微专题 幂函数 8大题型（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

微专题 幂函数 【题型1 幂函数的定义 】 规律与方法 形如y＝xa的函数叫幂函数，它有三个特点： ①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数. 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】判断函数是否是幂函数 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 2．（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断函数是否是幂函数 【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断. 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 3.（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 【题型2 幂函数的解析式 】 规律与方法 1.幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式。 2.求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值。 1.（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【详解】由题意得，，则，则. 2.（25-26高一上·河南周口·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【详解】由题意得，解得，故， 所以. 3.（25-26高一下·浙江·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则______. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的一般式，由待定系数法求得解析式，再令，求得函数值. 【详解】设，代入点， 可得， 解得，所以， 所以. 【题型3 幂函数的图象 】 规律与方法 一般幂函数的图象与性质 ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 1.（26-27高一上·全国·课后作业）如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】由函数图像特征确定幂函数解析式特点，据此可得答案. 【详解】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况. 综上可得选：B. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】应用幂函数图象判断大小. 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的解析式、幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 【题型4 幂函数的定义域、值域 】 规律与方法 1.所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). 2.定义域主要是结合前面的一般函数求定义域的方法。 3.值域问题主要是结合图象或单调性解决问题。 1.（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【难度】0.63 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义和性质求解. 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得，或， 所以或 又函数的定义域为，所以，， 所以， 故选：D 2.已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、求与幂函数有关的复合函数定义域 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 3.（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【解答过程】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 【题型5 幂函数的单调性 】 规律与方法 幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 其他区间，需要结合奇偶性。 1.（24-25高三上·山东日照·开学考试）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断函数是否是幂函数、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据幂函数的定义及常用函数的单调性计算即可. 【详解】因为形如的函数为幂函数，显然A、C不符合定义，B、D符合幂函数定义； 又在上单调递减，在上单调递增，故D正确， 在上单调递增，在上单调递减，即C错误. 故选：D 2.（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或． 又在上单调递减，所以，所以． 3.（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【详解】因为为幂函数，所以，解得， 当时，，在上单调递增，不符合题意， 当时，，在上单调递减，所以， 所以 4.（25-26高二下·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据幂函数定义与性质可得，再利用“1”代换结合基本不等式运算求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 则，解得， 可得正实数a，b满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【题型6 幂函数的奇偶性 】 规律与方法 1.指数a为整数，则a是奇数,函数为奇函数，则a是偶数,函数为偶函数。 2.指数为 （p、q互质），（1）p，q都是奇数，函数为奇函数 （2） p是偶数，q是奇数函数为偶函数 （3） p是奇数，q是偶数，函数为非奇非偶函数。 1.（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知幂函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、由奇偶性求参数 【分析】根据幂函数和偶函数的定义进行求解即可. 【详解】因为该函数是幂函数， 所以，解得，或， 当时，， 因为， 所以函数不是偶函数，不符合题意； 当时，，此时定义域为全体非零实数， 因为， 所以函数是偶函数，符合题意， 所以. 故选：C 2.（2027高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，不符合题意； 当时，，定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，图象关于轴对称， 且在上是减函数，符合题意． 3.（25-26高二下·浙江舟山·期末）若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、函数奇偶性的定义与判断、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数、奇偶性的性质，根据条件间的推出关系确定条件间的关系. 【详解】当，则，显然函数为非奇非偶函数，充分性成立， 当幂函数，则， 即，得或， 若，即为非奇非偶函数，满足， 若，即为奇函数，不满足，所以，故必要性成立， 综上，p是q的充要条件. 【题型7 利用幂函数的性质解不等式 】 规律与方法 1.选择适当的函数，借助其单调性解不等式，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 2.注意函数的奇偶性及定义域。 1.（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的定义域、判断一般幂函数的单调性、由幂函数的单调性解不等式 【分析】先根据解得，继而确定的定义域与单调性，再结合定义域与单调性，解不等式即可. 【详解】∵幂函数的图象经过点，，解得， 故，. 因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得. 故选：C. 2.（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性解不等式 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 3.（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性解不等式 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 【题型8 幂函数性质的综合 】 规律与方法 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 1.（26-27高一上·福建·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的解析式、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性比较大小、比较函数值的大小关系 【分析】由是幂函数且图象经过原点确定的值及的解析式，再利用的单调性即可得解． 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又的图象经过原点，所以，即 因为，所以 ， 又因为在上单调递增， 所以 2.（多选 25-26高一上·江苏常州·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【难度】0.76 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的值域 【分析】由题意，结合幂函数的概念，可求得，代入函数解析式，根据幂函数的图像性质，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以，故A正确； 对于B选项，当时，，其定义域为， 且满足，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C选项，由可知，，， 所以，故C错误； 对于D选项，函数的值域为，故D正确. 3.（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.71 【知识点】求幂函数的解析式、根据函数是幂函数求参数值、根据二次函数的最值或值域求参数、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据幂函数的定义和幂函数的奇偶性求解即可； （2）利用二次函数的性质以及分类讨论法，根据函数的最值分析即可. 【详解】（1）由为幂函数，则， 即，解得：或， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为奇函数，不满足题意， 综上所述，函数. （2）由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意， 综上所述，的值为或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 幂函数 【题型1 幂函数的定义 】 规律与方法 形如y＝xa的函数叫幂函数，它有三个特点： ①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数. 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【题型2 幂函数的解析式 】 规律与方法 1.幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式。 2.求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值。 1.（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 2.（25-26高一上·河南周口·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 3.（25-26高一下·浙江·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则______. 【题型3 幂函数的图象 】 规律与方法 一般幂函数的图象与性质 ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 1.（26-27高一上·全国·课后作业）如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 2．（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【题型4 幂函数的定义域、值域 】 规律与方法 1.所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). 2.定义域主要是结合前面的一般函数求定义域的方法。 3.值域问题主要是结合图象或单调性解决问题。 1.（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 2.已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型5 幂函数的单调性 】 规律与方法 幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 其他区间，需要结合奇偶性。 1.（24-25高三上·山东日照·开学考试）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 3.（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B．4 C． D．2 4.（25-26高二下·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C． D． 【题型6 幂函数的奇偶性 】 规律与方法 1.指数a为整数，则a是奇数,函数为奇函数，则a是偶数,函数为偶函数。 2.指数为 （p、q互质），（1）p，q都是奇数，函数为奇函数 （2） p是偶数，q是奇数函数为偶函数 （3） p是奇数，q是偶数，函数为非奇非偶函数。 1.（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知幂函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D．1 2.（2027高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 3.（25-26高二下·浙江舟山·期末）若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【题型7 利用幂函数的性质解不等式 】 规律与方法 1.选择适当的函数，借助其单调性解不等式，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 2.注意函数的奇偶性及定义域。 1.（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【题型8 幂函数性质的综合 】 规律与方法 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 1.（26-27高一上·福建·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A．B． C． D． 2.（多选 25-26高一上·江苏常州·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 3.（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $