专题09 相似三角形之K字模型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题09 相似三角形之K字模型 模型说明—明晰核心解法，助力能力迁移 模型1.一线三等角模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等）， ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3，∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵E为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例题精讲 典例1（基本模型）如图，在正方形中，E为边的中点，G，F分别为边上的点．若，则正方形的边长为_____ 典例2（变异模型）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 典例3（与函数综合）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 典例4（最值问题）【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】 (2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值； ②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：； ②直接写出线段长度的最小值． 典例5（培优综合）【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 变式1-1如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 变式1-2如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 变式1-3如图，在四边形中，，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求线段． 变式1-4如图，在锐角中，、分别是、的中点，点在上，且满足，交于点． (1)证明：； (2)如图，点在上，且，求证：； (3)在图中，取上一点，使得，若，求的长． 变式1-5在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．    (1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形； (2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为 A． B． C． D． 2．如图1，在中，，D是边上一动点（不与B，C重合），连接，分别过点D，C作的垂线交于点E，连接．设的长度是x，的值是y，y与x的关系图象如图2．当点D运动到中点时，的长度是（     ） A． B．3 C．4 D． 3．如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点，重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 4．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，折痕为EF，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，则EF的长为（　　）    A． B． C． D． 5．图1中周长为58的矩形纸片剪掉一块边长为4的正方形后，将剩下的部分沿着虚线剪开，拼成不重叠、无缝隙的矩形（如图2），则图2中线段的长为__________，连接部分⑤的对角线交矩形于点M、N，则__________． 6．如图所示，矩形中，，，，，，则______ 7．如图，将边长为6的正方形纸片按如图所示方式折叠（点分别在边上），使点落在边上的点处，点落在点处，若点为的三等分点，则的长为_____． 8．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点A1，作第2个正方形；延长交x轴于点，作第3个正方形…按这样的规律下去，第2022个正方形的边长为______． 9．如图，在矩形中，点E是线段上的一点，，将沿翻折，得到，若，，则点F到的距离为_____． 10．（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 11．实践与探究 如图1，在边长为的正方形中，是正方形内一点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，． 问题解决： (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，且． ①如图2，当，，三点共线时，连接，求线段的长； ②在点运动的过程中，当，，三点共线时，连接，请自己画出图形，直接写出四边形的面积． 12．如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当是等腰三角形时，请求出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 相似三角形之K字模型 模型说明—明晰核心解法，助力能力迁移 模型1.一线三等角模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等）， ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3，∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵E为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例题精讲 典例1（基本模型）如图，在正方形中，E为边的中点，G，F分别为边上的点．若，则正方形的边长为_____ 【答案】 【分析】先根据正方形的性质说明，可得，再代入数值可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 所以正方形的边长为． 典例2（变异模型）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 典例3（与函数综合）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：由知，， 则， 则点、的坐标分别为：， 当时，，则， 即点， ； (2) (3)时，时，时， 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 理由： 设直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和得， 解得． 即点， 同理（1）可得，点， ， ， ； （3）解：分别过点作轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ∴时，， ②若，如图3， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：． 时，； ③若，当时， 如图4，， AI， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ； ④的情况不存在， 综上，时，时，时，． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等知识点，分类求解是解题的关键． 典例4（最值问题）【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】 (2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值； ②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：； ②直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1)； (2)①； ②； 证明：记、交于点， 由知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)①证明：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②． 【分析】（1）根据证明三角形的全等，即可得到； （2）①由相似三角形的性质，可得，，式子变形可得，根据角的数量关系，可得，利用相似三角形的判定，则，得到，即可；②由相似三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，推出，等量代换，得到；根据，等量代换，即可得到； （3）①由相似三角形的性质，可得，，得到角的数量关系，，根据相似三角形的判定和性质，得到，再根据角的数量关系，则，得到，即可求解；②由①知，点在直线上运动，当时，有最小值；利用相似三角形的判定和性质，得到，根据勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解①∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②略 （3）解：①略； ②由①知， ∴点在直线上运动， 当时，有最小值，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 典例5（培优综合）【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，通过证明四边形是矩形得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3），理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ，， 又， ，， ，， ， ，， ， ，， ，， ，即， ． 【点睛】添加适当的辅助线构造“”型相似是解题的关键． 变式1-1如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形的外角得到，即可得到，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 变式1-2如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折的性质等知识点，作，可推出四边形、四边形、四边形均是矩形；由翻折可知：，得到；推出，得，求出；证得，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 则四边形、四边形、四边形均是矩形， ∴，， 由翻折可知：， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C 变式1-3如图，在四边形中，，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求线段． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； （3）利用相似三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∴． 变式1-4如图，在锐角中，、分别是、的中点，点在上，且满足，交于点． (1)证明：； (2)如图，点在上，且，求证：； (3)在图中，取上一点，使得，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∵， ∴， ； (2)证明：、分别是中点， 是的中位线， ，， ∴，， ∵，， ， ∵，且， ，即 ； (3) 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得，等量代换即可得到，，即可得证； （2）根据中位线定理可得 ，，得到，再由外角的性质以及等量代换得到即可； （3）先证得， 得到 ①，由(2)得，等量代换可得 ②，联立①②得：，从而证得即可求解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图所示， ∵，， ， ，整理得： ①， 由(2)得， ∴， ∵，， ∴ ， ∴ ②， 联立①②得：， ∴； 是中点， ， ，即； 已知， ． 变式1-5在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．    (1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形； (2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论； (3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)； (2) 解：， 证明：如图，分别延长、交于点P，    ∵四边形是矩形， ， ， ， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ，，点G是的中点， ， ， ， ， ， ； (3)或． 【分析】（1）四边形是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，； （2）分别延长、交于点P，四边形是矩形，，，，四边形、四边形、四边形都是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，，，，，点G是的中点，，，，，； （3）由（2）可知，，，由折叠的性质可知，，，，，分情况讨论，①当点E在上时，，，，②当点E在的延长线上时，，，． 【详解】（1）解：与相似 证明：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ； （2）略 （3）解：由（2）可知，， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ①当点E在上时，如图，   ， ， ， ②当点E在的延长线上时，如图，   ， ， ． 综上所述，的长为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，相似的性质和判定，三角函数等知识点，属于压轴题，难度较大，熟练掌握相关性质定理和分类讨论思想是解题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先证明△BCE≌△ACF，再证明△CDG∽△CAF，进而即可求解． 【详解】解：如图，分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC． ∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°， ∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF． 在△BCE与△ACF中，∵∠EBC=∠ACF，BC=AC，∠BCE=∠CAF， ∴△BCE≌△CAF（ASA）． ∴CF=BE=3，CE=AF=4． 在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3， ∴， ∵AF⊥l3，DG⊥l3， ∴△CDG∽△CAF． ∴，解得． 在Rt△BCD中，∵，BC=5， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质，列出比例式是关键． 2．如图1，在中，，D是边上一动点（不与B，C重合），连接，分别过点D，C作的垂线交于点E，连接．设的长度是x，的值是y，y与x的关系图象如图2．当点D运动到中点时，的长度是（     ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据图2可求得；过E作于H，则可证明，同理，可证明，得．设．由可求得x的值，再由勾股定理即可求得的长度． 【详解】解：由题意，根据图2可得，当时，即时，， ∴． 又∵， ∴当点D运动到中点时，则． 如图，过E作于H， ∵， ∴． 又∵， ∴． 同理，． ∴． 设． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，经检验，是方程的根． ∴， ∴． 3．如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点，重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，根据折叠的性质可得∠EHG=∠A=90°，EH=AE，可得EH=a-y，DH=a-x，根据直角三角形两锐角互余的关系可得∠DEH=∠CHG，可证明△DEH∽△CHG，根据相似三角形的性质可用a、x、y表示出CG、HG的长，在Rt△DEH中利用勾股定理可得x2=2a(x-y)，表示出△CHG的周长，进而可得答案． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a， ∵将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合， ∴∠EHG=∠A=90°，EH=AE， ∴DH=a-x，EH=a-y， ∵∠CHG+∠DHE=90°，∠DEH+∠DHE=90°， ∴∠CHG=∠DEH， ∵∠D=∠C=90°， ∴△DEH∽△CHG， ∴，即：， ∴CG=，HG=， 在Rt△DEH中，EH2=DE2+DH2，即(a-y)2=y2+(a-x)2， ∴x2=2a(x-y)， ∴n=CH+HG+CG=x++==2a， ∴==2， 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换及正方形的性质及相似三角形的判定与性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用． 4．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，折痕为EF，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，则EF的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则CD=3x，，根据求出x=6，得到CD=18，CF=8，=12，证明△∽△求得DM=9，，，AM=9，再根据求得AE=4，过点E作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，再根据勾股定理求出EF=. 【详解】设，则CD=3x，， 由折叠得， ∴CF=3x-10， ∵ ∴100=， 解得x=6或x=0（舍去）， ∴CD=18，CF=8，=12， ∵∠C=∠D=∠, ∴∠, ∴△∽△, ∴， ∴， ∴DM=9，， ∴，AM=9， 在Rt△中，， ∴, 解得EM=5， ∴AE=4， 过点E作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形， ∴BH=AE=4，EH=AB=CD=18， ∴FH=10-4=6， ∴EF=, 故选：C.    【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，解题中多次用到勾股定理求出直角三角形中的边长，根据折叠的性质得到对应的边相等或角度相等是解题的关键. 5．图1中周长为58的矩形纸片剪掉一块边长为4的正方形后，将剩下的部分沿着虚线剪开，拼成不重叠、无缝隙的矩形（如图2），则图2中线段的长为__________，连接部分⑤的对角线交矩形于点M、N，则__________． 【答案】 10 【分析】如图（见解析），结合两个图形得出，，再证出，求出的长，即可得的长；先得出的长，再得出，的长，然后证出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由图1和图2可知，，它们等于剪掉的那块正方形的边长，即；（理由是图2中的）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设图1中周长为58的矩形纸片的长为，则宽为， ∴，，， ∴， 解得或（此时，不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， ∴，，， ∴图2中线段的长为10． 如图，延长，交于点， 由题意得：，，，，，，，，， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题的难点在于正确找出相似三角形． 6．如图所示，矩形中，，，，，，则______ 【答案】 【分析】过点F作，分别交和于点P和Q，在上截取，，证明四边形和四边形都是矩形，得到，，；证明，推出 ，设，则，可求出，，由勾股定理得到，；证明，得到，即，求出，，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点F作，分别交和于点P和Q，在上截取，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，； ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ， ∴， ； ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ， ， ， ， ∴，即， ，， ∴， 解得或（舍去）， ． 7．如图，将边长为6的正方形纸片按如图所示方式折叠（点分别在边上），使点落在边上的点处，点落在点处，若点为的三等分点，则的长为_____． 【答案】或 【分析】根据同角的余角相等证得，从而证明与，再根据点为的三等分点分和两种情况，利用相似求出边的长度，再利用勾股定理求解． 【详解】解：由折叠可知，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点作交于点， ， ∴四边形为矩形， ∴， 情况1：当时，， ， 在中，，即，解得， ∴， ∵， ∴，即，解得， 则，， ∵， ∴，即， 解得， 则， ∴， ∴， 在中，； 情况2，当时，， 根据情况1的方法求解，解得； 综上所述，的长度为或． 8．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点A1，作第2个正方形；延长交x轴于点，作第3个正方形…按这样的规律下去，第2022个正方形的边长为______． 【答案】 【分析】由题意得，再根据勾股定理得，即可得第1个正方形的边长为，然后说明，可得，进而求出，接下来求出第2个正方形的边长为，同理求出第3个正方形的边长为，再求出第n个正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：由题意，得， 根据勾股定理，得， 第1个正方形的边长为． ∵， ∴，即， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 第2个正方形的边长为． 由正方形的性质可得， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 第3个正方形的边长为， 同理可得， 第4个正方形的边长为， 第n个正方形的边长为， 所以第2022个正方形的边长为． 9．如图，在矩形中，点E是线段上的一点，，将沿翻折，得到，若，，则点F到的距离为_____． 【答案】 【分析】设交于点H，作于点G，先证明，可得，则可得到；设，则，由平行线性质及折叠角性质可得，，在直角三角形中，由勾股定理可得方程，解得，再根据，可得． 【详解】解：设交于点H，作于点G，如图， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得：或9（9不合题意，舍去）． ∴， 设，则， ∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得，， 解得：， ∴，， ∵， ∴． 10．（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）略 （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 11．实践与探究 如图1，在边长为的正方形中，是正方形内一点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，． 问题解决： (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，且． ①如图2，当，，三点共线时，连接，求线段的长； ②在点运动的过程中，当，，三点共线时，连接，请自己画出图形，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． (2)①；②， 【分析】（1）利用正方形和旋转的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）①由（1）可知，则，结合正方形的性质及勾股定理得的长，过点作延长线于，可证，利用相似三角形的性质可得，的长，再利用勾股定理求解即可；②连接，过点作，由三角形三边关系可知，当点在上时取等号，即：当最小时，，进而可得的面积，由得，进而求得的长，可得的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）可知，， ∴， ∵正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作延长线于，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； ②如图，连接，则， 由三角形三边关系可知，， 当点在上时取等号，即：当最小时，， ∴， 如图，过点作，则， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴四边形的面积为． 12．如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当是等腰三角形时，请求出的值． 【答案】(1)4， (2)是， (3) 【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解决问题； （2）结论：的值为定值．证明方法类似（1）； （3）连接交于，在中，，代入数据求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：作于交于． 四边形是矩形， ，，， ． 在中，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为4，． （2）结论：的值为定值． 理由：由，可得．，，， ， ； （3）连接交于． ，所以只能， ， ， ， ， 垂直平分线段， 在中，， ， ， ， ． 综上所述，的值为． 【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $