1.1 认识特殊平行四边形&1.2 第1课时菱形的性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第一章特殊平行四边形 1认识特殊平行四边形 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.下列判断正确的是 () A.有一组邻边相等的四边形是菱形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的矩形是正方形 D.两边相等的平行四边形是菱形 2.向条件开放题如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,只需添加 一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 .(写出 一个即可) B E C (第2题) 3.探究题工人师傅在制作矩形窗框时，分以下三个步骤进行：如图①，先截出两对符合规格 的铝合金窗料，使AB=CD,EF=GH;摆成图②所示的四边形窗框；如图③，将直角尺紧靠窗框 的一个角，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），窗框制作完成.请 根据上面的制作步骤证明此方法的正确性. A(E) 7B(G) A(E) B(G) A(E) B(G) A -B -D E G D(FL C(H D(F C(H D(F C(H ① ③ ⊙ ④ (第3题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 4.[2025武威凉州期末]在菱形ABCD中，E是边AB上一点，连接DE,CE,DE=AD,若∠A= 72°，则∠DEC的度数为 5.[2025沈阳铁西期末]如图，四边形ABCD为正方形，点E在正方形ABCD内部，连接AE,DE, △ADE是等边三角形，过点E作EF⊥AB于点F,若AD=4,求BF的长. (第5题) “答案与解析”见P1 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025常州中考]如图，在菱形ABCD中，AC,BD是对角线，AB=5.若∠ABD=30°，则AC的 长是 () A.4 B.5 C.6 D.10 B 手柄 C ② (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，若点A的坐标为(2√2,3)，则 点C的坐标为 () A.(0,-1) B.(0,-1.5) C.(0,-2) D.(-2,0) 3.舒境1生活卖际图①所示为一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶.如图②，该千斤顶的基本 形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改 变千斤顶的高度（即点A,C之间的距离）.已知AB=36cm,当∠ADC从60°变为120°时，千斤 顶升高了 cm. 4.新考向新定义题定义：若P为四边形ABCD内一点，且满足∠APB十∠CPD=180°，则称P为 四边形ABCD的一个“互补点”. (1)如图①，P为四边形ABCD的一个“互补点”，若∠APD=60°，则∠BPC= (2)如图②，P是菱形ABCD对角线BD上的任意一点（不与点B,D重合），求证：P为菱形 ABCD的一个“互补点”. ① ② (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.数形结合思想[2024甘肃中考]如图①，动点P从菱形ABCD的，点A出发，沿边AB→BC匀速运 动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,PO的长为y,y与x的函数图象如图②所示， 2 注：标“易错题”的设有“易错警示”，标“★”的题目设有“方法归纳”，详见分册“答案与解析”. 第一章特殊平行四边形 当点P运动到BC的中点时，PO的长为 A.2 B.3 C.√5 D.22 (第5题) (第6题) (第7题》 (第8题) 6.*如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,P是AC上的动点，PE⊥AB于点E, PF⊥BC于点F,若AC=8,BD=6,则PE+PF的值为 () A号 B.5 c号 D.10 7.[2025福建中考]如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交 于点E,F.若OA=2,OD=1,则△AOE与△DOF的面积之和为 8.一题多解[2025辽宁中考]如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD= 12,点E在线段OA上，AE=2,点F在线段OC上，OF=1,连接BE,G为BE的中点，连接 FG,则FG的长为 9.如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E,F分别在CA,CB的延长线上，且A,B分别是CE,CF 的中点，连接BE,EF (1)求证：△EFC是等腰三角形 (2)若AC=6,BE=√85，求菱形ABCD的面积 (第9题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 10.在菱形ABCD中，∠BCD=60°，点M在BC上，点N在AC上，且MN=BN. (1)如图①，若AC,BD相交于点O,点N恰好与点O重合，求∠DMN的度数. (2)如图②，当点N在AC上运动时，∠DMN的度数会发生变化吗？请说明理由. ① (第10题) ●“答案与解析”见P1 3第一章特殊平行四边形 1认识特殊平行四边形 4.(1)120°.由题意得∠BPC=360°-180°-60°=120°. (2)连接AP,CP.·四边形ABCD是菱形，.AD=CD, 1,C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A、D选项 错误；有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B选项 ∠ADP=∠CDP.在△ADP与△CDP中， 错误 (AD=CD, 2.答案不唯一，如AB=AD由平移的性质，得AB∥DE, 3∠ADP=∠CDP,.△ADP≌△CDP.∴.∠APD= AB=DE,∴.四边形ABED是平行四边形.又，AB= PD=PD. AD,∴.平行四边形ABED是菱形 ∠CPD.又：∠APB+∠APD=180°，.∠APB+ 3.·AB=CD,EF=GH,∴.四边形ABCD是平行四边 ∠CPD=180°，即P为菱形ABCD的一个“互补点”. 形.BC⊥CD,即∠BCD=90°，.四边形ABCD是 5.C结合图象，得当x=0时，PO=AO=4:当点P运动 矩形. 到点B时，PO=BO=2.四边形ABCD是菱形，∴.CD= 4.54°.：四边形ABCD是菱形，∴.AD=CD,CD∥AB AB,BO=DO,AC⊥BD.,∴.∠AOB=90°..CD=AB= :DE=AD,∠A=72°，∴.DE=CD,∠A=∠DEA= 72°.CD∥AB,∴.∠CDE=∠DEA=72°.DE=DC, √OA+OB=25.当点P运动到BC的中点时，又O ÷∠DBC=∠DCE=号×(180°-729=5 是BD的中点.易得PO的长为2CD=5. 5.四边形ABCD为正方形，∴.AD=AB=4,∠DAB= 6.C过点P作PM⊥CD于点M.:四边形ABCD是菱 90°.又，△ADE为等边三角形，.AE=AD=4,∠DAE= 形，.CD/∥AB,AC⊥BD,OA=2AC,OB=号BD,AC 60∠FAE=30:EF⊥AB,ER=号AE=2. 平分∠BCD.PF⊥BC于点F,.PF=PM..PE .AF=VAE2-EF2=V42-22=23.:.BF=AB- AB于点E,PM⊥CD,CD∥AB,.P,E,M三点共线 AF=4-23」 ∴.PE+PF=PE+PM=ME.,AC=8,BD=6,∴.OA= 2菱形的性质与判定 2X8=4.0B长2×63，AB=V0A+0B® 第1课时菱形的性质 1.B,在菱形ABCD中，AC,BD是对角线，AB=5, ·菱形ABD的面积=AB·EM=号AC·BD5EM .AC⊥BD,AO=CO..∠AOB=90°.∠ABD=30°， X6X&EM=.PE+PF的值为号 1 A0=号AB=营AC=2A0=5 方法归纳 2.A:四边形ABCD是菱形，.AD∥BC..AD 菱形面积问题的求解技巧 OD.A(2√2,3)，∴OD=2√2，AD=3.四边形 由菱形对角线互相垂直的性质，可得菱形的面积等 ABCD是菱形，∴.CD=AD=3.在Rt△ODC中，OC= 于对角线长的乘积的一半，由此可知，对角线互相垂直 √CD2-OD=√32-(22)2=1，∴.C(0,-1). 的四边形的面积都等于对角线长的乘积的一半，此外， 3.(363一36)连接AC,交BD于点O.·四边形 菱形也是平行四边形，其面积也等于底乘高，由此可利 ABCD是菱形，∴.当∠ADC=60时，△ACD是等边三角 1 用等量关系“底X高=2义对角线长的乘积”列方程巧 形.，.AC=AD=CD=36cm.当∠ADC=120°时，·DB 解相关问题 平分∠ADC,AC⊥BD,·∠ADO=2∠ADC=60, 7.1,四边形ABCD是菱形，.DO=BO=1,CD∥ :∠DA0=30.在R△AD0中，0D=号AD=18cm,由 AB.∴.∠ODF=∠OBE,∠OFD=∠OEB..△DOF≌ △BOE.∴.△DOF的面积=△BOE的面积.∴.△AOE与 勾股定理得AO=√AD-OD2=183cm,∴.AC=2AO= 363cm..千斤顶升高了(363-36)cm. △DOF的面积之和=△B0A的面积=号×2X1=1 8.√I3解法一：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相 ∠DBC+∠NBO=60°+a,.MN=BN,.∴.∠NMB= 交于点0.AC=8BD=120A=号AC=4,0B ∠NBM=60°+a.在△NBM中，：∠BNM+∠NMB+ ∠NBM=180°，.∠BNM+60°+a+60°+a=180°. C LBD.AE=2.OE-O ∴.∠BNM=60°-2a.AC⊥BD,∠NBO=∠NDO= 2=2.取OE的中点H,连接GH.,G为BE的中点，H为 a,∴.∠BNO=∠DNO=90°-a.∴.∠MNO=∠BNO- OE的中点，：GH是△EB0的中位线GH-2OB ∠BNM=90°-a-(60°-2a)=30°+a..∠MND= ∠MNO+∠DNO=30°+a+90°-a=120°.：BN=DN, 3,GH∥OB.∴.∠GHE=∠BOA=90°.：OF=1, 六r=0H+0r=专0E+0F=号×2+1=2在 MN BN,MN DN..DMN (180- Rt△GFH中，由勾股定理得GF=√GH+HF= ∠MND)=2×(180-120)=30.②当点N在线段0c √32+2=√13.解法二：在菱形ABCD中，对角线AC 上时，如图②，∠NBM=∠DBC-∠NBO=60°-a, 与BD相交于点O,AC=8,BD=12,AE=2,OF=1, :MN=BN,∴.∠NMB=∠NBM=60°-a.在△NBM .OB=6,OC=4.∴.CE=8-2=6,CF=OC-OF=4- 中，.'∠BNM+∠NMB+∠NBM=180°，.∠BNM+ 1=3.∴F为CE的中点.又：G为BE的中点，∴.GF为 60°-a+60°-a=180°.∴.∠BNM=60°+2a.AC⊥ BD,∠NBO=∠NDO=a,∴.∠BNO=∠DNO=90°-a. △BCE的中位线.BC=√6+4=213，.G=√13. ∴.∠MNC=180°-（∠BNO+∠BNMD=180°-(90°-a+ 9.(1),四边形ABCD是菱形，A,B分别是CE,CF的 中点，∴.AB=BC,AB是△CEF的中位线，CF=2BC 60°+2a)=30°-a.:∠CND=180°-∠DN0=180°- .EF=2AB.∴.EF=CF..△EFC是等腰三角形. (90°-a)=90°+a,∴.∠MND=∠MNC+∠CND= (2)连接BD交AC于点O.:四边形ABCD是菱形， 30°-a+90°+a=120°..：BN=DN,MN=BN..∴.MN= 1 ACLBD,A0=C0=7AC=3,B0=D0.又：AC= DN.∠DMN=2(180°-∠MND)=2×(180°- AE=6,∴.EO=AE+AO=6+3=9.在Rt△BOE中，BE= 120°)=30°.综上所述，当点N在AC上运动时，∠DMN 的度数不会发生变化，始终等于30°. √85，由勾股定理得BO=√BE-O=√/85)-92 2,BD=2B0=4.·.菱形ABCD的面积=2AC·BD= 2×6x4=12 10.(1)当点N恰好与点O重合时，，四边形ABCD是 ① ② 菱形，.BC=CD,OB=OD.∠BCD=60°，，.△BCD (第10题) 是等边三角形.∴.∠CBD=60°.：MN=BN,∴.△BMN 第2课时菱形的判定 是等边三角形.∴.∠BNM=60°.∴.∠DNM=180° 1.C选项A,32十4=52，可推出四边形的对角线互相垂 ∠BNM=120°.又MN=BN,BN=DN,∴.DN= 直，且对角线互相平分，判定四边形是菱形；选项B,四边形 M.∠DMN=号180-∠DNM0=2×I80 的四条边相等，判定四边形是菱形；选项C,四边形的对角 120)=30°.(2)当点N在AC上运动时，∠DMN的度 线互相平分，只能判定四边形是平行四边形，不能判定四 数不会发生变化，始终等于30°.理由：连接BD交AC于点 边形是菱形：选项D,由同旁内角互补，得到四边形的两组 O,连接DN,,·四边形ABCD是菱形，.AC是BD的垂 对边平行，而四边形的邻边又相等，由此可判定四边形是 直平分线..BN=DN.设∠NBO=∠NDO=a,由(1)可 菱形 知，△BCD是等边三角形，∠DBC=60°，依题意有以下两 2.C作图可得AB=AD=BC=DC,.四边形ABCD 种情况：①当点N在线段OA上时，如图①，∠NBM= 是菱形.∴.AD∥BC,∠ABD=∠CBD.由条件可得 2