第二章 一元二次方程 能力提升自测卷 2026-2027学年北师大版年九年级数学上册

第二章 一元二次方程 能力提升自测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（     ） A．5 B． C．8 D． 3．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 4．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 6．把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 7．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 8．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达到，每轮传播人，列出的方程是（   ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．把方程化为一般形式是__________． 12．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 13．某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 14．已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是____________． 15．一次聚会上，每两位参会者都互赠一份礼物，经统计所有人一共送出72份礼物，求共有多少人参加聚会．设共有x个人参加聚会，则可列方程为__________． 16．已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．解方程： (1) (2) (3) (4) 18．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度． 19．年，中国载人航天的征程令人期待．神舟二十号、神舟二十一号、天舟九号蓄势待发，昊龙货运航天飞机、轻舟货运飞船也将携手朱雀三号、力箭二号闪亮登场．这些新成员的加入，让中国空间站——天宫的发展充满无限的遐想．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两种模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多元，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个．求每个“天宫”模型的进价是多少元． 20．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 21．突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时对某商品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． (1)该商品的售价和进价分别是多少元？ (2)在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2160元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ 22．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 23．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 24．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 能力提升自测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（     ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】无需解方程，利用根与系数的关系直接计算两根之和. 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得，． 3．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 4．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 5．根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴二次函数的图象与轴的一个交点在之间， ∴关于的方程的一个解的取值范围是 6．把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 通过完成平方将方程化为的形式，直接计算n的值即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴． 故选D． 7．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 8．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 9．在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达到，每轮传播人，列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每轮传播中平均一人传播了x人，根据经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意得：， 即：． 故选：D． 10．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 12．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 【答案】 【分析】把代入方程中，求出的值，结合即可得解． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 13．某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 【答案】 【分析】十一月加工量=九月加工量（+月平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 14．已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，用含的代数式把这个两位数表示出来为，根据十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，可列方程，解方程求出的值，再把这个两位数表示出来即可． 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为： ． 15．一次聚会上，每两位参会者都互赠一份礼物，经统计所有人一共送出72份礼物，求共有多少人参加聚会．设共有x个人参加聚会，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程， 根据题意可知每人送出份礼物，再用人数乘以每人送出礼物数等于总的礼物数列出方程即可. 【详解】解：共有x个人参加聚会，每人送出份礼物，得 . 故答案为：. 16．已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，理解题意，得，再整理得，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∴或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】根据直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解： 或 ，； （2）解： ，； （3）解：，，， 则， ， ，； （4）解： 或， ，． 18．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度． 【答案】停车场内车道的宽度为 【分析】设车道宽为，用含的式子表示停车位矩形的长和宽，根据面积列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的根． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，则停车位可合成长为，宽为的矩形，根据题意得： ， 整理得：， 解得：，， ∵停车场的长为， 又∵，不符合实际意义， ∴， 答：停车场内车道的宽度为． 19．年，中国载人航天的征程令人期待．神舟二十号、神舟二十一号、天舟九号蓄势待发，昊龙货运航天飞机、轻舟货运飞船也将携手朱雀三号、力箭二号闪亮登场．这些新成员的加入，让中国空间站——天宫的发展充满无限的遐想．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两种模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多元，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个．求每个“天宫”模型的进价是多少元． 【答案】元 【分析】设每个“天宫”模型的进价是x元，则每个“神舟”模型的进价是元，由题意可得， ，解方程即可． 【详解】解：设每个“天宫”模型的进价是x元，则每个“神舟”模型的进价是元， 由题意可得， ， 整理，得， 解得， 而价格不能为负数， 故舍去， 故， 经检验，是原方程的根， 答：每个“天宫”模型的进价是20元． 20．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 21．突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时对某商品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． (1)该商品的售价和进价分别是多少元？ (2)在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2160元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ 【答案】(1)该商品的进价为24元/件，售价为32元/件. (2)该商品应涨价4元. 【分析】（1）根据每件的售价比进价多元，件的进价相当于件的售价，可以得到相应的一元一次方程，从而可以求得该商品的售价和进价分别是多少元； （2）根据题意和（1）中的结果，可以得到相应的一元二次方程，从而可以解答本题，注意每天所得的销售利润为元时，且销量尽可能大． 【详解】（1）解：设进价为每件元，则售价为每件元， 由题意可得，， 解得， ， 答：商品的售价和进价分别是元件、元件； （2）设该商品应涨价元， 由题意可得，， 解得，，， 每天所得的销售利润为元时，且销量尽可能大， ， 答：该商品应涨价元． 22．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 【答案】(1)是“伴根方程” (2)①或；② 【分析】（1）首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义判断； （2）①首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义求解； ②首先由得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，， ∵， ∴方程是“伴根方程”； （2）解：①∵， ∴或， ∴，， ∵方程（m是常数）是“伴根方程”， ∴， ∴或； ②∵， ∴， ∴关于t的方程为， ∴， ∴． 23．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 24．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $