第2章 一元二次方程 综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

(1).△=[-(m+1)]2-12(m-2)=m2+2m+1- 12m+24=m2-10m+25=(m-5)2≥0，∴.无论m为何 值，方程总有两个实数根.(2)①当BC为腰时，则方程 必有一个根为5，∴.52-5(m+1)+3(m-2)=0.∴.m= 7.∴.方程为x2-8x十15=0..x=3或x=5..等腰三 角形的三边长为5,5,3.∴.周长为5+5+3=13.②当BC 为底边时，则方程有2个相同的实数根，∴.△=(m一5)2 0.m=5.∴.方程为x2-6x十9=0，解得x1=x2=3. .等腰三角形的周长为5十3十3=11.综上，当m=7时， △ABC是等腰三角形，周长为13；当m=5时，△ABC是 等腰三角形，周长为11. [综合素养提升] ①C根据一元二次方程的概念，可知只有选项C符合 题意 ②D根据题意，得x(m.x)+x十1=0.整理，得mx2十 x十1=0.：关于x的方程[x,x+1]★(mx)=0有两个 不相等的实数根，∴.△=1一4m·1>0且m≠0，解得 m<且m≠0， ③5：一元二次方程5x2十1z一n=0既是“和谐"”方程 5+m-n= m=0, 又是“美好”方程， 5-m-n=0, 0解得m=5. n=0+5=5. 0号 :实数a,b分别满足a2-4a十3=0，b2-4b+ 3=0,且a≠b,∴.a,b可看成方程x2一4x+3=0的两个 不相等的实数根“4十6=4,6=8：。+ 1 d ab ⑤(1)△ABC是等腰三角形.理由：把x=1代入方程 (a+c)x2-2bx+(a-c)=0,得a+c-2b+a-c=0, ,∴.2a=2b..a=b..△ABC的形状是等腰三角形. (2)△ABC是等边三角形，∴.a=b=c.(a十c)x2一 2bx+(a-c)=0,∴.(a十a)x2-2ax十a-a=0,即x2- x=0,解得x1=0,x2=1,即这个一元二次方程的根是 x1=0,x2=1. 1=2, 0)2:-3.当x>0时，x+≥2… x十上的最小值为2.当x<0时，4x+36= x 附：答案与解析 -[(-4)+(-)】<-2-4x(-9)=-2× 12=-24,当且仅当一红=兰即x=-3时取到等号， 即当x=一3时，式于4红+取到最大值(2)设矩形花 园的长为x米，宽为y米，则xy=32,欲使x+2y最小 x>0,y>0,∴x+2y≥2x·2=2√2xy= 2√2×32=2×8=16，当且仅当x=2y时取得等号，由 x=2y, 解得x=8,y=4,x十2y=16,即长为8米，宽为 xy=32, 4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆为16米. ⑦(1)：△=[-(2m+1)]2-4(m2+m)=4m2+4m+ 1一4m2一4m=1>0,∴.无论m取何值，方程都有两个不 相等的实数根.(2)：该方程的两个实数根为a,b, ∴.a+b=2m+1,ab=m2+m.:(2a+b)(a+2b)= 2a2+4ab+ab+2b2=2(a2+2ab+b2)+ab=2(a+b)2+ ab,∴.2(a十b)2+ab=20.∴.2(2m十1)2+m2+m=20.整 理，得m2十m一2=0，解得m1=一2，m2=1.∴.m的值 为-2或1. 8(1)①x2-x-6=0,即(x-3)(x+2)=0,解得x1= 3,2=-2.:3-(-2)=5≠1，∴.一元二次方程x2- x一6=0不是“邻根方程”.②方程2x2一25x+1=0 的两个根是，=2,3-√-23)-4X2X1 2×2 ，x2= 2W3+W(-23)2-4×2X1 2×2 即尘 2 :51_5-1=1,.一元二次方程2x2-25x+1- 2 2 0是“邻根方程”.（2)x2一(m一2)x一2n=0, ∴.(x-m)(x十2)=0..x1=m,x2=-2.关于x的 一元二次方程x2-(m一2)x-2m=0(m是常数)是“邻根 方程”，∴.m=-2十1或m=-2-1,即m=-1或m=-3. ⑨(1)(14-10)÷2+1=3（个），∴.该批次的蛋糕产品属 于第3个档次的产品.(2)设该烘培店生产的是第x个 档次的蛋糕产品.由题意，得[10+2(x一1)][76-4(x一 1)门=1080.整理，得x2-16x+55=0,解得x1=5,x2= 11(不合题意，舍去).∴.该烘焙店生产的是第5个档次的 蛋糕产品 ⑩过点Q作QE⊥PB于点E,则∠QEB=90°.：在 49 数学（北师版）九年级上 R△QBEB中，∠B=30.QE=号QB.Sam 号PB·QE.设经过ts△PQ的面积为4cm.点P,Q 到达终点前，PB=(6-t)cm,QB=2tcm,QE=tcm.由题 意，得2(6-t)·t=4,即t-6t十8=0，解得t=2,t2= 4.当t=4时，2t=8,8>45,不合题意，舍去.∴.t=2.点 Q到达点C后，1>25.QE=AC=号BC=2cm,PB= 6-0cm号×2×6-4)=41=6-5综上所 述，经过2s或6-4）△PQ的面积为4am2。 0(1)(-2,0).x(x十2)=0，x十2=0或x=0, 解得x1=-2,x2=0.,-2<0,∴.方程x2十2x=0的衍 生点P的坐标为（一2,0）.(2)①根据题意，可得 △=(-1)2-4×q×1≥0， 1-4g0 即 ”解得g≤}且 q≠0， g≠0， q≠0.②设关于x的一元二次方程gx2一x十1=0的两 个实数根分别为m,n+2,则m十(n+2)=号mn十 2)1 2m+2=m+2m,解得m=±2.当m=2 时，9一 m+(m+2)22+2 。=。,当m=一2时，g= 1 1 m+(m+2)-22+2 尘综上0的值为 2 或-2+1 2 (3)y=kx+3(2-k)=k(x-3)+6, ∴.直线过定点M(3,6).∴.方程x2+bx十c=0的两个实 -b 数根为x1=3,x2=6..x1十x2= =一b=3+6=9, xxg==c=3X6=18.6=-9c=18 第三章【 图形的相似 [高频考点突破] ①(1)a:b:c=3:2:6,.设a=3k,b=2k,c=6k. 又a+2b+c=13,∴.3k+2×2k+6k=13,解得k=1. .a=3,b=2,c=6.(2)线段a,b,c,d是成比例线 段号-行，即号-日解得d=4 50 ②：矩形OABC矩形ODEF,它们的相似比为 3 · “8器-8器=是：点B的坐标为9,60A=9 0=60品-流=号0D=60f=4点E的 坐标为（一4，一6）. ⊙(1)4nm,DE:EF=5:3,AC=24,.A BC 保-号C-号BC-景AC-g②：AC 24,BC=9,..AB=AC-BC=24-9=15.'AD//BE, AD-4,E-1品品-片÷品-0 3AB=8 ④(1)3-√5.(2)S,=S2.理由：：S,表示以BC为边 的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积， .S1=BC,S2=AC·AB.BC2=AC·AB,.S,=S2 ⑤(1)'四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上 点，对角线AC与BE相交于点F,∴.AD∥BC ∴.∠EAF=∠ACB=∠ABE.,'∠AEF=∠BEA, △EAPU△BA品需A-F·BE (2)由(1)得AE2=EF·BE,且AE=2,EF=1,.BE= 4.∴.BF=BE-EF=4-1=3.∠AFE=∠CFB, EAF=∠BCE,,△AEF∽△CBF.F=, SACBF 隙)= ⑥(1)BE⊥AC,DC⊥AC,∴.EBCD.∴.△ABEc∽ △AD.器装脚品廉得CD=6米庆 杆CD的高度为6米.(2)由题意得∠EFB=∠DFC, ∠HBF=∠F,△EBF△IE.需-8g,即 。g第，解得BF-号米：小水坑F到小明的拒离 1.5BF BF的长为9米 ⑦1)(0,0)：2：连接AA1,BB1,CC,交于点0，则位 似中心为点O(0,0).由勾股定理得B,C,=√+1下= √2，BC=√2+2=2√2，：△A,B,C,和△ABC位似，第二章一元二次方程 望综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的为 () A.x2+-0 B.3x2=(x-1)(3.x+2) C.(x-1)(x+2)=1 D.3x2-2xy-5y2=0 2.[2025葫芦岛兴城期中]规定：对于任意实数a,b,c,有[a,b]★c=ac+b,其中等式右侧 是通常的乘法和加法运算，如[2,3]★1=2×1十3=5.若关于x的方程[x,x十1]★ (mx)=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 () A.m<号 Cm>-且n≠0D.m<号且m≠0 3.定义：如果一元二次方程ax2十bx十c=0满足a十b十c=0,那么我们称这个方程为“和 谐”方程；如果一元二次方程a.x2十bx十c=0满足a一b十c=0,那么我们称这个方程为 “美好”方程.如果一个一元二次方程5x2十x一n=0既是“和谐”方程又是“美好”方程， 那么m十n= 4.若实数a,b分别满足a2-a+3=0,6-4h十3=0，且a≠b,则2+的值为 5.[2025宿迁期末]已知关于x的一元二次方程(a十c)x2-2bx十(a-c)=0,其中a,b,c 分别为△ABC三边的长. (1)如果x=1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由. (2)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 6.[2025达州通川期末]由(a-b)≥0得a2+b2≥2ab;如果两个正数a,b,即a>0,b>0, 那么有不等式a十b≥2√ab,当且仅当a=b时取到等号： 例如：已知x>0,求式子x十4的最小值.解：令a=x,b=4,则由a十b≥2√ab,得x十 六当且仅当之即x=2时式子有最小值最 请根据上面材料回答问题： (1)当x>0,式子x+1的最小值为 ;若x<0,则当x=时，式子4x十 取到条大位 15 数学（北师版）九年级上 (2)用篱笆围一个面积为32平方米的矩形花园，使这个矩形花园的一边靠墙（墙长20 米)，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆是多少？ 7.已知关于x的一元二次方程x2一(2m十1)x十m2十m=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a十b)(a十2b)=20,求m的值. 8.如果关于x的一元二次方程a.x2十bx+c=0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1,那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程x2十x=0的两个根是x1=0, x2=一1，则方程x2十x=0是“邻根方程” (1)通过计算，判断下面的方程是不是“邻根方程”： ①x2-x-6=0. ②2x2-2√5x+1=0. (2)已知关于x的一元二次方程x2一(m一2)x一2m=0(m是常数)是“邻根方程”，求m 的值 9.某烘焙店生产的蛋糕产品分为6个档次，第1个档次（即最低档次）的蛋糕产品每天生产 76件，每件的利润为10元.调查表明：生产的蛋糕产品每提高一个档次，该产品每件的利 润增加2元. (1)若生产的某批次蛋糕产品每件的利润为14元，则该批次的蛋糕产品属于第几个档次 的产品？ 16 第二章一元二次方程 (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天的产量会减少4件.若生产的某 个档次的蛋糕产品一天的总利润为1080元，则该烘焙店生产的是第几个档次的蛋糕 产品？ 10.如图，在Rt△ABC中，AB=6cm,BC=43cm,∠B=30°，∠A=90°，点P从点A出 发，以1cm/s的速度向点B移动，点Q从点B出发，以2cm/s的速度向点C移动，连接 PQ.如果P,Q两点同时出发，到达终点时各自停止移动，那么经过几秒，△PBQ的面 积为4cm2? (第10题) 11.[2025济南市中期末]定义：若关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0的两个实数根分 别为x1,x2（x1<x2),分别以x1,x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1,x2),则称M为该 一元二次方程的衍生点. (1)直接写出方程x2十2x=0的衍生点P的坐标为 (2)若关于x的一元二次方程qx2一x十1=0有衍生点： ①求实数g的取值范围. ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求q的值， (3)已知不论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2十bx十c=0的衍生点G始终在直线 y=k.x十3(2-k)上，求b,c的值 17