专题06 二次函数中的特殊四边形存在性问题（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题06 二次函数中的特殊四边形存在性问题 常考题型·精准突破 题型1 二次函数中的平行四边形存在性问题（难） 题型2 二次函数中的矩形存在性问题（难） 题型3 二次函数中的菱形存在性问题（难） 题型4 二次函数中的正方形存在性问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二次函数中的平行四边形存在性问题 1．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数与平行四边形的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据抛物线与轴交于两点，则，，即可得出； （2）理解题意，结合点为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，运用中点公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； （2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 2．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线经过点B、点C，且与x轴交于另一点A．点P为线段上的一个动点，连接，在上方作，交抛物线于点E． (1)请求出抛物线的解析式及点A的坐标； (2)如图2，当平分时，请求出的长； (3)点N是y轴上的一点，在（2）的条件下，抛物线上是否存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，M坐标为或或 【分析】（1）由直线求出点B和点C，再利用待定系数法求抛物线的解析式，令求点A的坐标； （2）过P作，垂足为Q，根据等腰直角三角形的性质和角平分线的定义，说明，证明是等腰直角三角形，得到，再求出P、E的坐标，最后求； （3）分两种情况求解：线段作为平行四边形的一条边或对角线，根据平行四边形对角线互相平分，数即可求解点M的坐标． 【详解】（1）解：当时，；令，， ∴点，点， ∵抛物线经过点B、点C， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 令，得或， ∴点A的坐标为． （2）解：过P作，垂足为Q， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 令，得或， ∴， 令，得， ∴， ∴． （3）解：存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点M坐标为或或．理由如下： 由（2）可知，，， ∵点N是y轴上的一点，点M在抛物线上， ∴设点的坐标为，点的坐标为， 当线段作为平行四边形的一条边时， 则或， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴点M的坐标为或； 当线段作为平行四边形的对角线时， 则，解得， 此时， ∴点M的坐标为， 综上，点M坐标为或或． 3．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点和点，与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作轴，交直线于点Q，设点P的横坐标是m．求线段的长度n关于m的函数关系式； (3)若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或． 【分析】本题主要考查的是二次函数综合运用、一次函数图象的平移、平行四边形性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将点和点代入抛物线求得a、b的值即可解答； （2）先求出直线的表达式为：，则点，，据此即可解答； （3）分是边、是对角线两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线可得： ，解得：， ∴． （2）解：∵， ∴， 如图：设点且， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴点， ∴，即． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， 点，点，设点，，点， ①当是边时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到B， 同样点向右平移3个单位向上平移3个单位得到，即，， 解得：或4， ∴M点的坐标为或； ②当是对角线时， 由中点公式得：， 解得：， ∴M点的坐标为． 综上，M点的坐标为或或． ◆题型2 二次函数中的矩形存在性问题 4．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上一点，是抛物线上一点，当轴且时，求点的坐标； (3)是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点且以为边的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或； (3)或． 【分析】（1）已知抛物线过原点和点，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于系数、的方程，求解即可得到解析式． （2）先求出直线的解析式，设点横坐标为，由轴可知点横坐标也为，分别表示两点纵坐标，根据列方程，结合在线段上的条件确定的值，从而得到点坐标． （3）先求点坐标，再根据矩形的性质（对角线相等且互相平分、邻边垂直），分2种情况（为对角线、为对角线），利用中点坐标公式和勾股定理列方程求解，得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过原点， ∴， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线表达式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵直线过， ∴， 解得 ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 即， 当时，， 解得或， ∴或， 当时，， 解得（舍去）或， ∴， 综上，点M的坐标为或或； （3）解：联立， 解得或， ∴， 情况1：当为对角线时， 设，， ∵矩形对角线互相平分， ∴，， ∵， 由勾股定理：， ， 代入， 解得，，或，，（舍去）， ∴， ∴， 情况2：当为对角线时， 设，， ∵矩形对角线互相平分， ∴，， ∵， 由勾股定理：， ， 代入， 解得，，或，(舍去)， ∴，， ∴， 综上，的坐标为或． 5．（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用顶点坐标设顶点式即可得到函数解析式，分别令、求解，即可得到点，，的坐标； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，通过作铅垂线得到点与直线上对应点的纵坐标差即铅垂高，代入面积公式得到面积关于横坐标的二次函数，根据二次函数的性质即可求出面积最大时点的横坐标； （3）先计算的长度与中点坐标，依据矩形对角线相等且互相平分的性质，分在轴、轴两类设点坐标，由中点公式表示出点坐标，结合对角线长度列方程求解，舍去不合理解后即可得到所有符合条件的点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， ∵抛物线的顶点为， ∴，，， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴， 令，则， 解得或， ∴，； （2）解：设直线表达式为，代入，得 ， 解得， ∴直线表达式为， 设点横坐标为，则， 如图，过点作轴的垂线，交于点，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积取得最大值， 即当面积最大时，点的横坐标为； （3）解：∵，， ∴，中点为即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴，中点为， 点是坐标轴上一点，故分两种情况讨论： ①当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ∴， ∴； ②当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或； 综上，点的坐标为或或． 6．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为， (3)存在，点E的坐标为或或或 【分析】（1）利用对称轴公式可得，再结合点C的坐标利用待定系数法求解即可； （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ∴，即面积的最大值为， ； （3）解：由题意可得：， 抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴，， 如图：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴于点， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 如图：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于点， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 如图：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依题意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或． 综上，存在点，其坐标为或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． ◆题型3 二次函数中的菱形存在性问题 7．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求b，c的值； (2)如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)b的值为的值为3 (2)或或或 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）求出平移后的解析式，求出点坐标，根据菱形的性质，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入， 得：， 解得：； ∴b的值为的值为3； （2）解：存在，或或或，理由如下： 由（1）知：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得：， ， ， ∴抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线为， 联立：， 解得：， ， 设， ， ， 情况1：为菱形的边： ①当时，， 解得：或， ∴或； ②当时，， 解得：（舍去）或， ∴； 情况2：为菱形的对角线： ③当时，，解得：， ∴， 综上：或或或． 8．（2025·江苏镇江·一模）如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）表示，再表示三角形的面积求解即可； （3）设，利用勾股定理，中点坐标公式，分类求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线对称轴， 设， ∴当时，， ∴， 当时，得，整理，得， 解得（舍去）． ∴点的坐标为； （3）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 设， 当为对角线时，如图，点C的横坐标为，此时纵坐标为， 故为，根据菱形的对称性质，得到点为 当为边时，也为边时，根据题意，得， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ， 解得， 故或， 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 当为边时，为对角线时， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ，解得（舍去），， 故 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 综上可知点D的坐标为或或或 ． 9．（2025·山东泰安·三模）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，分别用含的代数式表示出、的坐标，进而可得，再根据，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值； （3）分四种情形：当点M在线段上，，四边形是菱形时；当是菱形的对角线时，四边形是正方形；当点M在延长线上时，，四边形是菱形时；当点M在延长线上时，，四边形是菱形．分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y； （2）解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． ◆题型4 二次函数中的正方形存在性问题 10．（26-27九年级上·江苏·寒假作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)若点、在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点，，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）先求出直线，设，直线与轴交点为，当在上方时，过点作于点，可得，设直线，与抛物线表达式联立得，，得到，设，那么由韦达定理可得，则，而，则得到，解得或（舍），故；当在下方时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）解：存在，理由如下： 对于，当时，， ∴， 设直线 ∵点， ∴， 解得， ∴直线， 设，直线与轴交点为， 当在上方时，过点作于点，如图： ∵正方形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴由得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设直线， 与抛物线表达式联立得，， ∴， 设 ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴； 当在下方时，过点作于点，如图： 同理可得，，， ∵， ∴设直线， 与抛物线表达式联立得，， ∴， 设 ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴； 综上：的长为或． 11．（2026·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为； (3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或或． 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得二次函数的表达式； （2）设，作轴于点，则，，利用割补法，可得，即可得面积的最大值； （3）由待定系数法，可得直线的解析式为，设，由轴，可得，根据题意进行分类讨论，结合正方形的性质，即可得点坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，， ∴， 解得， ∴． （2）解：在中，令，得， ∴， 设， ∵点在直线上方，，， ∴，， 作轴于点，则，， 用割补法求面积： ∵的面积等于梯形的面积加的面积减去的面积， 梯形的面积， 的面积， 的面积， ∴面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，点在上方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形是正方形，点在下方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为或或． 综合攻坚·知能拔高 一、解答题 1．（2026·海南海口·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若是平分线上的一点，是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）当时，，即，则，由题意知，以，，，为顶点的四边形是矩形，分①当为边，②当为对角线两种情况求解；①当为边时，连接，作的平分线，连接，使轴，作交于，作轴于，证明，则，，设，则，，，可求，即，待定系数法求直线的解析式为，当时，，即，由矩形的性质可求点的坐标；②当为对角线时，作的平分线，连接，使于，作矩形，连接，交于，则，设，则，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，即，设，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，，即， ∴， 由题意知，以，，，为顶点的四边形是矩形，分①当为边，②当为对角线两种情况求解； ①当为边时，如图，连接，作的平分线，连接，使轴，作交于，作轴于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∵以，，，为顶点的四边形是矩形， ∴点的坐标为； ②当为对角线时，如图，作的平分线，连接，使于，作矩形，连接，交于，则， 由①可知，直线的解析式为， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， 设， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或 2．（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 3．二次函数（）的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当P、B两点关于抛物线对称轴对称，是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标． 拓展设问：点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限内的抛物线上时，是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；拓展设问：存在， 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式即可． （2）抛物线的对称轴为直线，点关于抛物线对称轴对称，得出点，设，根据勾股定理得并代入数值，可求出，即可求得点的坐标． 拓展设问：设，得出，，，，分别代入和中，即可求出和点的值，设点构图后，再利用勾股定理可得点的坐标． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）是以点为直角顶点的直角三角形时，. ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点关于抛物线对称轴对称，， ∴点， 设， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴， ∴. 拓展设问：解：存在，设，其中，，，， ①当时，即， ∴， ∴， 解得（舍）或（舍）； ②时， 即， ∴， 解得（舍）或， ∴， 设所在直线的一次函数关系式为 又∵点，点， ∴ 解得 ∴所在直线的一次函数关系式为 ∵四边形为矩形， ∴ ∴可设所在直线的一次函数关系式为 将点代入中， 即 解得 ∴所在直线的一次函数关系式为， 设点，可构图如下，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，即 ，连接，， ∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 解得： ∴点 综上所述，. 4．（2026·山东东营·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)点、点分别是对称轴、二次函数图象上的动点，是否存在以、、、四点为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)的最大值为． (3)点或或存在以、、、四点为顶点的平行四边形． 【分析】（1）根据待定系数法，求出，，即可得到函数解析式； （2）过点作于点，作于点，交于点，根据等腰直角三角形的性质，求出，根据抛物线求出对称轴，求出点的坐标，根据两点间的距离公式求出， 要使的值最大，则需取到最大值，即可；设过点与平行的直线的解析式为：，当直线：与抛物线相切时，有最大值；联立可得：，分别求出点，点的坐标，求出，根据勾股定理求出，即可得到三角形的面积； （3）设点，，分类讨论：①当为边时，四边形是平行四边形，②当为对角线时，四边形是平行四边形，求出的坐标，即可． 【详解】（1）解：∵的图象与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：过点作于点，作于点，交于点， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， 抛物线的对称轴为：， ∴， ∴点， ∵点， ∴， ∵， ∴要使的值最大，则需取到最大值，即可； 设过点与平行的直线的解析式为：，当直线：与抛物线只有一个交点时，取到最大值，即取到 最大值； ∴， 整理得：， 由得，， 求得：； ∴， 解得：， ∴当，，即点； 当，，即点； ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： ∵点在对称轴上， ∴设点； ∵点在二次函数图象上， ∴设， ①当为边时，四边形是平行四边形， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴当时，， ∴点； 当时，， ∴点； ②当为对角线时，四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ∴， ∴点； 综上所述，点或或存在以、、、四点为顶点的平行四边形． 5．（2025·山东东营·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，满足条件的点M的坐标有或或 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式，求出解即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，根据已知条件确定是等腰直角三角形，可得，根据最大时，最大，然后求出直线解析式，并表示出，讨论极值，可得答案； （3）当平行四边形以为平行四边形的边时和以为对角线时，讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵点，点在抛物线 的图象上， ， 解得：，， 抛物线的解析式为． （2）解：过作于点，过点作轴交于点，如图1： ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设， 则， ， ， 当时，最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大． （3）解：存在，满足条件点的坐标为或或，理由如下， 当以为平行四边形的边时，如图2， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标为； 当以为平行四边形的边长时，如图3， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标是； 当以为对角线时，如图4， ，， 线段的中点的坐标为，即， ， 解得， ， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标为或或． 6．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2) (3)符合条件的点有三个，坐标为：，， 【分析】（1）先推导出，再根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出，即，根据三角形的内角和求出，推导出，得到，可推导出是等腰直角三角形，求出，继而求出直线解析式是，联立直线与抛物线，求出点D的横坐标，再求出，即可解答； （3）分类讨论：当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时， ， 解得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线解析式是，把，分别代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是， 联立直线与抛物线：，得 ， 解得（点B，舍去），， 将代入，得 ， ∴； （3）解：设直线解析式是， 把，代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是． ①当为菱形的对角线时，如图2， 设，则， ∴， ，四边形是菱形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴， ， 解得（不合题意舍去）或， 此时， ． ②当为菱形的边时，如图， 作于点H，   设，则， ∴，， ， ∴． ∴ 解得：，，（不合题意舍去）． 或． ∴，， 如图所示， 综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，． 7．（2024·吉林松原·模拟预测）如图1，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)如图2，过点C作轴于点D，点P为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点E，过点P作轴于点G，交线段于点F，设点P的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②当点为顶点的四边形是正方形时，或 【分析】（1）运用待定系数法把把点代入抛物线即可求解； （2）根据二次函数图象的性质，令时，解一元二次方程即可； （3）根据正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当是正方形的边；当是正方形的对角线；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入抛物线得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在，当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：①∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是抛物线的一点，且横坐标为， ∴， ∴， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴； ②设直线的解析式为， 把代入中得， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在直线的图象上，且点的横坐标为， ∴， 由①得，，点， ∴， 设， ∵点的纵坐标相同， ∴轴，， 当为正方形的边时，，则点与点重合，点与点重合，或是点与点重合，点与点重合，如图所示， ∴， 解得，； 当为正方形的对角线时，连接，交于点Q， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形，则， ∴， 解得，； 综上所述，当点为顶点的四边形是正方形时，或． 8．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，某一次函数与二次函数的图象交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点作轴，交线段于点，求线段长度的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，且与的和最小；点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，请直接写出的值； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将代入得到关于的二元一次方程组求解即可； （2）设，则，则，根据二次函数的性质求解即可； （3）抛物线的对称轴为，求出直线与对称轴的交点即可求点的坐标，根据题意画出图形，分情况求解即可； （4）抛物线，顶点，对称轴，分区间讨论的范围，根据“最大值最小值”列方程求解． 【详解】（1）解：将代入得 ， 解这个方程组得， 抛物线的解析式为． （2）解：如图，设直线的解析式为：， 把点代入， 得， 解得， 直线的解析式为：， 设，则， 则， 当时，有最大值为． （3）解：由（1）知抛物线的对称轴为， 点为抛物线对称轴上一动点，， 当点在上时，最小， 由（2）知直线的解析式为：， 把代入，得， 点的坐标为； 如图，直线的解析式为：， 直线与轴的交点为， ，， ， 若以点为顶点的四边形是正方形，分情况讨论： ①过点作轴于点，，则为等腰直角三角形， 过点作，则为等腰直角三角形， 则四边形为正方形， 依题意，知与重合，， ， 则点的坐标为； ②以为中心分别作点的对称点，连接， ，，，为等腰直角三角形， 则四边形是菱形，为等腰直角三角形，点的坐标为 ， 则四边形是正方形，则点的坐标为； ③延长到使，作于点， ， 则四边形是矩形， 又， 则四边形是正方形， ， 即为的中点， 又， 则的坐标为； ④取的中点，的中点，连接， 由①②得，为等腰直角三角形， ，为等腰直角三角形， 则为正方形， ， 则的坐标为， 综上所述，点N的坐标为：． （4）解：抛物线，顶点，对称轴， 在区间： ①当，区间最小值为， 区间最大值． 当，最大值在处为，，不满足； 当，右端点的函数值更大， 令，解得（负根舍去）； ②当时，函数在单调递减， 最小值在，最大值在， 则有， ，，方程无实根， 综上，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数中的特殊四边形存在性问题 常考题型·精准突破 题型1 二次函数中的平行四边形存在性问题（难） 题型2 二次函数中的矩形存在性问题（难） 题型3 二次函数中的菱形存在性问题（难） 题型4 二次函数中的正方形存在性问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二次函数中的平行四边形存在性问题 1．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线经过点B、点C，且与x轴交于另一点A．点P为线段上的一个动点，连接，在上方作，交抛物线于点E． (1)请求出抛物线的解析式及点A的坐标； (2)如图2，当平分时，请求出的长； (3)点N是y轴上的一点，在（2）的条件下，抛物线上是否存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点和点，与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作轴，交直线于点Q，设点P的横坐标是m．求线段的长度n关于m的函数关系式； (3)若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． ◆题型2 二次函数中的矩形存在性问题 4．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上一点，是抛物线上一点，当轴且时，求点的坐标； (3)是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点且以为边的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． ◆题型3 二次函数中的菱形存在性问题 7．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求b，c的值； (2)如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2025·江苏镇江·一模）如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2025·山东泰安·三模）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． ◆题型4 二次函数中的正方形存在性问题 10．（26-27九年级上·江苏·寒假作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)若点、在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点，，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 11．（2026·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 综合攻坚·知能拔高 一、解答题 1．（2026·海南海口·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若是平分线上的一点，是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，请求出点的坐标． 2．（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 3．二次函数（）的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当P、B两点关于抛物线对称轴对称，是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标． 拓展设问：点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限内的抛物线上时，是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2026·山东东营·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)点、点分别是对称轴、二次函数图象上的动点，是否存在以、、、四点为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2025·山东东营·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024·吉林松原·模拟预测）如图1，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)如图2，过点C作轴于点D，点P为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点E，过点P作轴于点G，交线段于点F，设点P的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值． 8．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，某一次函数与二次函数的图象交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点作轴，交线段于点，求线段长度的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，且与的和最小；点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，请直接写出的值； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次函数中的特殊四边形存在性问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1二次函数中的平行四边形存在性问题（难） 题型2二次函数中的矩形存在性问题（难） 题型3二次函数中的菱形存在性问题（难） 题型4二次函数中的正方形存在性问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1二次函数中的平行四边形存在性问题 【答案】(1)y=x2+2x-3 (2)(4,-3)或(-2,3)或(4，-3) 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-3,0),B(L,0)两点， ÷对称轴x=一2 b =-1, .b=2, 把B(,0)代入y=x2+2x+c, .c=-3 即抛物线的表达式为y=x2+2x-3: (2)解：存在点，使得以点A,B,C,为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： :A(-3,0)、C(0,-3),B(1,0),且点A,B,C,Q为顶点的四边形是平行四边形， 当AC,B0为对角线时， 4+x=g+2 2 2 则 y+yc=yn+yo' 022 1/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3+01+xg 2 2 10+(-3)_0+2 2 2 解得0=-4，%=-3」 ∴点9的坐标为(4，-3)： ∴当4B,C2为对角线时， +xnxc+xo 2 2 则 ya+yu=Yc+yo' 2 2 [-3+10+x2 2 =2 0+0-3)+y' 2 2 解得0=-2，%=3， ·点的坐标为(-2,3)： 当BC,A0为对角线时， xc+xno 22 则1 yc+yn=y+ye 02 2 0+1_-3+xg 2 2 1(-3)+0_0+e' 2 2 解得2=4,0=-3。 ∴点2的坐标为(4，-3)： 综上所述：点9的坐标为(-4，-3)或(-2,3)或(4,3) 2. 【答案】(1)y=-x2+2x+3:A(-1,0) (2)V2 3)存在，M坐标为(2,3)或(-2，-5)或(4，-5) 2152 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：当x=0时，y=-x+3=3:令y=-x+3=0,x=3, ∴点B(3,0),点C(0,3) :抛物线y=-x+br+c经过点B、点C, 「-9+3b+c=0 1c=3 「b=2 c=3 ∴.抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, 令y=-x2+2x+3=0,得x=-1或x=3, ∴点A的坐标为(1,0) (2)解：过P作P№1AB,垂足为Q, OB=OC=3. ∴.△OBC是等腰直角三角形， .∠ABC=45°， ,∠APE=∠ABC, .∠APE=45° :PE平分∠APC, .∠APE=∠EPC, .∠EPC=45°， ∴∠ABC=∠EPC, PE‖AB .∠APC=2∠EPC=2×45°=90°， .∠APB=90°， ∴.△APB是等腰直角三角形， AB=OA+OB=1+3=4, 04B=2, 令y=-x2+2x+3=2,得x=1-V2或x=1+V2, .xg=1-V2 令y=-x+3=2,得x=1, 3152 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 p=1, :PE=x,-xg=1-(1-V2)=2. (3)解：存在点M,使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点M坐标为(2,3) 或(-2，-5)或(4，-5).理由如下： 由(2)可知，B(3,0),P(1,2) ,点N是y轴上的一点，点M在抛物线上， ∴设点N的坐标为(0，n),点M的坐标为(x,-x2+2x+3, 当线段PB作为平行四边形的一条边时， 0+3_1+x0+1_3+x 则2=2或2=2， 解得：x=2或x=-2, 当x=2时，-x2+2x+3=-4+4+3=3, 当x=-2时，-x2+2x+3=-4-4+3=-5, ∴点M的坐标为(2,3)或(-2，-5)： 当线段PB作为平行四边形的对角线时， 4152 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 1+3_0+x 则2=2， 解得x=4' 此时-x2+2x+3=-16+8+3=-5, ∴点M的坐标为(4，-5)， 综上，点M坐标为(2,3)或(-2，-5)或(4，-5). 3. 【答案】(1)y-x2-2x-3 (2)n=m2+m 3)(-2,5)或(4,5)或(2，-3) 【详解】(1)解：将点A(-1,0)和点B(3,0)代入抛物线y=ax2+bx-3可得： [0=a-b-3 a=1 0=9a+3b-3,解得： 1b=-2’ y=x2-2x-3 (2)解：y-x2-2x-3, :C(0,-3), 如图：设点P(m,m2-2m-3)且m>0,m2-2m-3<0, 5/52 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线AC的解析式为y=a+b 0=-k+b k=-3 1-3=b ,解得： 1b=-3 .直线AC的表达式为：y=-3x-3, .点(m,-3m-3). .n=P2=m2-2m-3+3m+3=m2+m,即n=m2+m. (3)解：y=x2-2x-3, 2 、抛物线的对称轴为x=一 点C(0,-3),点B(3,0),设点M(m,m),n=m2-2m-3,点N(,), ①当BC是边时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到B, 同样点M(N)向右平移3个单位向上平移3个单位得到N(M),即m士3=1，n±3=s, 解得：m=-2或4， M点的坐标为(-2,5)或(4,5)： ②当BC是对角线时， 由中点公式得：3=m+l,-3=s+n, 解得：m=2, M点的坐标为M(2,-3) 综上，M点的坐标为(-2,5)或(4,5)或(2，-3) ◆题型2二次函数中的矩形存在性问题 6152 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)y=-x2+4x: 5-73+7 ②(2,2)或(3,1)22月 3)(4,-2)或(5,10. 【详解】(1)解：抛物线y=-x2+bx+c过原点O(0,0), c=0, ,抛物线过点A(4,0), .0=-42+4b+0, 解得b=4, ∴抛物线表达式为y=-x2+4x； (2)解：设直线AB的解析式为y=+4, :直线过A(4,0), .0=4k+4, 解得k=-1 ∴，直线AB的解析式为y=-x+4, 设M(m,-m+4), MNIy轴， .N(m,-m2+4m）, .MN=2, .m2+4m-(-m+4=2, 即m2+5m-4=2, 当-m2+5m-4=2时，-m2+5m-6=0m2-5m+6=0, 解得m=2或m=3, .M(2,2)或M(3,1), 当-m2+5m-4=-2时，-m2+5m-2=0m2-5m+2=0, 解得m=5+V) 2”(含去)或m=5-7 21 7/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5-173+V17 2’2 5-173+17 综上，点M的坐标为(2,2)或(3,1)或2,2户 y=-x+4 (3)解：联立1y=-x2+4x x=1x=4 解得 y=3或y=0 .C1,3), 情况1：当PC为对角线时， ID P 设P(x,),(,2), ,矩形对角线互相平分， .+1=4+五当+3_0+2 .2 2,22 .AC⊥AP, 由勾股定理：AC+AP2=CP2, (4-1)2+(0-3)2+(x-4)2+y2=(x-1)2+(y-3)2, 代入为=-x+4x, 解得x=-1,=-5,或x=4,=0,(舍去)， x3=-4,h2=-2 .0(4,-2), 情况2：当PA为对角线时， 8/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ID(P BNC 设P(,),(), ·矩形对角线互相平分， 1经” 2 :AC⊥CP, 由勾股定理：AC2+CP2=AP2」 (4-102+(0-32+(x-1)2+0y-3)2=(x-42+y, 代入4=-x2+4x, 解得x=2,八=4，或x=1,八=3（舍去）， .32=5,2=1, .Q5) 综上，0的坐标为(4，-2)或(5，). 5. 【答案】(1)y=-x2+2x+3:A(-1,0),B(3,0),C(0,3) oj (3)存在，点N的坐标为(3,4)或(4,3)或(4，) 【详解】(1)解：设抛物线表达式为y=a(x-h)+k, :抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D(1,4), ∴.a=-1,h=1,k=4, ∴.抛物线的函数表达式为y=-(x-1)+4=-x2+2x+3, 令x=0,则y=-02+2×0+3=3, 9152 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .C(0,3). 令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得x=-1或x=3, .A(-1,0),B(3,0): (2)解：设直线BC表达式为y=+b,代入B(3,0),C(0,3)得 [3k+b=0 b=3, [k=-1 解得b=3’ ∴.直线BC表达式为y=-x+3, 设点P横坐标为t,则P(化，-2+21+3)， 如图，过点P作x轴的垂线，交BC于点Q,则Q(化，-t+3), C D .P0=（-+21+3-(-1+3)=-2431, SaP0k,--f+刘= 32+9 0 这是开口向下的二次函数，当1= 3 2时，面积取得最大值， 2×2 即当ABCP面积最大时，点p的横坐标为2； (3)解：B(3,0),D1,4), (3+10+4 六BD=V3-+0-4=25,BD中点为22即(2,2)： ,以B、D、M、N为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形， ∴MW=BD=2N5,MN中点为(2,2)， 10/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点M是坐标轴上一点，故分两种情况讨论： ①当点M在x轴上时，如图， D A O M 设M(m,0),则N(4-m,4), MW=V[m-(4-m)]+(0-4}=25, :[m-(4-m)]了+(0-4y=(25), 解得m=1或m=3(此时点M与点B重合，舍去)， .4-m=3, N(3,4): ②当点M在y轴上时，如图， 设M(0,m),则N(4,4-m), MN=V0-4)}2+[m-(4-m)]=25, (0-4}+[m-(4-m)]=(25, 解得m=1或m=3, 当m=1时，4-m=3, 当m=3时，4-m=1, .N(4,3)或(4,1)： 综上，点N的坐标为(3,4)或(4,3)或(4,1). 6. 11/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)y=x2-2x-3 因AP8C面制的最大信为，P) 因在，点的婴款列-成成肉以亚 【详解】(1)解：：抛物线y=m-2x+c(a≠0)与y轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1, 2-1 .2a (c=-3 a=1 .1c=-3' ∴抛物线解析式为y=x2-2x-3: (2)解：设直线BC的解析式为y=G+b,把B,C点的坐标代入得： 3k+b=0 [k=1 b=-3，解得： b=-3 ·直线BC的解析式为y=x-3 点P为直线BC下方抛物线上的点， 图2 设P(a,a2-2a-3), ∴.M(a,a-3). a_3+2 .PM=a-3-a2+2a+3=-a2+3a=-a- 3 9 当a= 时，PM= 4 .mePM 3927 27 2×48,即△PBC面积的最大值为8， 12/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P8) (3)解：由题意可得：y=(x-1)-2(x-)-3-1=x2-4x-1=(x-2}-5, 抛物线y的对称轴为直线x=2。 .B(3,0),C(0-3), .OC=OB=3,∠BC0=∠CB0=45° 如图：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF1y轴于点F, B D D在y的对称轴上 ∴FD=2, .∠BCD=90°，∠BC0=45°， .∠DCF=45°， ∴.CF=FD=2,OF=3+2=5,即点D(2,-5) .∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D,则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可 得到点E(5,-2): 如图：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y的对称轴为x=2与x轴交于点F, D在y的对称轴上， 13/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .F0=2, BF=3-2=1, ∠CB0=45°，即∠DB0=45°， BF=FD=1,即点D(2,1), ,点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D,则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得 到点E(-山，-2)： 实图：当C为加形对角线时，设DB,d小Ea,小BC的中点严的坐标为[引 [2+m=3 22 依题意得： d+n-3:解得m=1, 22 d+n=-3 又：DE=BC, (2-1}+(d-n}=32+32, 解得：d-n=±7， d-n=±7 联立d+n=-3’ 解得：n=-3tv7 2 ∴点E的坐标为 综上，存在点。， 使得以点g'C'D'E为 顶点的四边形是矩形. 14/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3二次函数中的菱形存在性问题 7. 【答案】(1)b的值为-2，c的值为3 @w-3+55)或M3-5,一)成ML酸（到 【详解】(1)解：把点A,0)和点B(-3,0)代入y=-x2+bx+c, 「-1+b+=0 得： -9-3b+c=0' b=-2 解得：c=3· b的值为2，c的值为3； 2②解：存在，M-3+5,5)或M(3-5,5列成M4或M子》， 理由如下： 由(1)知：y=-x2-2x+3, 当x=0时，y=3, .C(0,3) 设直线BC的解析式为y=ar+3 把B(-3,0)代入，得0=-3k+3,解得：k=1, y=x+3, y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, ∴抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线为y=(x+1+2)2+4=-(x+3)+4, y=-(x+3)2+4 联立： y=-x2-2x+3’ x=-2 解得： y=3, .D(-2,3) 设M(m,m+3), B(-3,0)」 .BM2=(m+3)2+(m+3)2=2(m+3)2,DM2=(m+2)2+m2,BD2=(3-2)2+32=10, 情况1：BD为菱形的边： 15/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①当BM=BD时，2(m+3)2=10, 解得：m=-3+V5或m=-3-√5， ·M(-3+V5,V5)或M(-3-V5,-5): ②当DM=BD时，(m+2)2+m2=10. 解得：m=-3(舍去)或m=1, .M(1,4): 情况2：BD为菱形的对角线： ③当BM=DM时，(m+2+m=20m+3,解得：m=子 4 ( 综上：M3+5,5或M(3-5-5)或ML或M(子 8. 【容10=款+ 3t+2 (2)m=1 因在，点D的华标为2-到威-合音丽支+台瓜音丽废[侣得 4 【详解】(1)解：，抛物线y=- r+br+c经过点AB, -12+3b+c=0 .c=2 6=19 解得3， c=2 雅物线解行式为=音款+号 +3x+2: 10 3 (2)解：抛物线对称轴x=- 2× 4) 4, 3 2 4 10 设Pm,3m+2m,- m2+ 1 m+2 3 16/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当0<m<子时，PN=-m+0。 5 (2 m+2- 3m+2= 4 m2+4m 3 3 .S.ux （4 3×-3m+4m =-2m2+6m。 当S△M8v=4时，得-2m2+6m=4,整理，得m2-3m+2=0, 解得m=1,m=2(舍去). 点M的坐标为(1,0)： (3)解：根据题意，得点M的坐标为(L,0),A(3,0), .AM=3-1=2, 2 设C-n+2 当AM为对角线时，如图，点C的横坐标为2 1+3-2,此时纵坐标为3 ×2+2 3, 根额芝器俏对帮性玩，有到点D为2引 B D 当AM为边时，AC也为边时，根据题意，得AM=AC=2, 过C作x轴的垂线，垂足为H,在△ACH中由勾股定理得， （3a+2j+6--2, 17/52 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解利”=34官， 做c3+合i音i威c3i,音丽 根据中点坐标公式，得 _43 631243 13 09+0, 2 2 2 解物=1+合g=言石， 13 故+ 设pg吵c3-E. 根据中点坐标公式，得 36丽+12+3 13 43+0 9+0 2 2 2 2 解得p=1-名瓜g音E, 放-合， 当AM为边时，AC为对角线时，， 过C作x轴的垂线，垂足为W,在△MCW中由勾股定理得， (含+八+--2，解得=3会去)，%高 枚信】 O WM 324 设D(p,g)C313 根据中点坐标公式，得 18/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33 24 +0 13_p+113 =9+0 2 2 ”2 2 29 24 解得P=139=13 2924 故D(313) 综上可知点D的坐标为 9. 【答案】(1)y=x2+2x-3 5 (②)四边形ANCB面积的最大值为 3)点0的坐标为(0，-32-1或(0，-1)或(0,32-1 9-3b+c=0 【详解】(1)解：把A(-3,0)B1,0)代入y=x2+hr+c中，得1+b+c=0, b=2 解得， c=-3' ∴这个二次函数的表达式为yy=x2+2x-3: (2)解：对于二次函数的表达式y=x+2x-3,令x=0,则y=-3, .C(0-3), 设直线AC的表达式为y=kx+b, 把A(-3,0),C(0,-3)代入y=+b,得 -3k+b=0 k=-1 b=-3 ，解得，b=-3 ∴直线AC的表达式为y=-x-3, 设P(m,0)(-3≤m≤0)， .PMLx轴. .M(m,-m-3),N(m,m2+2m-3）, .MN=（-m-3)-(m2+2m-3=-m2-3m ∴.S四边形ANCB=SANC+SACB 19/52 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(S.+S.cM)+S.4C8 -OP4B-0c =w.01+548-0c m-小+分4x3 -3m-9 n+6 3 a= 75 “当m=-2时，Sc有最大值8： (3)解：·M(m,-m-3),N(m,m2+2m-3),C(0,-3),A(-3,0), :MW=(-m-3)-(m2+2m-3=m-3m,MC=5m,04=0c=-3,∠4C0=45°， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段AC上，MN=MC,四边形MNOC是菱形时. B主 图2-1 ..MN =-m2-3m MC=-2m .-m2-3m=-V2m, 解得m=-3+√2或m=0(舍去) .MN=32-2 ∴.CQ=MN=3V2-2, ∴00=3W2+1, 20/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴g(0,-32- ②如图，当MC是菱形的对角线时， B M 根据菱形的性质可得∠AC0=∠NCO=45°， ∴.∠MCN=90° ∴.四边形MNC2是正方形， ..CN=MN=CO=MO,(0,-m-3), -m2-3m=-m, 解得m=-2或0（舍去）， .0(0,-1). ③如图，当点M在CA延长线上时，MN=CM,四边形MNOC是菱形时， y M A B 则有m2+3m=-√2m, 解得m=-3-V2或0（舍去）， 21/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.MN=CQ=3V2+2, 00=C0-0C=3W2-1, ∴0(o,32-1 ④如图，当点M在AC延长线上时，MN=CM,四边形MNOC是菱形，此时m>0, MN =-m2-3m=m2+3m,MC=-2m=2m, 0 B引 M 则有m2+3m=√2m, 解得m=√2-3<0或m=0, 都不满足m>0, 综上所述，满足条件的点0的坐标为(0，-3V2-1或(0，-1)或(0,32-1) ◆题型4二次函数中的正方形存在性问题 10. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 8-月 (3)存在，√2或9√2 【详解】(1)解：：抛物线y=a2+bx+3经过点A3,0),与y轴交于点B,且关于直线x=1对称， （b=1 .2a ,解得： Ja=-1 9a+3b+3=0 1b=2 .y=-x2+2x+3: 22/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：，抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1, ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， -1≤x≤t时，0≤y≤21-1， ①当t≤1时，则：当x=t时，函数有最大值，即：2t-1=-t+2t+3, 解得：〔=-2或t=2,均不符合题意，舍去： ②当t>1时，则：当x=1时，函数有最大值，即：2t-1=-12+2+3=4, 解得：t=5 -2 故 (3)解：存在，理由如下： 对于y=-x+2x+3,当x=0时，y=3, .B(0,3), 设直线AB:y=x+n 点A(3,0), [3m+n=0 n=3 [m=-1 解得1n=3’ ∴直线AB:y=-x+3 设PQ m,直线MN与y轴交点为T 2 当MN在AB上方时，过点B作BG⊥NM于点G,如图： GN B :正方形POMN, 23/52 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.PN=PQ=MW= √2 m,∠PNM=∠PN7=90,N∥AB BG-PN= .OA=OB=3,∠AOB=90°」 .∠AB0=45°， ∴.由MN∥AB得∠ABO=∠BTN=45°， .△BTG为等腰直角三角形， BT-VTG+BG-BG- mx√2=m, 2 .MN∥AB, ∴设直线MN:y=-x+3+m, y=-x2+2x+3 与抛物线表达式联立得， y=-x+3+m, .x2-3x+m=0, 设M(,y),N(:,2) .x+3=3,xx2=m, .(x-x)2=(x+2)}-4xx2=9-4m :MW=V:-x)2+(y-}=V-x}+[-x+3+m-(-x+3+m)]=V2(x-x}, 解得m=2或m=-l8(舍)， 09 当MN在AB下方时，过点B作BG⊥NM于点G,如图： 24152 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 T 同理可得， BG=PN-2 2 m:BT=2BG=m' ·MN∥AB .设直线MN:y=-x+3-m y=-x2+2x+3 与抛物线表达式联立得， y=-x+3-m’ .x2-3x-m=0, 设M(x,y),N(x22) .x+x32=3,xx2=-m」 .(x-x)=(:+x-4xx2=9+4m :MN=V(x-x)}+(y-乃2)}=V(:-x2}+[-x+3-m-(-x2+3-m)]=V2(x-x》, √2 ·2m=V29+4m, 解得m=18或m=-2（舍)， e-= ×18=9W2: 2 综上：P的长为V2或9√2. 11. 【答案】(1)y=-x2+x+2 (2)△PBC面积的最大值为1； 15)(28 3)存在点p使以D'E'F'p为顶点的四边形是正方形，点p的坐标为24或39或(-2，-4)： 【详解】(1)解：二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于点A(-1,0),B(2,0), 25/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -(-1)}-b+c=0 -22+2b+c=0 b=1 解得1c=2' ∴.y=-x2+x+2 (2)解：在y=-x2+x+2中，令x=0,得y=2, C(0,2), 设P(a,-a2+a+2）, :点P在直线BC上方，B(2,0),C(O,2), .0<a<2,OB=OC=2, 作PH⊥x轴于点H,则OH=a,PH=-a2+a+2, 用割补法求面积： ,△PBC的面积等于梯形PHOC的面积加△PHB的面积减去△COB的面积， 梯形pH0c的面积=2(PH+CooH=(-a2+a+2+2)a, APHB的面积=PHBH=(+a+22-o. C0B的面积=080c=2×2x ∴.△PBC面积 =2-a2+a+2+2a+-d+a+22-）-2x2x号 =-a2+2a =-(a-1)+1, :(a-1)≥0， .-(a-1)≤0 26152 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .-(a-1)+1≤1， .△PBC面积的最大值为1， (3)解：存在点P,使以D,E,F,P为顶点的四边形是正方形， 设直线BC的解析式为y=a+b, .B(2,0),C(02), 「2k+b=0 .b=2 k=-1 解得b=2· ∴直线BC的解析式为y=-x+2, 设P(m,-m2+m+2),E(m,-n+2), :PElx轴， ∴.-m2+m+2=-n+2, ∴.n=m2-m, .E(m2-m,-m2+m+2）, ①如图，四边形PDFE为正方形，则PE=PD, ∴.m2-m-m=-m2+m+2, 解得m= 2或m=2（不合题意，舍去)， ②如图，四边形PDEF为正方形，点F在PE上方， 连接PE,DF,交于点M,则MD⊥PE,PE=2MD, 27/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OD :.m2-m-m=2(-m2+m+2), 解得m= 3或m=2(不合题意，舍去)， .-m2+m+2=- +2=8 3 ar) ③如图，四边形PFED是正方形，点F在PE下方， 连接PE,DF,交于点N,则ND⊥PE,PE=2ND, :m2-m-m=2-（m2+m+2Jg 解得m=-2或m=2(不合题意，舍去)， .-m2+m+2=-(-2)}-2+2=-4, P(-2,-4), C B(D) 1528 ·点p的坐标为24或3'9或(-2,4) 28/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、解答题 1. 【答】0-写-4 a3到支g) [9a-3b-4=0 【详解】（山解：将4(-3,0B40)代入y=am+br-4得，6a46-40 解得， b 3 二抛物线的表达式为y=x 33 x-4 (2)解：当x=0时，y=-4,即C(0,-4), .AC=V(0+3)}2+(-4-0)2=5, 由题意知，以A,B,M,N为顶点的四边形是矩形，分①当AB为边，②当AB为对角线两种情况求解： ①当AB为边时，如图，连接AC,作∠BAC的平分线AM,连接BM,使BM⊥x轴，作DC⊥AC交AM 于D,作DE⊥x轴于E, E B .DE=CD, 又AD=AD, RIAADCSRIAADE(HL) .AE=AC=5, .E(2,0), 29152 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设D(2,m),则CD2=22+(m+4),DE=m2, m2=22+(m+4}, 解得，m=一 2 设直线AM的解析式为y=ac+c, -3k+c=0 将4302到代入：2k+c= k=- 2 解得， 3, C=- 2 13 ·直线AM的解析式为y=2x-2, ,以A,B,M,N为顶点的四边形是矩形， “点N的华标为(3)： ②当AB为对角线时，如图，作∠BAC的平分线AM,连接BM,使BM⊥AM于M,作矩形AMBN,连 接交B于G则c0 B 白0可知.直线AM的群折式为=子女 2 30/52 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设引则w-a++,w-a--引， 由阿酸定理，4w+8Mgo+3+0-引+a-矿+(0-4+， 解得，n三5或n=-3(舍去) 传) 设N(pq), 13 +p1 5 2 -2 :14+q 20 5 8 P=- 解得， 14 g25 )月 上达，点N的标引 _8,14 2. 【答案】(1)y=x2+2x-3 ②0四边形0v面积的量大位是空此时多0） 75 3)存在，点的坐标为(0，-)或0，-1-32)或(0，-1+32) 【详解】(1)解：二次函数y=x+x+c的对称轴是直线x=-1, b 2x7-1. .b=2, 点B的坐标为(1,0)， .0=12+2×1+c, 31/52 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .c=-3, .二次函数的解析式为y=x2+2x-3: (2)解：如图，连接ON, M 设P(m,0）,则N(m,m2+2m-3), ∴.PN=-m2-2m+3, 在y=x2+2x-3中，令x=0,则y=-3,令y=0,则0=x2+2x-3, 解得：x=-3或x=1, A(-3,0),C(0,-3), ∴.0A=3,0C=3, B1,0) .OB=1, .g边形ABCV=S,4Ov+SB0c+SCON -104-PN+10B.0C+T0C 2 x3-m-2m+3到+2x1x3+x3(-m) 3 2、9 m+6 2 2 =-3m+3275 m+2)+8' 2 3 20 :当网=时、阴沙形ACV的面积取提大值，因边形Cy面积的录大值是空。此时0： 3 75 (3)解：在y轴上存在点Q,使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 32152 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线4C的解析式为y=+a,将A(-3,0),C(0,-3)代入得： [-3k+a=0 0+a=-3’ [k=-1 解得：1a=-3’ ∴直线AC的解析式为y=-x-3, 设(0，)，P(n,0）),则M(n,-n-3),N(n,2+2n-3), MN∥CQ, .当以M、N、C、O为顶点的四边形是菱形时，MN,CQ是一组对边： ①当MC、N№为对角线时，MC、N№的中点重合，且CW=CO, -n-3-3=t+n2+2n-3 n2+(n2+2n2=(t+32, n=0 n=-2 解得：1=-3（此时MN与c重合，舍去）或=， :(0,-): ②当M0、CN为对角线时，M№、CW的中点重合，且CQ=CM, -n-3+t=n2+2n-3-3 (u+3}2=n2+(-n2 n=-3tV2[n=-3-2 解得：化3合去)实行政13万 0,-1-32)或0，-1+32)： 综上所述，点2的坐标为(0，-)或0，-1-3W2)或(0，-1+32) 3. 【路案1w-2x-32©行写) 拓展设问：存在，C(4,-) 【详解】解：(1)：二次函数y=x2+x+c的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,-3), [32+3b+c=0 1c=-3 33/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b=-2 解得1c=-3’ .二次函数的表达式为y=x2-2x-3 (2)△OP吧是以点P为直角顶点的直角三角形时，∠OP2=90° :y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴抛物线的对称轴为直线x=1, :点PB关于抛物线对称轴对称，B(0,-3), 点P(2,-3). 设2n,n2-2n-3）, :∠OP2=90 .0p2+Pg=0g2, :(0-2}+(0+3)}2+(2-n}+(-3-n2+2n+3}=n2+n2-2n-3)2 整理得：3n2-8n+4=0 2 解得m=3,n=2（舍去)， i.ns2 3 别 拓展设问：解：存在，设M(m,m-2m-3),其中0<m<3,AB2=32+32=18,AM2=(m-3+ (m2-2m-32,BM2=m2+(m2-2m°， ①当AB2+AM2=BM2时，即18+(m-3}°+(m2-2m-3)°=m2+(m2-2m, ∴.m2-m-6=0, .(m+2)(m-3)=0. 解得m=-2(舍)或m=3(舍)； ②AB2+BM2=AM2时， 即18+m2+(m2-2m=(m-3}2+(m2-2m-3, .m2-m=0, 34152 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得m=0(舍)或m=1, .M(1,-4, 设AB所在直线的一次函数关系式为y=ac+b(k≠O) 又点A(3,0),点B(0,-3), [0=3k+b -1-3=b 1=k 解得1-3=b ·AB所在直线的一次函数关系式为y=x-3 :四边形ACMB为矩形， :.AB∥MC ∴.可设MC所在直线的一次函数关系式为y=x+n 将点M(1,-4)代入y=x+n中， 即-4=1+n 解得n=-5 ∴.MC所在直线的一次函数关系式为y=x-5, 设点C(x,x-5),可构图如下，过点M作x轴的平行线MF,过点C作y轴的平行线CF,交MF于点F, 即CF⊥MF,连接OB,OA, Ay 4(3,0) O C(xx-5)x (0,-3)B MI,4F :∠B0A=∠CFM=90°，A0=B0=3,MF=x-1,CF=(x-5)-(4)=x-1 4B=O+0B=+32=32,CM=CF2+MF2=2(x-1) ,四边形ACMB为矩形，AB=CM=3√2 2(x-1)=32 解得：x=4 点C(4,) 35/52 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，C(4,-). 4. 【答案】(1)y=-x2-2x+3 9 (②SMcn的最大值为 (3)点(-5，-12)或(3，-12)或(-1,4)存在以P、、A、B四点为顶点的平行四边形. 【详解】(1)解：y=-x2+bx-c的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B(,0), 「0=-9-3b-c .0=-1+b-c’ b=-2 解得：1c=-3 ∴y=-x2-2x+3 (2)解：过点M作M0⊥AC于点2，作MF⊥AB于点F,交AC于点E, .·OA=OC=3,∠COA=90°， .∠CA0=∠AC0=45°， :MF少轴， .∠MEQ=∠AEF=∠ACO=45°， 3+1=-1, 抛物线的对称轴为：x= .y=-1+3=2 点D(1,2), :点C(0,3). .CD=-1-0}+(2-3)2=2, S.wp-ixCDxMQ. 2 ∴要使SMCD的值最大，则需MO取到最大值，即可； 设过点M与AC平行的直线的解析式为：y=x+m,当直线：y=x+m与抛物线只有一个交点时，M犯取 到最大值，即SMCD取到 最大值： .x+m=-x2+2x+3, 36/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得：x2+3x+(m-3)=0, 由△=0得，9-4×(m-3)=0, 求得：m-3=9 4 +3x+9 0, 3 解得：x=x= 2 当x=子=(-2引3年即痘 当xs-3 2 :ME=1539 424 设MQ=Ep=a, 解得：a=92 0=0=92 8, 1 1 ∴.S,Mn=×CDxMO=号×V2x 9V29 2 2 88 M 图1 (3)解：存在，理由如下： ,点P在对称轴上， 37/52 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设点P(山，a: 、点Q在二次函数图象上， 设(n,-n-2n+3), ①当AB为边时，四边形APQB是平行四边形， .AB=PO :点A(-3,0),点B(10), .AB=4, Pg=4, .1-n=4, 解得：n=-5,n2=3 当n=-5时，-n2-2n+3=-(-5)}2-2×(5)+3=-12, 点(-5，-12) A P 当n=3时，-n2-2n+3=-32-2×3+3=-12, .点(3，-12)： 38/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当AB为对角线时，四边形APB0是平行四边形， -3+1-1+n .2 2 解得：n=-1, .-m2-2n+3=-(-1}-2×(-1)+3=4, 点(-1,4)： B 综上所述，点(-5，-12)或(3，-12)或(-1,4)存在以P、Q、A、B四点为顶点的平行四边形. 5. 【答案】(1)y=-x2-4x+5 ②)252 8 (3)存在，满足条件的点M的坐标有（-38)或(3，-16)或(-7，-16) 【详解】(1)解：：点A(-5,0),点B(,0)在抛物线y=-x2+bx+c的图象上， [-25-5b+c=0 -1+b+c=0, 解得：b=-4,c=5, ∴.抛物线的解析式为y=-x2-4x+5」 (2)解：过P作PE⊥AC于点E,过点P作PF⊥x轴交AC于点H,如图1： 39152 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P B 图1 :抛物线y=-x2-4x+5与y轴交于点C, ∴点C的坐标为(0,5)， 又A(-5,0), :.0A=OC, :∴△AOC是等腰直角三角形， .∠CA0=45°， PF⊥x轴， .∠AHF=45°=∠PHE, ∴△PHE是等腰直角三角形， .PE=PH 2 当PH最大时，PE最大， 设直线AC解析式为y=x+5, 将A(-5,0)代入得0=5k+5, .k=1, ∴.直线AC解析式为y=x+5, 设P(m,-m2-4m+5),(-5<m<0), 则H(m,m+5), :PH=(m2-4m+5)-(m+5)=-m-5m=-m+2 4 a=-1<0, :当m=高时：pm最大为至 25 40/52 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25V2 此时pE最大为g，即点p到直线AC的距离值最大 (3)解：存在，满足条件点M的坐标为-3,8)或(3，-16)或(-7，-16，理由如下， 当以AC为平行四边形ANMC的边时，如图2， :OB 点 M 图2 A(-5,0) C(0,5) ∴.xc-xA=xM-xN, 即x-(-2)=0-(-5), 解得x=3, .-x2-4x+5=-32-4×3+5=-16, :点M的坐标为(3，-16)： 当以AC为平行四边形AMNC的边长时，如图3， B 点 M 图3 A(-5,0)C(0,5) ∴.Xe-xA=xw-xM, 即(-2)-x=0-(-5), 解得x=-7, ∴.-x2-4x+5=-(-7)2-4×(-7）+5=-16】 .点M的坐标是(-7，-16)： 41/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当以AC为对角线时，如图4， B 图4 A(-5,0)C(0,5) :线段4C的中点的坐标为”，0)， -5+00+5Y .x+(-2)5 2 2 解得x=-3, .-x2-4x+5=-(-3)2-4×(-3)+5=8, ·点M的坐标是(-3,8) 综上所述，点M的坐标为-3,8)或(3，-16)或(-7，-16) 6. 【答案】(1)抛物线的表达式为y=-x2+2x+3 (2)D(2,3) (3③)符合条件的点E有三个，坐标为：E(0,1),E(0,1-3W2),E(0,1+3N2) 【详解】(1)解：：C(0,3),且0A=0C, ..OA=OC=3. .A(3,0), 将A(3,0),C(0,3)分别代入y=-x2+bx+c,得 -9+3b+c=0 c=3 [b=2 解得c=3' ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3: (2)解：当y=0时， 42152 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -x2+2x+3=0, 解得x=-1,x2=3, .B(-1,0),即0B=1, .0A=0C=3,∠A0C=90°， ac0=00-∠40)-4. ,△CMN是以CN为底的等腰三角形， .MN CM ∴.∠AC0=∠CNM=45°」 .∠BN0=∠CNM=45°， .∠BON=90°， ∴.△BNO是等腰直角三角形，且OB=NO=1, .N(0,1), 设直线BN解析式是y=kx+h,把B(-l,O),N(O,)分别代入，得 [-k+b=0 b=1 k=1 16=1 ∴.直线BN解析式是y=x+1, y=x+1 联立直线 与抛物线： BD y=-x2+2x+3,得 x+1=-x2+2x+3, 解得X=1(点B,舍去)，x=2, 将x=2代入y=x+1,得 y=3, .D(2,3); (3)解：设直线AC解析式是y=kx+b, 把A(3,0),C(0,3)代入，得 [3k2+b2=0 b2=3 43152 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∫k3=-1 b,=3 ∴.直线AC解析式是y=-x+3」 ①当C⑨为菱形的对角线时，如图2， E B 图2 设P(m,-m+2m+3),则(m,-m+3), .P9=-m2+3m :∠OCA=45°，四边形CEQP是菱形， ∴.∠PCO=2∠OCA=90°，PQ=EQ, ∴四边形CEQP是正方形， ·∠CE0=90°，即E0lx轴， .EO=m ∴.-m2+3m=m, 解得m=0(不合题意舍去)或m=2, 此时0E=0C-m=3-2=1, ∴.E(0,1) ②当C为菱形的边时，如图，作QH⊥OC于点H, 44152 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设 ,则 H-- B 图3 P(m,-m2+2m+3 Q(m,-m+3) .HQ=m,P2=-m2+3m, :∠0CA=45°， :C0=2H0=W2m」 .CE=PQ=-m2+3m=2m 解得：m=3-V2,m=3+V2,m,=0(不合题意舍去). 0E=3+23-2)=1+32或3-V2(3+V2)=1-32 .E(0,1+32),E(0,1-32), 如图所示， E 综上所述，符合条件的点E有三个，坐标为：E(0,1),E(0,1-32),E,(0,1+3V2) 7. 【密茶10=-3r (2)A(-6,0) 45152 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 7 3)0DE=2m+3:②当点E、R、M、N为顶点的四边形是正方形时，m= 3或m= 2 【1(山：托》入线=+有，(--a 解得，a=-3, ∴抛物线的解析式为：y=一 2-3x; 2 (2)解：在y=2 -3,当y=0时-3x=0. 解得x=-6,为=0（不符合题意，舍去）， .A(-6,0): (3)解：①，CD⊥x轴，PG⊥x轴， .∠CD0=∠PG0=90°， .∠EOD=∠POG, .△EOD∽△POG, DE OD ·PGOG' :点p是抛物线y=- )3x的一点，且横坐标为m .m-n-m :0G=-mPG=-}m2-3m, 2 过点c作cD1r点D .OD=1, DE 1 .m-3m m, 2 em*3, ②设直线AC的解析式为y=a+b(k≠0)， -6k+b=0 2 46152 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k= 解得， b=3 …直线4C的解析式为y=2x+3, ,点F在直线AC的图象上，且点P的横坐标为m, 1 :.F m.7m+3 1 由D得，DE=2m+3,点D(-l,0, 设M(t,0),N(n,s). :点E,F的纵坐标相同， .EFI‖x轴，EF=-1-m, 当EF为正方形的边时，EF=FG=GD=DE,则点M与点G重合，点N与点D重合，或是点M与点D 重合，点N与点G重合，如图所示， G(M(ND 2m+3=-1-m, 解得，m三： 当EF为正方形的对角线时，连接MN,交EF于点O, 47152 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y F E ,四边形FMEN是正方形， MN=EF MNL EF MO-NO-EQ-FO-TEF, &四边形MDEO是矩形，则M0=ED=EP。 1m=26m+ > 解得，m= 2 综上所述，当点石、R、M,N为顶点的四边形是正方形时，m= 3或m、7 2 8. 【答案】(1)y=x2-2x-3 5 ②4 3)N(L,1),N2(-1,2),N1,4),N4 副 (4④)1+2√2 【详解】(1)解：将A(-1,0),B(4,5)代入y=x2+mx+n得 [1-m+n=0 16+4m+n=51 [m=-2 解这个方程组得n=-3’ ∴.抛物线的解析式为y=x2-2x-3 (2)解：如图，设直线AB的解析式为：y=+b, 48152 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把点A(-1,0),B(4,5)代入y=+b, 「-k+b=0 得14k+b=5’ k=1 解得b=1 ∴直线AB的解析式为：y=x+1, 设D(d,d-2d-3-1<d<4),则Ed,d+), 则e---2-列-d+w4-- A (-1<d<4), 25 当d=时，DB有最大值为4· D 3)解：由知抛物线y=2x3的对称轴为2习 =1, ~点C为抛物线对称轴上一动点，AC+BC≥AB, .当点C在AB上时，AC+BC最小， 由(2)知直线AB的解析式为：y=x+1, 把x=1代入y=x+1,得y=2, 点C的坐标为(12)： 如图，直线AB的解析式为：y=x+1, :直线与y轴的交点为D(0,),OD=1 A(-1,0).OA=1, .OA=OD,∠DA0=∠AD0=45° 若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论： ①过点C作CMLy轴于点M1,∠CDM,=∠AD0=45,∠CM,D=90°，则ADNC为等腰直角三角形， 49152 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点C作CN,⊥DN,则△DM,C为等腰直角三角形， 则四边形CMDN为正方形 依题意，知D与F重合，DN,=CN,=CM,=1, ..XN =xp+1=1,yN =yc-1=1. 则点N的坐标为(1,1)： ②以M1为中心分别作点F,C的对称点M2,N2,连接CM2,M,N,N,F, :CM2=M,N2=N,F=CF,M,M2=M,F=1,∠CM,F=∠CFM2=45°，△M,M,C为等腰直角三角形， 则四边形M,N,FC是菱形，△FM,C为等腰直角三角形，点M,的坐标为(O,3) ∴∠M,CF=90° 则四边形M,N,FC是正方形，则点N2的坐标为(-l,2): Y B M M A ③延长N,M2到N,使N,M,=M,C,作N,⊥AB于点F, ∠CM,N,=∠M,CF=∠N,FC=90°， 则四边形M,N,FC是矩形， 50152 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又N,M2=M2C, 则四边形M,N,FC是正方形， ∴.NM2=MC=N2M2, 即M2为N,V2的中点， 又M2(0,3,N2（-1,2), 则N的坐标为(1,4)： ④取M,C的中点N4,FC的中点B,连接M,N,M,E, 由O①②得△M,M,C,aFM,C为等腰直角三角形， ∴△N,M,C,△FM,C为等腰直角三角形， 则M,FCW4为正方形， =e+yM=2+3_5 2 2 22’ 则心，的坐标为行》， 券上所述，点v的坐标为：N,),(-L2,心4N,(2》 51/52 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)解：抛物线y=x2-2x-3=(x--4,顶点(1,4)，对称轴x=1, 在区间0≤x≤1： ①当1≥1，区间最小值为-4， .区间最大值=-4+8=4. 当1≤1<2，最大值在x=0处为-3，-3-(-4)=1≠8，不满足： 当1之2，右端点x=1的函数值更大， 令2-2t-3=4,解得1=1+2W2(负根舍去)； ②当0<t<1时，函数在0≤x≤t单调递减， 最小值在x=:y=-21-3,最大值在x=0:y=-3, 则有-3-(2-21-3)=-2+21=8， 2-21+8=0,△=（-2°-4×1×8=-28<0，方程无实根， 综上，t=1+2W2. 52/52