第1章 特殊平行四边形 综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

数学（北师版）九年级上 APy,解得AP-只综上所述，AD- 9,QC=22. ⊙ ② (第5题) [综合素养提升] ①B四边形ABCD是正方形，.AD=AB, ∠DAB=∠ABC=90°.又，AE=BF,∴.△ADE≌ △BAF.∴.∠ADE=∠BAF.∴.∠DOF=∠ADO+ ∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°..·M是DF 的中点.0OM=2DF.如图，在AB延长线上截取BH BG,连接FH,DH.,∠FBG=∠FBH=90°，FB=FB, BG=BH,∴.△FBG≌△FBH.∴.FH=FG.∴.OM+ 号FG=DF+HF=号DF+Hp).当H,D,F 三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+?FG有 最小值，最小值为DH长的一半.：AG=2GB,AB=6, ∴.BH=BG=2.∴.AH=8.在Rt△ADH中，由勾股定 理，得DH=VD+AF-10..OM+2FG的最小 值为5. H (第1题) ②C在□ABCD中，AB=BC=13,∴平行四边形 ABCD是菱形，AB∥CD.∴.CA平分∠BCD,∠ABE= 1 ∠BCD.∠ECA=?∠BCD.:BF平分∠ABE, ·∠EBF=2∠ABE.∠EBF=∠PCA.AC∥BF 连接BD交AC于点G,则AC⊥BD,且BD垂直平分AC AB=BC=13,AC=24,.AG=CG=12.在Rt△ABG 中，由勾股定理得BG=√AB-AG=5.,AC∥BF, ·△MCP的边AC上的高为5.·SAp=2X5AC= 号×5x21=0 ③6∠AED=90°，F是边AD的中点，EF=4cm, 46 .AD=2EF=8cm.∠EAD=30°，∴.在Rt△AED 中，DE=2AD=4cm.AE=√AD-DE=43cm :四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC,∠B=90 ∴∠BEA=∠EAD=30°.∴.在Rt△ABE中，AB= A/5 em-/-6om. ④①②④DP⊥DE,∴.∠PDE=90°.在正方形 ABCD中，∠ADC=90°，AD=CD,∴.∠ADC-∠PDC= ∠PDE-∠PDC,即∠ADP=∠CDE.在△APD和 AD=CD, △CED中，∠ADP=∠CDE,∴.△APD≌△CED.故① DP=DE 正确.△APD≌△CED,.∠APD=∠CED.又 :∠APD=∠PDE+∠DEP,∠CED=∠CEA+ ∠DEP,.∠CEA=∠PDE=90.∴.AE⊥CE.故②正 确.如图，过点C作CF⊥DE,交DE的延长线于点F DE=DP,∠PDE=90°，∴.∠DPE=∠DEP=45°.又 ∠CEA=90°，∴.∠CEF=45.∠F=90°，∴.易知 EF=CF.DE=DP=1,∴.PE=√DP2+DE=√2. PC=√6，∴CE=√PC-PE=2.:在Rt△CEF 中，EF2+CF2=CE2,EF=CF,∴.易得CF=EF=√2，即 点C到直线DE的距离为√2.故③错误.：C℉=EF=√2， DE=1,∴.在Rt△CDF中，CD2=CF2+DF2=(W2)2+ (1十√)2=5十2，√2，即S正才无An=5+2√2.故④正确.综 上所述，正确的为①②④. (第4题) ⑤(1)：四边形ABCD为矩形，∴.AD∥BC. ∴.∠DAC=∠BCA.由翻折知，∠DAF=∠HAF= 合∠DAC,∠E=AMCE-∠C,∠HAF- ∠MCE.∴.AF∥CE.(2)当∠BAC=30°时，四边形 AECF是菱形.理由：四边形ABCD是矩形，∴.∠D ∠BAD=90°，AB∥CD.由(1)，得AF∥CE,∴.四边形 AECF是平行四边形.：∠BAC=30°，∴.∠DAC=90°- 30°=60°.∴.∠ACD=90°-60°=30°.由折叠的性质，得 ∠DAF=∠HAF=30°，∴.∠HAF=∠ACD.∴.AF= CF.∴.四边形AECF是菱形 6(1)在□ABCD中，AB∥DC且AB=DC. ∴.∠ABE=∠DCF.在△ABE和△DCF中， (AB=DC, ∠ABE=∠DCF,∴.△ABE≌△DCF..AE=DF, BE=CF, ∠AEB=∠DFC=90°.∴.AE∥DF.∴.四边形ADFE是 平行四边形.：∠DFC=90°，∴.四边形ADFE是矩形 (2)由(1)知四边形ADFE是矩形，.EF=AD=8. EC=6,∴.BE=CF=2..BF=10.在Rt△ABE中， ∠BAE=30°，BE=2,.AB=2BE=4.∴.DF=AE= √AB2-BE=2W3.在Rt△BDF中，BD= √BF2+DF=√102+(2W3)2=4W7.,四边形ABCD是 平行四边形，.OB=OD.OF-2BD=2W7. ⑦(1)·'AF∥BC,∴.∠AFC=∠FCD,∠FAE= ∠CDE.:E是AD的中点，∴.AE=DE.在△FAE和 ∠AFE=∠DCE, △CDE中， ∠FAE=∠CDE,∴.△FAE≌△CDE, AE-DE ∴.AF=CD.D是BC的中点，∴.BD=CD.∴.AF= BD.∴.四边形ADBF是平行四边形.∠BAC=90°，D 是BC的中点.AD-号BC-BD.四边形ADBF是 菱形.(2)四边形ADBF是菱形，∴.菱形ADBF的 面积=2X△ABD的面积.：D是BC的中点，∴.△ABC 的面积=2X△ABD的面积.∴.菱形ADBF的面积= △ABC的面积=80.：∠BAC=90,.2AB·AC=80. ∴.AC=16.∴.BC=√AB2+AC=2√89. ⑧(1)选择不唯一，如选思路一.如图①，由旋转，得 P'B=PB=2,∠PBP'=90°，P'A=PC=3.∴.PP'= √PB2+PB7=2√2，易得∠P'PB=45.∴.PA2十 PP2=12+(22)2=9=P'A..△APP'是直角三角形， 且∠APP'=90°.∴.∠APB=90°+45°=135°.(2)如图 ②，将△BPC绕点B按逆时针方向旋转90°，得到△BP'A, 附：答案与解析 连接PP'.∴.P'B=PB=1,∠PBP'=90°，PA=PC √I..PP'=√PB2+PB=√2，易得∠P'PB=45. ∴.PA2+Pp=32+(W2)2=11=P'A2.∴△APP'是直 角三角形，且∠APp'=90°.∴.∠APB=90°-45°=45°. ① ② (第8题) ,② 01)45:号.在菱形ABCD中，∠A=90四边 形ABCD是正方形.∴.BC=CD,∠BCD=90°.在△BCN (BC=DC, 和△DCM中，{∠CBN=∠CDM,∴.△BCN≌△DCM. BN=DM, ∴.∠BCN=∠DCM,CN=CM.'∠BCN+∠DCN= ∠BCD=90°，∴.∠DCM+∠DCN=∠MCN=90°. ∴.△MCN是等腰直角三角形.∴∠BMC=45°.由勾股定 理号得N=CM瓷-号 (2)四边形 ABCD是菱形，∠A=120°，.BC=CD,∠BCD=∠A= BC=DC, 120°.在△BCN和△DCM中， ∠CBN=∠CDM, BN=DM, .△BCN≌△DCM.∴.∠BCN=∠DCM,CN=-CM. :∠BCN+∠DCN=∠BCD=120°，∴.∠DCM+ ∠DCN=∠MCN=120°..CM=CN,.∠CMN= ∠CNM.:'∠CMN+∠CNM+∠MCN=180°， ：∠CMN=∠CM=3180-∠McV)=30.如图D. 过点C作CE⊥BP于点E,则ME=NE,∠CEM=90°.在 Rt△CEM中，∠CME=30°，∠CEM=90°，∴.CE= 2cM:M=oW-(E-√am-(合c- CM.MN=2EM=2XCM-3 CM.(3) ∠CDM=∠PBC=45时，如图②，过点M作MF⊥CD于 点F,在射线BP上取一点N,使BN=DM,连接CN.同 理可证明△BCN≌△DCM..CN=CM,∠BCN= 47 数学（北师版）九年级上 ∠DCM.设∠BCN=∠DCM=a,则∠MCN=120°-2a. ·∠CNM=∠CMN=180°=020°-2a)=a+30 2 :∠CNM=∠CBN+∠BCN,∴.a+30°=45°+a,不符 合题意.∴.此时点M与点N重合，如图③所示.设MD= x.:MF⊥CD,∠CDM=45°，∴.△DFM为等腰直角三 角形易得DF=MF-号，：四边形AD是菱形， ∠A=120°，AB=3√2，∴.BC=CD=32,∠BCD=120°. 由菱形的对称性及∠CDM=∠PBC,可得∠MCF= ∠BCM=2∠BCD=60.在R△MCF中，∠MCF=60, ∠MC=0,由勾股定理，易得CF-号MF=5 6x. DF+CF=CD,号x+6x=32..x=9-33 .MD=9-3W5. 7D M(N) F C ③ (第9题) 第二章 一元二次方程 [高频考点突破] ①由题意知a+1=2,且a一1≠0，解得a=-1,故此方 程的一般形式为一2x2一2x十7=0. ②a为方程2x2-3x-1=0的一个根，.2a2-3a- 1=0.∴.2a2-3a=1.∴.原式=a2-1+3a2-6a=4a2- 6a-1=2(2a2-3a)-1=2×1-1=1. 3(1)移项，得3x(2x+1)一2(2x+1)=0.分解因式，得 (2x+1)(3x-2)=0..2x+1=0或3x-2=0. 48 1 2 ·1=一222=3(2)移项，得x2十12x--25.配 方，得x2+12x+36=-25+36,即(x+6)2=11.开方，得 x+6=士√T..x1=-6+√T,x2=-6-√I. (3)对于2x2-7x+2=0,a=2,b=-7,c=2.62 4ac=(一7)2-4×2×2=49-16=33>0，.x= 7±y压，即，-7+压，x,7二® 4 ,x2= 4 4 ④(1)m≠0，∴.方程m.x2+(m-3)x-3=0(m≠0)是 关于x的一元二次方程.∴.△=(m-3)2一4m·(-3)= (m+3)2.,(m十3)2≥0，即△≥0，∴.方程总有两个实数 根(2)x=二m-3)±m+3》,.,=3, 2m x2= 一1.：m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴.m=1 或3. ⑤存在.设方程的两个实数根为x1,x2,则x1十x2= 2(m+2),x1x2=m2-5.∴.x号+x号=(x1+x2)2 2x1x2=2m2+16m+26.令2m2+16m+26=44,即m2+ 8m一9=0，解得m1=1,m2=-9.方程x2-2(m十2)x+ m-5=0有实数根，4=16m十36≥0，即m≥-是 .m=1. ⑥(1)设该门店这两周该数据线销量的周均增长率为x, 由题意，得125(1十x)2=180,解得x1=0.2=20%, x2=一2.2（不符合题意，舍去），∴.该门店这两周该数据线 销量的周均增长率为20%.(2)设每条数据线上涨1.5y 元，则每周的销量为(180一15y)条，由题意，得(25+ 1.5y-16)(180-15y)=1800,整理，得y2-6y+8=0,解 得y1=4,y2=2.:尽可能让利于顾客，∴y=2.∴25十 1.5×2=28(元).∴.应将零售价定为28元. 思路导引 01) 方程x2-（m+1)x+3(m-2)=0 a=1,b=-(m+1),c=3(m-2) △=b2-4ac=m2-10m+25=(m-5)2≥0 (2) 当BC为腰时，一根为5 当BC为底边时，AB=AC 代入方程求m的值 △=0，求m的值 解方程求AB,AC的长 解方程求AB,AC的长 求两种情况的△ABC的周长第一章特殊平行四边形 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.[2024泸州中考]如图，在边长为6的正方形ABCD中，E,F分别是边AB,BC上的动 点，且满足AE=BF,AF与DE交于点O,M是DF的中点，G是边AB上的点，AG= 2GB.则OM-2FG的最小值是 A.4 B.5 C.8 D.10 M A EG B R (第1题) (第2题) 2.[2025渭南华州期末]如图，在☐ABCD中，AB=BC=13,连接AC,AC=24,延长CB至 点E,BF平分∠ABE,P是BF上一点，连接AP,CP,则△ACP的面积为 () A.40 B.50 C.60 D.70 3.如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，∠AED=90°，∠EAD=30°，F是边AD的中 点，EF=4cm,则BE= cm. (第3题) (第4题) 4.如图，在正方形ABCD外取一点E,连接DE,AE,CE,过点D作DP⊥DE,交AE于点 P,连接PC,DE=DP=1,PC=√6.有下列结论：①△APD≌△CED;②AE⊥CE;③点 C到直线DE的距离为3；④S正方形D=5十2√2.其中，正确的为 (填序号) 5.如图，有一张矩形纸片ABCD,将点B翻折到对角线AC上的，点M处，折痕CE交AB于点 E,将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F,折叠出四边形AECF. (1)求证：AFCE. (2)当∠BAC的度数为多少时，四边形AECF是菱形？请说明理由. (第5题) 数学（北师版）九年级上 6.[2025汉中期末]如图，在□ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点A作AE⊥BC于 点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF, (1)求证：四边形ADFE是矩形 (2)连接OF,若AD=8,EC=6,∠BAE=30°，求OF的长. (第6题) 7.[2025榆林期末]如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点， 过点A作AFBC交CE的延长线于点F,连接BF. (1)求证：四边形ADBF是菱形 (2)若AB=10,菱形ADBF的面积为80，求BC的长. (第7题) 8.数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，P是正方形ABCD内一点，PA=1,PB= 2,PC=3.求∠APB的度数.小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路，思路一：将 △BPC绕点B按逆时针方向旋转90°，得到△BP'A,连接PP',求∠APB的度数；思路 二：将△APB绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CP'B,连接PP',求∠APB的度数. (1)请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程， (2)如图②，若P是正方形ABCD外一点，PA=3,PB=1,PC=√J11.求∠APB的 度数 ② (第8题) 8 第一章特殊平行四边形 9.用四根一样长的木棍搭成菱形ABCD,P是线段DC上的动点（点P不与点D和点C重 合)，在射线BP上取一点M,连接DM,CM,使∠CDM=∠CBP. (I)如图①，调整菱形ABCD,使∠A=90°，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取 一点N,使BN=DM,连接CN,则∠BMC= MC 'MN (2)如图②，调整菱形ABCD,使∠A=120°，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上 取一点N,使BN=DM,连接CN,求证：MN=√3CM (3)如图③，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=3√2.若点P在射线CD上，点M在射 线BP上，且当∠CDM=∠PBC=45时，请求出MD的长， ② (第9题) 9