第六章 概率的进一步认识（复习课件）数学新教材北师大版九年级上册

第六章 概率的进一步认识 复习课件 北师大版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 基础达标 能力提升 素养目标 02 掌握核心方法 熟练运用列表法、树状图法计算随机事件的概率，掌握利用大量重复试验的频率估计概率的方法，能规范判断游戏公平性。。 01 理解核心概念 准确理解两步及以上随机试验的概率内涵，清晰区分放回试验与不放回试验、频率与概率的概念差异，明确概率的稳定性特征。 03 提升解题能力 能辨析复杂随机试验的所有等可能结果，规避放回与不放回试验的解题误区，提升概率综合应用和实际问题建模求解能力。 04 体验数学思想 渗透分类讨论、数形结合、统计与概率的建模思想，体会随机现象的规律性，培养数据分析和逻辑推理核心素养。 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1. 区分放回试验与不放回试验的结果差异，准确列举所有等可能结果； 2. 频率与概率的辩证关系理解，区分试验频率与理论概率； 3. 结合实际情境构造概率模型，解决综合性概率应用问题。 1. 用列表法、树状图法求解两步及以上随机试验的概率； 2. 利用频率稳定性估计随机事件的概率； 3. 利用概率判断游戏公平性。 4 随机事件 大量试验 计算评判 事件发生的概率 事件发生的频率 估计 用频率估计概率 列表法 画树状图法 用列举法求概率 知识图谱 考点串讲 ——1：树状图法与列表法求概率 1.树状图 （1）定义：树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： (1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. （2）适用场合： 当一次试验要涉及2个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 6 考点串讲 ——1：树状图法与列表法求概率 （3）用树状图求概率步骤 具体 步骤 (1)定：确定试验的几个因素(或几个步骤)及其顺序； (2)画：列举每一步可能出现的结果，画出树状图； (3)数：分别数出该试验中所有等可能出现的结果总数n 和所求事件A 出现的结果数m； (4)算：代入公式P(A)=计算 考点串讲 ——1：树状图法与列表法求概率 2.列表法 （2）适用场合： 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 要点： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时， 求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. （1）定义：列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 8 考点串讲 ——1：树状图法与列表法求概率 （3）列表法解题步骤 具体 步骤 (1)列：分清试验所涉及的两个因素(或两个步骤)，将其中一个作为横行，另一个作为竖列，列出表格； (2)数：通过表格中的数据，分别数出该试验中所有等可能出现的结果总数n 和所求事件A 出现的结果数m； (3)算：代入公式P(A)=计算 考点串讲 ——1：树状图法与列表法求概率 3.两种方法对比 方法 适用场景 优点 注意事项 列表法 树状图法 4. 核心计算公式： 两步试验， 每步结果数量较多 两步及以上试验 （三步及以上首选） 简洁直观，不易重复、遗漏结果 层级清晰，适配多步复杂试验 仅适用于两步试验，多步试验不适用 需分层列举，规范书写层级结构 10 考点串讲 ——1：树状图法与列表法求概率 5. 区分放回试验与不放回试验 6.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 放回试验： 每次试验后物体放回，每次试验的总结果数不变，各次试验相互独立； 不放回试验： 每次试验后物体不放回，下一次试验总结果数减少，结果不重复。 11 考点串讲 ——2：用频率估计概率 1.频率与概率的定义 （1）频率： 在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. （2）概率： 事件A的频率接近于某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 要 点 （1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 12 2. 频率与概率的区别和联系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 考点串讲 ——2：用频率估计概率 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的， 当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定， 当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近 考点串讲 ——2：用频率估计概率 3.频率稳定性定理： 当试验次数足够大时，随机事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率。 5.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 4. 适用场景： 当随机试验的所有结果无法一一列举、不满足等可能条件时，只能用频率估计概率。 6.易错点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.频率不等于概率，只能作为概率的近似值，试验次数越多，估计越准确。 14 考点串讲 ——3：概率与游戏公平性） 1.判断依据： 游戏公平 ⇔ 双方获胜的概率相等 参与游戏的各方获胜的概率相等，则游戏公平； 概率不相等，则游戏不公平。 2. 解题步骤： ① 列举所有等可能结果； ② 分别计算各方获胜概率； ③ 比较概率大小，判断公平性； ④ 不公平则修改规则（使双方概率相等）。 列表树图列全解，算出双方获胜概； 概率相等才公平，不等就要改规则。 15 考点串讲 ——3：概率与游戏公平性） 3.解题步骤 ①用树状图或列表列出全部等可能结果； ②分别数出甲获胜、乙获胜对应的结果个数； ③分别计算两人获胜概率； ④比较概率大小，判断公平性； ⑤若不公平，修改游戏规则（方案不唯一）。 修改规则思路： ① 调整得分：概率大的一方获胜得分降低； ② 改变判定条件，使双方获胜概率相同。 16 考点串讲 ——3：概率与游戏公平性） 4、常见易错点 ①列举结果时，不是等可能的情况不能算； ②只比较结果数量，不计算概率直接判断公平（错误）； ③修改规则时，只改文字描述，没有让概率相等； ④分数没有化成最简； ⑤审题忽略 “放回、不放回”，列举结果出错。 17 题型全解 题型01 列表法求两步试验概率 例1.（2026河北中考）掷两枚质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6的点数)，若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为n的概率相等，则n= ( ) A.3 B.4 C.11 D.12 解：列表如下: ∴掷两枚质地均匀的骰子，所有等可能的结果共有6×6=36(种)， 点数之和为2的结果只有1种， ∴点数之和为2的概率为 对各选项逐一验证：当n=3时，共2种， 故A选项不符合题意； 当n=4时,共3种, 故B选项不符合题意； 当n=11时,共2种, 故C选项不符合题意； 当n=12时,共1种, 与点数之和为2的概率相等，故D选项符合题意. D 18 题型全解 题型01 列表法求两步试验概率 例2. （2026江西中考）如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律,共包括“乾、坤、震、巽(xùn)、坎、离、艮(gèn)、兑”八个卦象.每个卦象由三个爻(yáo)组成，其中“一”表示阳爻，“==”表示阴爻. (1)若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是 ； (2)现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率. (1)八个卦象中只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个， ∴从中随机抽取一个卦象，抽到的卦象只有两个阳爻的概率是 ， (2)记乾、坤、震、巽分别为a,b,c,d,列表如下:   a b c d a (b,a) (c,a) (d,a) b (a,b) (c,b) (d,b) c (a,c) (b,c) (d,c) d (a,d) (b,d) (c,d) 可知共有12种可能的结果， 每种结果出现的可能性相同， 其中满足条件的结果 19 【详解】解：列表如下： 题型全解 题型01 列表法求两步试验概率 例3（2025·吉林·中考真题）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动需分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率． 小顺 小利 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中参与者小顺和小利被分配到同一组的结果数有3种， ∴参与者小顺和小利被分配到同一组的概率为． 20 题型全解 题型01 列表法求两步试验概率 例4．农历正月十五是我国的传统节日——元宵节，这一天人们有吃汤圆的习俗．今年的元宵节，圆圆爸爸给圆圆准备了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅的，一个汤圆是豆沙馅的，还有两个汤圆是芝麻馅的，这四个汤圆除了馅以外，其他都一样． (1)圆圆吃了其中两个汤圆，求这两个汤圆都是芝麻馅的概率； (2)圆圆吃了三个汤圆后，剩下的汤圆是芝麻馅的概率是 ． 解：（1）解：由题意知，可列表如下   花生 豆沙 芝麻 芝麻 花生   （花生，豆沙） （花生，芝麻） （花生，芝麻） 豆沙 （豆沙，花生）   （豆沙，芝麻） （豆沙，芝麻） 芝麻 （芝麻，花生） （芝麻，豆沙）   （芝麻，芝麻） 芝麻 （芝麻，花生） （芝麻，豆沙） （芝麻，芝麻）   吃的两个汤圆共有12种等可能的情况，都是芝麻馅的汤圆共有4种情况 ∴吃的两个汤圆中，都是芝麻馅的概率为． 21 题型全解 题型01 列表法求两步试验概率 例4．农历正月十五是我国的传统节日——元宵节，这一天人们有吃汤圆的习俗．今年的元宵节，圆圆爸爸给圆圆准备了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅的，一个汤圆是豆沙馅的，还有两个汤圆是芝麻馅的，这四个汤圆除了馅以外，其他都一样． (1)圆圆吃了其中两个汤圆，求这两个汤圆都是芝麻馅的概率； (2)圆圆吃了三个汤圆后，剩下的汤圆是芝麻馅的概率是 ． （2）解：第四个汤圆馅的可能性： 花生馅，豆沙馅，芝麻馅1，芝麻馅2 一共4种等可能的情况， ∴是芝麻馅的概率为 22 题型全解 方法总结 1.两步试验优先用列表法，严格区分放回与不放回； 放回试验结果总数不变，无空值； 不放回试验无重复结果，需剔除自身配对情况，保证结果不重不漏。 2.列表时, 数据或事件的顺序不能互相颠倒。 例如，(1,2)与(2,1)不是相同的事件,尽管在有些情况下它们的意义或结果是相同的。 3.当试验包含两步时，用列表法比较方便，当然此时也可用画树状图法。 题型01 列表法求两步试验概率 题型全解 题型02 树状图法求多步试验概率 例5.（2025·吉林长春·中考真题）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 解：由题意得，可画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数， 其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种， ∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是． 24 题型全解 题型02 树状图法求多步试验概率 例6（2025·陕西·中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 25 题型全解 题型02 树状图法求多步试验概率 例6（2025·陕西·中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； （1）解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 26 题型全解 题型02 树状图法求多步试验概率 例6（2025·陕西·中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． （2）解：依题意，画树状图如下所示： ∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种， ∴这两个小组研究方向不同的概率 P． 27 解：设甲的生肖为A，乙的生肖为B，丙的生肖为C，梳妆图如下：   共有27种等可能情况，其中符合三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的有1种， 所以，三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率=， 题型全解 题型02 树状图法求多步试验概率 例7.甲、乙、丙三位同学分别用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制成了表示自己生肖的图案，将三张卡片背面朝上洗匀，三人各抽一次（抽后放回，洗匀后第二人再抽），三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率为（    ） A． B． C． D． D 28 题型全解 题型02 树状图法求多步试验概率 方法总结 方法1 树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解 方法2 三步及以上试验必须用树状图，按照“分步分层、依次列举”原则，从上到下逐层列出所有可能结果；统计符合条件的结果数时，逐一核对，避免漏数、多数。 题型全解 题型03 频率估计概率应用 例8．下列说法中，正确的是（    ） A．随机事件的发生具有偶然性，即使反复试验也没有规律可循 B．随机事件的发生具有规律性，第一次试验往往代表最后结果 C．试验的次数越少，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近 D．试验的次数越多，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近 解： A、随机事件的发生具有偶然性，但反复试验也有规律可循，故本选项错误； B、随机事件的发生具有规律性，第一次试验不一定代表最后结果，故本选项错误； C、试验的次数越少，频率的分布越不集中，不一定稳定在一个数附近，故本选项错误； D、试验的次数越多，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近，故本选项正确； D 30 题型全解 题型03 频率估计概率应用 例9.（2026江苏扬州中考）工厂对某批零件进行质检，结果如下： 抽取的零件数 100 200 300 500 1 000 2 000 3 000 优等品的频数 91 189 277 466 929 1 862 2 789 优等品的频率 0.910 0 0.945 0 0.923 3 0.932 0 0.929 0 0.931 0 0.929 7 从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为 (结果精确到0.01). 解：由表格中的数据可知， 随着抽取零件数增大， 优等品的频率逐渐稳定在0.93附近， 因此任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为0.93 0.93 31 题型全解 题型03 频率估计概率应用 例10．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表： 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（   ） A． B． C． D． 解：当抛掷次数较小时（如20次、60次等）， 频率波动较大（、等）， 当次数增加到500次及以上时，频率稳定在， 所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为． B 32 题型全解 题型03 频率估计概率应用 例11. （2024·江苏扬州·中考真题）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01） 解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53， 0.53 33 题型全解 题型04 游戏公平性判断与改造 例12．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． （1）解： ∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张， 且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 34 题型全解 题型04 游戏公平性判断与改造 例12．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为， 小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 35 题型全解 题型04 游戏公平性判断与改造 例13．（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． （1）解：画树状图如下：   由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种， ∴甲获胜的概率为； 36 题型全解 题型04 游戏公平性判断与改造 例13．（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． （2）解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种， ∴乙获胜的概率为， ∵， ∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 37 题型全解 方法总结 1.判断游戏公平性的两种类型 (1)若游戏中不计得分情况，可通过计算概率来判断是否公平。若概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平。 (2)若游戏中涉及得分情况，先计算出概率，再根据游戏规则中规定的得分方法，分别计算出得分，若得分相同，则游戏公平；若得分不同，则游戏不公平。 2.公平性核心是双方获胜概率相等；把不公平的游戏变公平的方法： （1）改变游戏规则，使双方获胜的概率相等. （2）改变游戏得分，使双方平均每次游戏所得的分数相等. 题型04 游戏公平性判断与改造 题型全解 题型05 统计与概率的综合 例14.（2026 四川乐山中考）某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A.《论语》，B.《史记》，C.《天工开物》，D.《九章算术》.刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况(每人限选一种)，并将调查结果绘制成统计图表，如图所示. 课程 内容 人数 A 《论语》 21 B 《史记》 9 C 《天工开物》 12 D 《九章算术》 m 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有 人，表中m的值为 ； (2)现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A 和课程B 的概率. (1)解：根据题意,得本次调查的学生一共有： 12÷20% =60(人), ∴表中m的值为60-21-9-12=18, 60 18 39 题型全解 题型05 统计与概率的综合 例14.（2026 四川乐山中考）某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A.《论语》，B.《史记》，C.《天工开物》，D.《九章算术》.刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况(每人限选一种)，并将调查结果绘制成统计图表，如图所示. 解：(2)由题列表如下： (2)现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A 和课程B 的概率. A B C D A (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) 由表可知共有12种等可能的结果，其中恰好选到课程A和课程B的结果有2种， ∴P(恰好选到课程A和课程B] 方法总结：本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法， 熟练掌握条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体以及列表法与树状图法求概率是 解答本题的关键． 40 题型全解 方法总结 1.先统计，后概率，先从图表提取数据，完成统计相关计算；再做随机抽取，计算概率。 2.解题步骤 ►根据图表已知频数和占比，算出样本容量； ►计算未知频数、百分比、扇形圆心角，补全统计图； ►排序求中位数、找众数，计算平均数； ►样本估计总体，估算总体中对应人数； ►列表 / 画树状图，写出所有等可能情况，数出符合条件情况，求概率。 题型05 统计与概率的综合 针对训练 1.下列说法正确的是（   ） A．口袋中有3个白球，2个黑球，1个红球，它们除颜色外都相同，因为袋中共有3种颜色的球，所以摸到红球的概率是 B．掷一枚硬币两次，可能的结果为两次都是正面，一次正面一次反面，两次都是反面，所以掷出两次都是反面的概率为 C．天气预报“明天降水概率为10%”，是指“明天有10%的时间会下雨” D．随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的概率是 解：A、摸到红球的概率＝，所以A选项错误； B、画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中掷出两次都是反面的结果数为1，所以掷出两次都是反面 的概率＝，故B选项错误； C、天气预报“明天降水概率为10%”，是指有10%的可能性下雨，所以C选项错误； D、随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的结果数为2、4、6，所以偶数点朝上的 概率＝，故D选项正确 D 针对训练 2.某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为（    ）. A． B． C． D． 解：因为一共有9个小正方形，其中黑色小正方形有5个， 所以选手获得笔记本的概率为， D 3.一个不透明的箱子里装有个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出的值为　　 A．3 B．5 C．10 D．12 解：由题意知，的值约为， 针对训练 4．一个不透明的口袋中装有个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入两个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为　　 A．18 B．20 C．22 D．24 解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 5.小星同学通过大量重复的定点投篮练习， 用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是( ) A. 小星定点投篮1 次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1 次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10 次，一定投中4 次 D. 小星定点投篮4 次，一定投中1 次 A 针对训练 6.做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 0.520 下面有3个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中所有合理推断的序号是　　 A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512， 但“正面向上”的概率不一定是0.512，本小题推断不合理； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动， 显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，本小题推断合理； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时， 出现“正面向上”的次数不一定是1558次，本小题推断合理； 针对训练 7.在一个不透明的袋子中放入15个红球和若干个白球（球除了颜色不同外其余都相同），如果从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中白球有　　 A．5个 B．10个 C．15个 D．25个 解：设袋中白球有个，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 答：袋中白球约有10个． 针对训练 8．（2025·山西·中考真题）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“ ”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子． 当“ ”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“ ”回到格子A的概率是 ． 解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； （1）解：∵有4种体育类活动供学生选择： A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子， ∴选中“乒乓球”的概率是 ， 针对训练 9.（2025·江苏扬州·中考真题）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． (1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． （2）解：画树状图为：   针对训练 9．（2025·江苏扬州·中考真题）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． (1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是． 针对训练 10．（2025·四川遂宁·中考真题）横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 针对训练 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （）请补全频数分布直方图； （）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； （）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 解：（）∵， ∴本次共抽取了名学生的模具设计成绩， ∴组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第和第个数据的平均数， ∴中位数分， 组对应圆心角的度数为， （）补全频数分布直方图如下： 针对训练 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （）请补全频数分布直方图； （）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； （）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． （）， 答：估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数为人； （）画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为： ． 针对训练 11．（2025·青海·中考真题）为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________； (2)补全条形统计图； (3)该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ (4)甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． （1）此次被调查的学生总人数为（人）， ∴， ∴， 针对训练 11．（2025·青海·中考真题）为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________； (2)补全条形统计图； (3)该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ (4)甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． （2）抽取部分学生对课程感兴趣的学生有： （人）， 补全条形统计图如图， 针对训练 11．（2025·青海·中考真题）为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________； (2)补全条形统计图； (3)该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ (4)甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． （3）解：人， 答：估计该校对感兴趣的学生有人； 针对训练 11．（2025·青海·中考真题）为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程）， (4)甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． （4）方法①：列表格， 甲乙                                                                                                                         如表格所示，共有种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有种：，，，， ∴； 针对训练 11．（2025·青海·中考真题）为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程）， (4)甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． （4）方法②：画树状图， 如树状图所示，共有种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有种：，，，， ∴； 单元总结/易错复盘 ·知识点回顾 （1）两步试验用列表法，多步试验用树状图法，是求理论概率的核心方法； （2）放回试验结果可重复、总数不变，不放回试验结果不重复、总数递减； （3）频率是动态试验值，概率是固定理论值，大量试验下频率趋近于概率； （4）游戏公平性的唯一判断标准：双方获胜概率相等。 ·方法与数学思想 方法： 列举法（列表、树状图）、频率估计法、概率建模法； 思想： 分类讨论思想 （分类列举结果）、 数形结合思想 （图表辅助解题）、 随机思想、建模思想。 ·高频易错提醒 （1）混淆放回与不放回试验，导致结果总数统计错误； （2）三步及以上试验误用列表法，造成结果遗漏； （3）误认为频率就是概率，忽略“试验次数足够大”的前提； （4）判断游戏公平性时，只比较结果数量，不计算概率，导致判断失误； （5）列举结果时出现重复、遗漏，概率计算分母、分子对应错误。 58 北师大版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $