第6章 概率的进一步认识 高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第六章 概率的进一步认 P]高频考点突破 考点 用画树状图或列表的方法求 概率 典例1[2025陕西中考]某校召开趣味运动 会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支 队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决 赛时的赛道（从内到外的道次依次为1,2,3， 4),裁判组决定采用下面的方式：在一个不 透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字 1,2,3,4,这四个小球除所标数字外都相同， 每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的 小球上所标的数字作为该队的道次， (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出 一个小球，摸出标有数字1的小球的概率 为 (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随 机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒 中随机摸出一个小球.请利用画树状图或列 表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻 的概率 分析 (1)由题意知，共有4种等可能的结果，其 中摸出标有数字1的小球的结果有1种，利用 概率公式可得答案.(2)列表可得出所有等可 能的结果数以及甲、乙两队在决赛时赛道相邻 的结果数，再利用概率公式可得出答案 解答：(1)4 (2)列表如下： 2 3 4 1 (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) 识 聚焦高频考点，各个击破 由表知，共有12种等可能的结果，其中甲、 乙两队在决赛时赛道相邻的结果有(1,2)， (2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),共6种， ∴.甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率为 6 1 122 小结 本题考查用列表法或画树状图法求概率，注 意：无论是用列表法还是用画树状图法，各种结 果出现的可能性相同.列举各种情况时不能重 复，也不能遗漏.当事件经过三步或三步以上完 成时，一般用画树状图法求事件发生的概率 对应练习， 1.在5张相同的小纸条上，分别写有①√2； ②√⑧；③1；④乘法；⑤加法.将这5张 小纸条做成5支签，①②③放在不透明的 盒子A中搅匀，④⑤放在不透明的盒子B 中搅匀， (1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到无 理数的概率是 (2)先从盒子A中任意抽出2支签，再从 盒子B中任意抽出1支签.求抽到的2个 实数进行相应的运算后结果是无理数的 概率. 考点二利用概慨率判断游戏的公平性 典例2[2025西安高陵期中]数学兴趣活动 课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图①，他 们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、 41 数学（北师版）九年级上 大小、质地和背面图案都完全相同.小轩将 它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上 (1)若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的 是“高陵果子”的概率是 (2)若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不 放回)，小辉再从中随机抽取一张卡片，若这 两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉 赢.请你用列表或画树状图的方法说明这个 游戏是否公平.（注：水果是卡片D,E) 石头馍 葡 纸 桃 A D E (典例2图①) 分析 (1)利用概率的计算公式即可得到答案， (2)根据题意画出树状图，分别计算出小轩赢 或小辉赢的概率，然后比较即可得到答案， 解答：1) (2)画树状图如图②所示。 由图，可知共有20种等可能的结果，其中两 张卡片中没有水果的结果有6种，∴.小轩赢 的概率为易=高小样照的期率为片 ,147 3 7 10≠10这个游戏不公平 开始 (典例2图②) 小结 本题考查利用概率判断游戏公平性的问题，解 决问题的关键是先求各自获胜的概率再比较大小 对应练习 2.阅读如图所示的对话，并解答问题： (1)分别用a,b表示小冬从小丽、小兵袋 子中抽出的卡片上标有的数字，请用画树 42 状图法或列表法写出(a,b)的所有取值. (2)小冬抽出的(a,b)中，使关于x的一 元二次方程x2一ax十b=0有解时是小 丽赢，方程无解时是小兵赢，你觉得游戏 公平吗？请说明理由， 我的袋子中有 我的袋子中有 四张除数字外 三张除数字外 完全相同的卡片： 完全相同的卡片： 小丽 1 234 23 小兵 我先从小丽的袋子 中抽出一张卡片， 再从小兵的袋子中 小冬 抽出一张卡片. (第2题) 考点三用频率估计慨率 典例3[2025东莞校级期末]“一人一盔安 全守规，一人一戴平安常在.”下表是某厂质 检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的 情况.（单位：顶） 抽取的 500 1000 1500 2000 3000 4000 头盔数 合格 490 984 1470 196629463932 品数 合格 0.9800.9840.980 a 0.9820.983 品频率 (1)求出表中a ,估计这批头盔 中任意抽取一顶头盔是合格品的概率是 (结果精确到0.01). 第六章概率的进一步认识 (2)如果该厂生产的一批头盔共有50000顶， 小结 请估计这批头盔中合格的有多少顶 本题考查利用频率估计概率的方法，解决问 题的关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个 (3)这批头盔共有红、白、蓝三种颜色，小明 固定的近似值就是这个事件的概率」 的妈妈把这三种颜色的头盔各买了一顶.周 末，小明和姐姐出门玩，随机各取了一顶，请 对应练习， 用列表或画树状图的方法求出刚好一人取 3.[2025连云港期末]一个不透明的袋子里 到蓝色，一人取到红色的概率， 装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球 分析 除颜色外都相同.小明从袋子中随机摸一 (1)由表中数据可判断频率在0.98左右摆 个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制 动，从而利用频率估计概率.(2)用50000乘合格 了如图所示的统计图，根据统计图提供的 品的概率求解即可.(3)画树状图求解即可. 信息解决下列问题： 解答：(1)0.983；0.98. (1)摸到黑球的频率会接近 (精 (2).·该厂生产的一批头盔共有50000顶， 确到0.1). ∴.0.98×50000=49000（顶），即估计这批 (2)估计袋中黑球的个数为 头盔中合格的有49000顶. (3)若小明又将一些相同的黑球放进了 (3)画树状图如图所示，根据树状图可知，共 这个不透明的袋子里，再次进行摸球试 有6种等可能的结果，其中刚好一人取到蓝 验，当大量重复试验后，发现摸到黑球的 色，一人取到红色的结果有2种，.刚好 频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了 个黑球 人取到蓝色，一人取到红色的概率=2=】 63 个摸到黑球的频率 0.6 开始 0.5 0.4 010002000300040005000摸球次数 红蓝红白 (典例3图) (第3题) 的综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.[2025晋中平遥期末]一只蚂蚁在如图所示的位置向上爬，在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁 在每一个岔路口都会随机选择一条路径，那么这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率的大小 关系是 A.F的概率大 B.E的概率大 C.同样大 蚂蚁 D.无法比较 (第1题) 2.如图所示为一幅长3.2米、宽2米的矩形图片.为测量图片上大熊猫图案的面积，现将图 片平铺在地上，向矩形图片内随机投掷骰子，掷100次有12次落在大熊猫图案中，由此可 43代入，得a=5.同理，当抛物线过点N(12,一10)时，a= 6,由点D在MN之间（包括M,N两点），得a的取值范 玉是品<号 4 ⑤①②④①(x-2)2≥0，.-(x-2)2≤0. .y2=-(x-2)2-1≤-1<0.∴.无论x取何值，y2总 是负数.故①正确：②抛物线G:y1=a(x十1)2+2与抛 物线H:y2=一(x-2)2-1交于点B(1,一2)，∴.当x=1 时，y=-2,即-2=a(1+1)2+2,解得a=-1.∴.y1 一(x十1)2+2.∴.抛物线H可由抛物线G向右平移3个 单位长度，再向下平移3个单位长度得到.故②正确； ③：y1-y2=-(x+1)2+2-[-(x-2)2-1] 一6x十6，∴.随着x的增大，y1一y2的值减小.故③错误： ④设AC与DE交于点F,:当y,=-2时，一(x+1)2+ 2=一2，解得x=一3或x=1,.点A(-3,-2).当 y2=-2时，一(x一2)2-1=-2，解得x=3或x=1, .点C(3,-2).∴.AF=CF=3,AC=6.当x=0时，y1= 1,y2=一5，∴.DE=6,DF=EF=3.∴.四边形AECD为 平行四边形.又，AC=DE,.四边形AECD为矩形.又 ,AC⊥DE,∴.四边形AECD为正方形.故④正确 6(1)由题可设图象L,所在抛物线对应的函数表达式为 y=a(-号)+h.将B(3,0),A(0,1)分别代人，得 a(0-子)）+h=1 a=-1, a(8-号）+h=0 解得6-25.故y=-（-)'+ h=9 -x2+8x+1.(2)①：ED=1m,0D=5m, 9 ∴.点E的坐标为(5,1).当图象L2所在抛物线经过点E 时，设其对应的函数表达式为y=一x2+bx十c.将B(3, 17 9+3b十c=0, b-2 0),E(5,1)分别代入，得 解得 -25+5b+c=1, C=- 33 2” 故图象L2所在抛物线对应的函数表达式为y=一x2+ 1733 、17 14 ≤m<3 3 2 ⑦（①）”抛物线的对称轴是直线x=3…一a-3,解得 a=- 、1 小抛物线对应的函数表达式为y=一 x2+ 1 附：答案与解析 2x+4令y=0,则x=-2或8，A(-2,0),B(8,0). 3 ∴.AB=8-(一2)=10.(2)①由(1)知抛物线对应的函 数表达式为y=子女+号十4当=0时y=4,即 C(0,4),由点B,C的坐标得，直线BC对应的函数表达式 为y=一之x十4，由题意知点M的坐标为(m,-m十 1 多m+4)小点N的坐标为(m,m+),:MN 3 m+号m+4-（-m+4)=-子m2+2m 1 (m一4)2+4，∴.当m=4时，线段MN的长有最大 值，此时m+号m+=-子×+受×1什4=6 ∴.点M的坐标为(4,6).②存在.当点M在对称轴右侧 时，如图①，，MD⊥MN,交抛物线于点D,MN∥y轴，抛 物线的对称轴是直线x=3,点M的横坐标为m,∴.DM= 2(m-3),∠DMN=90°..当DM=MN时，△DMN为 等腰直角三角形.：MN的长为一m+2m,2(m 3)=-1 m2+2,解得m-26或-26（舍去）.当点M 在对称轴左侧时，如图②，：MD⊥MN,交抛物线于点D, MNy轴，抛物线的对称轴是直线x=3,点M的横坐标 为m,.DM=2(3-m),∠DMN=90°.∴.当DM=MN 时，△DMN为等腰直角三角形.：MN的长为-子m+ 2m,.∴.2(3-m)= m2+2m,解得8-2√0或8+ 1 2√10（舍去）.∴.m的值为2√6或8-2√10， y D ② (第7题) 第六章 概率的进一步认识 [高频考点突破] 0)子. (2)根据题意，画树状图如图所示.由图，可 知共有12种等可能的结果，其中抽到的2个实数进行相应 的运算后结果是无理数的有10种.∴.抽到的2个实数进 55 数学（北师版）九年级上 行相应的运算后结果是无理数的概率为 105 126 开始 ① ② ② ③ ① ③ ① ② ④⑤④⑤④⑤④⑤④⑤④⑤ (第1题) ②(1)由题意，列表如下： b 1 2 (1,1) (1,2) (1,3) 3 (2,1) (2,2) (2,3) w (3,1) (3,2) (3,3) (4,1) (4,2) (4,3) (2)游戏公平.理由：由(1)中表格，可知共有12种等可能 的结果，其中当△=a2一4b≥0时，方程有解；当△=a2一 4b<0时，方程无解.'△≥0的结果有6种，△<0的结果 6 61 有6种，小Pm=是=合P小=是=之 1 P小丽赢)=P小兵赢)·.游戏公平。 3(1)0.5.观察发现：随着摸球次数的增加，频率逐渐新 稳定在0.5附近，故摸到黑球的频率会接近0.5.(2)20. 摸到黑球的频率会接近0.5，∴黑球个数应为球的总个 数的一半..估计袋中黑球的个数为20.(3)10.设放 入黑球x个，则20十x=0.6(40十x),解得x=10. [综合素养提升] ①C画树状图如图所示.由树状图，可知一共有？种等可 能的结果，其中这只蚂蚁爬到树枝头E和F的结果都各有 1种，∴.这只妈蚁爬到树枝头E和F的概率相等 开始 AB C D E (第1题)》 目Q768估计骰子落在大装猎图案中的概率为品 0.12,,∴.估计图片上大熊猫图案的面积为0.12×(3.2× 2)=0.768(平方米). O号画树状图如图所示.由图，可知共有12种等可能的 结果，其中两个三角形有公共边的结果有6种，∴.这两个 56 三角形有公共边的概率是2一2 61 开始 ① ② ③ ④ 个 ②③④①③④①②④①②③ (第3题) ④ 1 2 列表如下： K K K K K (K1,K2) (K1,K3) (K,K) K2 (K2,K) (K2,K3) (K2,K) 《 (K,K) (K3,K2) (K,K) K (K,K) (K,K2) (K,K3) 由表，可知共有12种等可能的结果，其中灯泡会亮的结果 有6种“灯泡会亮的概率为号一之 0子 扩张后，两个三角形相似，两个菱形相似，两 个矩形不相似，故随机抽取一张，共有3种等可能的结果， 其中抽中扩张后图形与原图形相似的结果有2种，∴.P= 2 3. (2)画树状图如图所示.由树状图，可知共有6种等 可能的结果，其中抽取的两张卡片扩张后与原图形均相似 的结果有2种，放P=2=1 63 开始 ① ③ ②③①③①② (第5题) ⑥(1)小明转动一次转盘A,指针指向数字2的概率是 (2)不公平.理由：根据题意，画树状图如图所示.由 图，可知共有12种等可能的结果，其中差为负数的结果有 6种幸为正数的指果有4种：小鞋的概率是号， 小明脂的概率是壶-子：子>行这个游戏对双方 不公平.设计的游戏规则不唯一，如若差为负数，则小春胜； 若差为非负数，则小明胜 开始 被减数 减数344344344344 (第6题)