第2章 一元二次方程拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第二章一元二次方程 第二章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.若方程“☐一3=4x”是关于x的一元二次方程，则“☐”可以是 A.2y2 B.2x2 C.-2x D.22 2.淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a的值为() A.1 B.2-1 C.√2+1 D.1或2+1 3.已知关于x的一元二次方程x2一m.x一n2十mm+1=0,其中m,n满足m一2m=3,关于该方程根 的情况，下列判断中正确的是 () A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 4.某校研学活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再 长出x个小分支.若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是91个，则x的值为() A.6 B.7 C.8 D.9 5.元旦节来临，某班组织庆祝活动，要在56张书签上写祝福语，班主任王老师写了m张书签之后， 叫来m名同学，让他们仿照老师的格式，每人再分别书写m张书签，这样刚好全部写完，则m的 值是 () A.7 B.8 C.11 D.12 6.已知a,b是一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根，则代数式ab十2b+的值为（) A司 R C.-2 a- 7.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知 识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比 是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：√2≈1.414）() A.20.3% B.25.2% C.29.3% D.50% 8.已知a,b是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x十m2=0的两个不相等的实数根，且满足 1+1=-1,则m的值为 a b () A.-3或1 B.3或-1 C.3 D.1 二、填空题（每小题4分，共20分） 9.若关于x的一元二次方程kx2+(k2一3k+1)x一3=0的一次项系数是1，则k= 10.定义新运算：m⊕n=m十m2,如1⊕2=1×2十1=3，若x⊕(x十1)=0，则x的值为 11.若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”.已知关于x的一元 二次方程x2一2x=0与x2+2x一2m+3=0为“友好方程”，则m的值为 43 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,点D从点C开始沿边CA 运动，速度为1cm/s,与此同时，点E从，点B开始沿边BC运动，速度为2cm/s, D 当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE,DE.设运动时间为ts, △ADE的面积为Scm.当SAAE号SA度时d= (第12题) 13.某市正大力发展绿色农产品，有一种有机水果特别受欢迎，某超市某天以10元/千克收购了 5000千克该水果，立即将其冷藏，有下列信息：①该水果的价格每天每千克上涨0.1元；②该 水果平均每天有10千克的损坏，不能出售：③每天的冷藏费用为200元；④该水果最多保存 120天.将这批水果存放 天后一次性出售所得利润为9100元. 三、解答题（共48分） 14.(8分)解方程： (1)(2x-1)2=x(3x+2)-7.(2)2x2-1=x(x+3). (3)x2+2(x-1)=2x2+6. 15.(8分)已知关于x的方程b(x2一1)+2a.x十c(x2+1)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边 的长 (1)若x=一1是方程的根，试判断△ABC的形状， (2)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状 16.(10分)定义：已知x1,x2是关于x的一元二次方程a.x2+bx十c=0的两个实数根，若x1< x2<0,且3<<4，则称这个方程为限根方程”.如：一元二次方程x2+13x十30=0的两根 ℃2 10,z2=-3,:=10<-3<0,3<3<4,.一元二次方程x2+13z+30 “限根方程”.请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程x2+14x+33=0 “限根方程”.（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元二次方程x2+(2k十5)x十k2十10=0是“限根方程”，且k为小于3的正整 数，求k的值.（参考数据：√5≈2.236） (3)若关于x的一元二次方程x2+(2-m)x一2m=0是“限根方程”，求m的取值范围. 44 第二章一元二次方程 17.(10分)某校新建一栋三层停车楼，每一层的布局如图所示.已知每层长50米，宽30米涂色部 分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每一层喷漆面积为1056平方米 (1)求通道的宽是多少米. (2)据调查分析，停车楼多余的64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可 全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多 少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ -50米 30米 (第17题) 18.(12分)如图，在矩形ABCD中，AB=10cm,BC=12cm,点P从点A开始沿边AB向终点B 以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动.当 点Q移动到点C时，两，点同时停止移动.设移动时间为ts(0<t<3). (1)当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，PQ的长度等于10cm? (3)连接PC,是否存在t,使得△PQC的面积等于32cm？若存在，请求出此时t的值；若不存 在，请说明理由 B Q (第18题) “答案与解析”见P26 45达到100m.设AB的长为ym,则BC的长为30m根 据题意，得y.30义=10.整理，得y2-30y十400=0. ,·△=（一30）2一4×1×400=一700<0，..原方程没有实 数根..假设不成立，即养殖园的面积不能达到100m. 综合与实践2制定芯片生产线的扩充方案 任务一：设第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为 r.根据题意，得200(1十r)=288,解得r1=0.2=20%, r2=一2.2（不符合题意，舍去），.第一季度到第三季度生 产量的每季度增长率为20%.任务二：设增加x条生产 线，则每条生产线产能为(300一20x)万颗/季度.根据题 意，得(1+x)(300-20x)=1200,整理得x2-14x+45= 0,即(x一5)(x一9)=0，解得x=5或x=9.:在增加产 能同时要节省投人成本，.x=5.∴.应增加5条生产线. 第二章拔尖自主测评 1.B由题意得，“口”中必须含有x2项，只有选项B符合 题意。 2.C由题意，得a2一2a=1,配方得(a一1)2=2，即a 1=士2，∴.a1=2+1,a2=一√2十1.a是正数，∴.a的值 为2+1. 3.Cm-2n=3,∴.△=(-m)2-4(-n2+mm+1) m2+4n2-4m-4=(m-2n)2-4=32-4=9-4=5>0. .原方程有两个不相等的实数根 4.D依题意，得1十x十x2=91,整理得x2+x一90=0， 解得x1=9,x2=一10（不合题意，舍去），即x的值为9. 5.A由题意，得m十m2=56,整理得m2+m-56=0,解 得m1=7,m2=一8（不符合题意，舍去），即m的值是7. 6.C,a,b是一元二次方程2.x2+3.x一1=0的两个实 2ab=1 数根，2a2+3a-1=0,a+b=-3 2.2a+ .原式=ab+26+2a+3=ab+2(a+b)+3= 31 -2+2x(-)+3=-2 7.C设每天“遗忘”的百分比为x.由题意，得(1一x) 合解得1= 2-√2 2,x2= 2+2(不合题意，舍去)， 2一2≈0.293.每天“遗忘”的百分比约为29.3%. 2 2 8.C由题意，得a+b=-2m-3,ab=m2,(2m+3)2- 4m2、0.m之-六：a十b=-1,·a十b =-1. 4 ab .a十b=-ab..-2m-3=-m2,解得m=-1(不合题 意，舍去)或m=3..m的值为3. 9.3由条件可知k2一3k+1=1,解得k=0或k=3.,·k≠ 0,.k=3. 10.0或一0.5由条件可知x⊕(x十1)=x(x十1)+x2, .x(x+1)+x2=0..2x2+x=0.∴x(2x+1)=0. .x=0或x=-0.5. 11.1.5或5.5解方程x2一2x=0,得x=0或x=2. ,关于x的一元二次方程x2-2x=0与x2+2x-2m十 3=0为“友好方程”，，.-2m十3=0或4十4一2m+3=0. .m=1.5或m=5.5.,方程x2+2x-2m+3=0有实 数根，.22-4(-2m十3)≥0，解得m≥1.∴.m=1.5或 m=5.5. 12.36÷1=6(s),8÷2=4(s),.0≤1≤4..点D 始终在边AC上.∴.CD=tcm,BE=2tcm..AD=AC CD=(6-t)cm,CE=BC-BE=(8-2t)cm.根据题意，得 号AD·CE=日×3Ac·BC,即26-08-2) 1 gX2×6×8,整理，得2-101+21=0，解得4=3,2 7(不合题意，舍去).∴.t=3. 13.70设将这批水果存放x天后一次性出售.由题意，得 (10十0.1x)(5000-10x)-5000×10-200x=9100,整理 得x2-200.x+9100=0,解得x1=70,x2=130>120(舍 去).∴.存放70天后一次性出售所得利润为9100元. 14(1)x1=2,x2=4.(2),=3+3, 2，x2= 3-√13 2· (3)无实数根. 15.(1).x=一1是一元二次方程b(x2-1)十2a.x十 c(x2+1)=0的根，.-2a十2c=0..a=c..△ABC 为等腰三角形.(2)：b(x2-1)十2a.x十c(x2+1)=0, ∴.(b十c)x2十2a.x+(c-b)=0.:方程有两个相等的实 数根，.△=4a2十4(b十c)(b-c)=0..a2十b2=c2. .△ABC为直角三角形 16.(1)是.由题意，：x2+14x+33=0,.(x+3)(x+ 11)=0.x1=-11,x2=-3,且x1<x2<0.又9= 二号号-3号3会<该方程是限根方程 (2)设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金 (2),一元二次方程x2十(2k十5)x十k2+10=0是“限根 为(200+y)元，可租出(64-六)个车位.由题意，得(200+ 方程”，即有两个不相等的实数根，∴.△=(2k十5)2 y)(64-0)=140·=40为=40.又：要优惠大 4:+10)=20k-15>0.即k>是.又：6<3，k为正整 众，.y=40.∴.每个车位的月租金应上涨40元. 数，∴.k=1或2.①当k=1时，方程为x2+7x十11=0， 18.(1):点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s x=-75.1≈-4618，x≈-2.382.≈ 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边B℃向终点C 2 以4cm/s的速度移动，设移动时间为ts,.BQ=4tcm 1.94,不满足3<<4，不合题意.②当k=2时，方程为 AP=2t cm..AB=10 cm,.'PB=AB-AP =(10- 2t)cm.,点B在PQ的垂直平分线上，∴.PB=BQ. x2+9x+14=0,.(x十2)(x+7)=0..x1=-7,x2= -2,-7<-2<0.4=3.5,满足3<<4，符合题意. 10-2=,解得1=号当1=号时，点B在PQ的 垂直平分线上.(2)由(1)得BQ=4tcm,AP=2tcm, 综上，k=2.(3)x2+(2-m)x-2m=0,∴.(x十2)(x PB=(10一2t)cm.:四边形ABCD是矩形，.∠B= -m)=0.∴.x=一2或x=m.分两种情况：①当m<-2 90°..由勾股定理得PQ=PB2+BQ..(10-21)2+ 时，则3<"2<4.-8<m<-6@当-2<m<0时： (4t)2=102,解得t1=0(舍去)，t2=2.∴.当t=2时，PQ的 3-2∠4·-3m、、 长度等于10cm.(3)存在.由题意得，CQ=BC-BQ= 2 综上所述，m的取值范围 m (12-)cm:△PQC的面积等于32em,.2CQ· 1 是8<m<6或名m<2 PB=32cm.2(12-4)10-2)=32.·1=1或1= 17.(1)设通道的宽是x米.由题意，得(50一2x)(30一2x) 1056,解得x1=3,x2=37(舍去).∴.通道的宽是3米. 7(舍去).∴.当t=1时，△PQC的面积等于32cm2. 第三章 图形的相似 1 相似多边形 ② 4. 设BG=x,则易得BE=2x.:BE=BC,BC BC 第1课时成比例线段 BG _x= 2 BE2x21 1.A由对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边 形，可知两个等边三角形一定相似， :0沿能B”D能设AD=m 2.C:4=03-3,b=183」 004472i…g- c d...ac, 心AB=12cm,AE=6cm,EC=4cm,12-2=4,解 b,d成比例. 得x=7.2..AD=7.2cm.(2)AB=12cm,AD= 34因为a6c,d是成比例线段，可得分-台即 b 7.2 cm:DB=4.8 em.AF=6 cm.EC- 10 ,解得b=4. 4 cm,'AC=10 cm. 化-号咒C即线段 易错警示 DB,AB,EC,AC成比例， 成比例的计算要细心 在计算线段成比例问题时，容易忽略线段成比例的 6B:3z-5y=0y≠0.3x=5y.则号=音 顺序而出错，特别注意成比例线段有顺序性，按照顺序 7.C:'五边形ABCDE∽五边形FGHMN,.∠A= 写出比例式再进行计算 ∠F.∴.选项A,B错误.，AB:FG=2:3,.DE:MN= 27