数，则下列结论正确的是（     ）（2026·北京·三模） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 14．幂函数（为常数），则（    ）.（2026·江苏淮安·一模） A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 15．函数的值域为______．（26-27高三上·河南信阳·阶段检测） 题型四　幂函数的奇偶性与单调性（共6小题） 【知识积累】 奇偶性：（ 互质）中， 为偶数时定义域不关于原点对称，非奇非偶； 为奇数时， 为偶数则为偶函数， 为奇数则为奇函数。 单调性： 时幂函数在 上单调递增， 时在 上单调递减；再结合奇偶性得到 上的单调性。 【典例】 16．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ）（25-26高一下·河南新乡·期末） A． B． C． D． 【变式训练】 17．下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ）（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末） A． B． C． D． 18．若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（   ）（26-27高三上·江苏南通·阶段检测） A． B． C． D． 19．写出一个同时满足条件①②③的幂函数_____.（26-27高一上·辽宁·期中） 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 20．有四个幂函数：①；②；③；④某同学研究了其中的一个函数，并给出了这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是的子集；（3）在上单调递增.则他研究的函数是___________填序号.（23-24高一上·云南昆明·阶段检测） 21．已知，函数在上是严格增函数，且图象关于原点对称，则________．（25-26高二下·上海·期末） 题型五　由幂函数的概念与性质求参数（共6小题） 【知识积累】 两步法：① 由“是幂函数”令系数等于 ，解出参数的可能值；② 逐个代入，用题目给的单调性、奇偶性、图象特征（过不过原点、与坐标轴有无公共点）检验取舍。 常用结论：图象不过原点、与 轴没有公共点 指数 ；在 上单调递减 。 【典例】 22．若幂函数在上为增函数，则（    ）．（26-27高三上·辽宁·开学考试） A． B． C． D． 【变式训练】 23．已知幂函数在上单调递减，则（   ）（25-26高二下·湖北黄冈·期末） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 24．已知，若幂函数是偶函数，则______________．（2026·上海浦东新·三模） 25．已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（    ）（26-27高三上·吉林长春·阶段检测） A． B． C．1 D．3 26．已知幂函数 的定义域不为 ，则（    ）．（26-27高三上·重庆·阶段检测） A． B． C． 为偶函数 D．对任意正数 ，都有 27．若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ）（25-26高二下·浙江舟山·期末） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 题型六　利用幂函数比较大小（共4小题） 【知识积累】 同指数、不同底数：构造幂函数 ，利用它的单调性比较，如 与 看 。 借助中间量：不能直接比较时，与 、 等中间量比较；底数为负数时，先用奇偶性化到 上再比较。 【典例】 28．若，则它们的大小关系是（ ）（26-27高一上·北京·期中） A． B． C． D． 【变式训练】 29．已知，，则（   ）（26-27高二·山东·学业考试模拟） A． B． C． D． 30．设幂函数的图象经过原点，若，则（ ）（26-27高一上·河南·期中） A． B． C． D． 31．“”是“”的（   ）（25-26高二下·天津津南·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型七　利用幂函数的单调性解不等式（共5小题） 【知识积累】 解题步骤：先确定幂函数的解析式，再判断它的定义域、奇偶性和单调性，把 转化为关于 、 的不等式。 注意定义域：如 等价于 ；偶函数要用 转化。 【典例】 32．若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________.（26-27高一上·全国·课后作业） 【变式训练】 33．已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ）（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末） A． B． C． D． 34．已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________.（24-25高一上·广东深圳·期中） 35．已知幂函数在上是严格减函数，其中，则的值为_________；关于的不等式的解集为_________．（26-27高三上·广东河源·阶段检测） 36．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ）（2026·江苏泰州·模拟预测） A．， B．， C．， D．， 题型八　幂函数综合问题（共3小题） 【知识积累】 综合思路：先由幂函数的定义和性质确定解析式，再转化为二次函数在区间上的最值、函数的奇偶性与单调性、恒成立或有解问题。 构造函数：形如 的等式，构造 ，利用它是奇函数且单调递增求解。 【典例】 37．已知幂函数是偶函数．（2026·江苏镇江·模拟预测） (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【变式训练】 38．设，为实数，且满足则__________.（2026高一下·四川宜宾·竞赛） 39．限幅函数，与的图象存在三个公共点、、．（25-26高一下·海南海口·期末） (1)解关于的不等式； (2)求的取值范围； (3)求面积的最大值． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题06 幂函数（8大题型39题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　幂函数的概念与解析式（常考点） 题型二　幂函数的图象（常考点） 题型三　幂函数的定义域与值域（常考点） 题型四　幂函数的奇偶性与单调性（重点） 题型五　由幂函数的概念与性质求参数（重点） 题型六　利用幂函数比较大小（常考点） 题型七　利用幂函数的单调性解不等式（难点） 题型八　幂函数综合问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　幂函数的概念与解析式（共5小题） 【知识积累】 定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。 判断依据：① 的系数为 ；② 底数是自变量 ；③ 指数 为常数；④ 后面不加任何项。如 、 都不是幂函数。 求解析式：已知幂函数过某点，设 ，代入点的坐标求出 ；已知 是幂函数，先令系数 。 【典例】 1．下列函数是幂函数的是（    ）（26-27高一上·全国·课后作业） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 【变式训练】 2．已知幂函数的图象过点，则（   ）（26-27高二·山东·学业考试模拟） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【详解】设幂函数，依题意，，解得，则，所以. 3．幂函数的图象过点，则实数____________．（25-26高一下·上海宝山·期末） 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入幂函数解析式，结合指数运算性质求解实数的值 【详解】已知幂函数的图像过点，因此该点坐标满足函数解析式，将，代入得： ， 根据根式与分数指数幂的转换规则，，因此等式可改写为： ， 由于底数且，指数函数在上单调递调，同底数幂相等时指数相等，因此可得. 4．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（     ）（25-26高二下·吉林长春·期末） A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数 【答案】D 【分析】先求出的值，再根据幂函数的性质进行判断即可. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得， 所以， 所以函数在和上单调递减，且为奇函数. 5．若幂函数满足，则实数m的值为________．（25-26高一下·河南·期末） 【答案】 【详解】幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时，当时，，此时， 又因为，所以满足要求， 即. 题型二　幂函数的图象（共6小题） 【知识积累】 五个常见幂函数：，，，，，要熟记它们的图象。 图象特征：所有幂函数的图象都过点 ，都不经过第四象限； 时图象还过原点 ，在第一象限内单调递增； 时图象不过原点，在第一象限内单调递减。 看指数：在直线 的右侧，图象从下到上，指数 依次增大； 时图象在第一象限“下凸”， 时“上凸”。 【典例】 6．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ）（26-27高一上·全国·课后作业） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【分析】由函数图像特征确定幂函数解析式特点，据此可得答案. 【详解】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况. 综上可得选：B. 【变式训练】 7．已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ）（2026高三·全国·专题练习） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】应用幂函数图象判断大小. 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 8．已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ）（25-26高二下·黑龙江·期末） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 9．函数的图象恒过定点（    ）（26-27高一上·全国·课后作业） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用幂函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数，令，可得且， 所以函数的图象恒过定点. 10．如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ）（26-27高一上·全国·课后作业） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由幂函数定义结合题设幂函数特征可得答案. 【详解】由幂函数的形式为知. 因为其图象不过原点，所以指数. 由得， 所以.故或. 11．给定一组函数解析式：（26-27高一上·全国·课堂例题） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．请写出图象对应的解析式号码. 【答案】⑥④③②⑦①⑤ 【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案. 【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足； 图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足； 故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤. 题型三　幂函数的定义域与值域（共4小题） 【知识积累】 定义域：把 化成根式 ： 为偶数时要求被开方数非负；指数为负数时化成分式，要求分母不为 。 值域：结合定义域和单调性求；如 的值域为 ， 的值域为 。 【典例】 12．若有意义，则实数x的取值范围是________.（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】 【分析】根据偶次根式有意义的条件为被开方数必须非负. 【详解】要使有意义， 则需，即， 因此实数的取值范围是. 【变式训练】 13．已知幂函数，则下列结论正确的是（     ）（2026·北京·三模） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正误 【详解】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 14．幂函数（为常数），则（    ）.（2026·江苏淮安·一模） A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据奇函数的定义、幂函数的性质、幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 15．函数的值域为______．（26-27高三上·河南信阳·阶段检测） 【答案】 【详解】由且，得， 所以函数的定义域为， ， 又，所以， 由，得， 所以函数值域为. 题型四　幂函数的奇偶性与单调性（共6小题） 【知识积累】 奇偶性：（ 互质）中， 为偶数时定义域不关于原点对称，非奇非偶； 为奇数时， 为偶数则为偶函数， 为奇数则为奇函数。 单调性： 时幂函数在 上单调递增， 时在 上单调递减；再结合奇偶性得到 上的单调性。 【典例】 16．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ）（25-26高一下·河南新乡·期末） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用函数奇偶性定义结合幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于B：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于C：定义域为，，所以为奇函数，但是在区间上单调递减，不符合题意； 对于D：定义域为，，所以为奇函数，是在区间上单调递增，符合题意； 【变式训练】 17．下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ）（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】选项A：的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数； 根据幂函数性质，幂指数，在上单调递减，故A符合要求； 选项B：的定义域为，关于原点对称，，是奇函数； 且在上单调递减，故B符合要求； 选项C：是二次函数，满足，是偶函数，不符合； 选项D：是奇函数，但幂指数，在上单调递增，不符合. 18．若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（   ）（26-27高三上·江苏南通·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】幂函数在单调递增的充要条件是，故A，B选项错误， 由偶函数的性质验证C，D选项 选项C：，对应函数，定义域为，且满足，是偶函数，C选项正确， 选项D：，对应函数，定义域是，定义域不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，D选项错误. 19．写出一个同时满足条件①②③的幂函数_____.（26-27高一上·辽宁·期中） 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的定义及性质即可求解. 【详解】令，因为， 所以是偶函数，满足② ； 任取，且， 则 ， 即，所以在上单调递减，满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 20．有四个幂函数：①；②；③；④某同学研究了其中的一个函数，并给出了这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是的子集；（3）在上单调递增.则他研究的函数是___________填序号.（23-24高一上·云南昆明·阶段检测） 【答案】① 【分析】根据幂函数的性质分别写出四个函数的奇偶性、值域和单调性，再结合题干找出满足题意的即可. 【详解】对于①，定义域为，定义域关于原点对称， ，是偶函数， 在上单调递增，值域为，满足上述性质； 对于②，定义域为，定义域关于原点对称， ，故为奇函数，不满足； 对于③，定义域为，定义域关于原点对称， ，是偶函数， 在上单调递增，故在上单调递减，不满足； 对于④，定义域为，定义域关于原点对称， ，是奇函数，不满足. 21．已知，函数在上是严格增函数，且图象关于原点对称，则________．（25-26高二下·上海·期末） 【答案】 【详解】根据幂函数的单调性性质：若幂函数在上严格增，则； 已知，得α的可能取值为； 又函数图象关于原点对称等价于函数为奇函数，且定义域关于原点对称： 当时，，定义域为，不关于原点对称，不符合要求； 当时，，定义域为R，对任意，均满足，是奇函数， 图象关于原点对称，且在上严格增，符合所有条件， 综上，. 题型五　由幂函数的概念与性质求参数（共6小题） 【知识积累】 两步法：① 由“是幂函数”令系数等于 ，解出参数的可能值；② 逐个代入，用题目给的单调性、奇偶性、图象特征（过不过原点、与坐标轴有无公共点）检验取舍。 常用结论：图象不过原点、与 轴没有公共点 指数 ；在 上单调递减 。 【典例】 22．若幂函数在上为增函数，则（    ）．（26-27高三上·辽宁·开学考试） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义及单调性求参数即可. 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得或． 当时，在上为增函数； 当时，不是增函数，所以． 【变式训练】 23．已知幂函数在上单调递减，则（   ）（25-26高二下·湖北黄冈·期末） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先依据幂函数的定义求出的可能取值，再结合函数在上单调递减的性质筛选得到正确结果. 【详解】根据幂函数的定义可得 ，即，解得或， 又在上单调递减，可得，即， 所以. 24．已知，若幂函数是偶函数，则______________．（2026·上海浦东新·三模） 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 25．已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（    ）（26-27高三上·吉林长春·阶段检测） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】幂函数要求前面系数为， 所以，解得：，， 当时：，函数图象过，和轴有交点，舍去， 当时：，，与轴没有交点，符合条件. 故. 26．已知幂函数 的定义域不为 ，则（    ）．（26-27高三上·重庆·阶段检测） A． B． C． 为偶函数 D．对任意正数 ，都有 【答案】BCD 【分析】应用幂函数的定义得出参数，再代入结合奇偶性 【详解】由幂函数的定义可得：或1， 又由于定义域不为R，故，且为偶函数，A错误，B正确，C选项正确． 对于D，，，， 因为正数，，故有，故D正确． 27．若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ）（25-26高二下·浙江舟山·期末） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】由幂函数、奇偶性的性质，根据条件间的推出关系确定条件间的关系. 【详解】当，则，显然函数为非奇非偶函数，充分性成立， 当幂函数，则， 即，得或， 若，即为非奇非偶函数，满足， 若，即为奇函数，不满足，所以，故必要性成立， 综上，p是q的充要条件. 题型六　利用幂函数比较大小（共4小题） 【知识积累】 同指数、不同底数：构造幂函数 ，利用它的单调性比较，如 与 看 。 借助中间量：不能直接比较时，与 、 等中间量比较；底数为负数时，先用奇偶性化到 上再比较。 【典例】 28．若，则它们的大小关系是（ ）（26-27高一上·北京·期中） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造幂函数，利用函数的单调性，即可得到的大小关系. 【详解】由幂函数在上单调递增，且， 所以，即. 【变式训练】 29．已知，，则（   ）（26-27高二·山东·学业考试模拟） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，构造函数， 在上是增函数，， ， 即. 30．设幂函数的图象经过原点，若，则（ ）（26-27高一上·河南·期中） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以. 31．“”是“”的（   ）（25-26高二下·天津津南·阶段检测） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合幂函数的单调性和奇偶性，利用充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为是偶函数，且在上单调递增， 因此等价于， 当成立时，不一定成立，所以充分性不成立； 当成立时，不一定成立，所以必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 题型七　利用幂函数的单调性解不等式（共5小题） 【知识积累】 解题步骤：先确定幂函数的解析式，再判断它的定义域、奇偶性和单调性，把 转化为关于 、 的不等式。 注意定义域：如 等价于 ；偶函数要用 转化。 【典例】 32．若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________.（26-27高一上·全国·课后作业） 【答案】 【分析】构造幂函数，利用幂函数的单调性可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数，则由 ，可得，解得， 故实数的取值范围是. 由， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 【变式训练】 33．已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ）（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 34．已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________.（24-25高一上·广东深圳·期中） 【答案】 【详解】由题可设幂函数，则，即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 35．已知幂函数在上是严格减函数，其中，则的值为_________；关于的不等式的解集为_________．（26-27高三上·广东河源·阶段检测） 【答案】 【分析】①由幂函数的定义和单调性即可求解；②根据函数的单调性求出不等式的解集即可. 【详解】①因为幂函数在上是严格减函数， 所以，解得或， 当时，，在上是严格增函数，不符合题意，舍， 当时，，在上为严格减函数，符合题意，故； ②由幂函数在上是严格减函数可得，， 解得或，故解集为. 36．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ）（2026·江苏泰州·模拟预测） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据幂函数定义求出，根据函数解析式逐个判断即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 题型八　幂函数综合问题（共3小题） 【知识积累】 综合思路：先由幂函数的定义和性质确定解析式，再转化为二次函数在区间上的最值、函数的奇偶性与单调性、恒成立或有解问题。 构造函数：形如 的等式，构造 ，利用它是奇函数且单调递增求解。 【典例】 37．已知幂函数是偶函数．（2026·江苏镇江·模拟预测） (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义及奇偶性求出解析式. （2）由（1）的结论求出，按分类并结合二次函数性质求出最小值. （3）求出当时，在上的最大值，进而建立不等式，利用恒成立求解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式训练】 38．设，为实数，且满足则__________.（2026高一下·四川宜宾·竞赛） 【答案】2 【分析】可以构造函数，根据函数的单调性及奇偶性求解. 【详解】设，因为是增函数，是增函数， 所以为增函数. 又，所以为奇函数. 将，化为， 即， 因为为奇函数，所以， 又因为函数为增函数，所以，即. 39．限幅函数，与的图象存在三个公共点、、．（25-26高一下·海南海口·期末） (1)解关于的不等式； (2)求的取值范围； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）写出的解析式，分三种情况，得到不等式，求出不等式解集； （2）分，和三种情况，同一坐标系内，画出与的图象，数形结合得到答案； （3）求出三点坐标，作出辅助线，利用铅垂线法表达出的面积，利用基本不等式求出最值 【详解】（1）， 当时，，解得，所以， 当时，，解得，所以， 当时，，解得，所以， 综上，； （2）若，，此时与的图象无交点，不合要求，舍去； 若，同一坐标系内，画出与的图象，如下； 当过点时，，此时与的图象有两个公共点， 当过点时，，解得， 此时与的图象有两个公共点， 要想与的图象有三个公共点，需满足； 若，此时的图象位于第四象限，与无公共点， 综上，； （3）如图所示，中，令得，则， 令得，解得或0（舍去），则， 令得，所以， 设直线解析式为， 将和代入得，解得， 所以的解析式为， 过点作⊥轴，交于点， 则点的纵坐标与的纵坐标相等， 中，令得，解得， 故，则， 故，， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $