2.1 认识一元二次方程（第2课时）教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦用“夹逼”思想估算一元二次方程的解，通过回顾开方估算经验与上节课实际问题，衔接已学的一元二次方程概念，搭建“确定范围—列表取值—逐步逼近”的学习支架。 以实际问题驱动探究，通过情境再现、尝试思考等阶梯式活动，培养学生估算意识与逐步逼近的数学思维，如梯子滑动问题中用表格计算缩小解的范围。清晰步骤与实例助力教师突破难点，提升学生分析问题和数学表达能力。

第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程（第2课时） 一 教学目标 1. 基础知识与基本技能： 会用"夹逼"思想估算一元二次方程的解或近似解，能利用表格进行有规律的取值计算。 2. 基本思想与基本活动经验： 经历从实际情境中探索、寻找一元二次方程解的过程，培养估算意识和能力，体会数形结合与逐步逼近的思想。 3. 发现问题与提出问题能力： 能在探究过程中发现问题，提出估算解的方法，感受数学探究的乐趣。 4. 分析与解决问题能力： 能确定方程解的大致范围，用逐渐逼近的方法求得近似解，并能判断解的合理性。 二 教学重点与难点 教学重点： 用"夹逼"思想估算一元二次方程的解，掌握确定范围→列表取值→逐渐逼近的步骤。 教学难点： 确定方程解的大致范围，理解为什么可以用"两边夹逼"的方法逼近精确解。 学情分析： 学生已认识一元二次方程并能化简整理，但还未学习系统的解法，需要通过估算积累对方程解的感性认识。 突破策略： 从学生已有的开方估算经验出发，通过填表、计算、观察的阶梯式活动，引导学生自主发现"夹逼"方法。 三 教学过程 情境再现，初步感知 1. 你能确定 的整数部分吗？你能求出 的近似值吗（结果保留一位小数）？ 2. 上节课我们在实际问题中认识了一元二次方程，那么你能将下列一元二次方程化成一般式吗？ （1） 一般式： （2） 一般式： 你能分别求出方程中 x 的值吗？ 情境再现，初步感知 对于上一课的第一个问题（如图 1），你能设法估计四周未铺地毯的条形区域的宽度 x（单位：m）吗？ （1）x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于2.5吗？说说你的理由。 x 不可能小于 0，不可能大于 4，不可能大于 2.5。理由略。 图 1 （2）你能确定 x 的大致范围吗？ （3）填写下表。 x 0.5 1 1.5 2 (8－2x)(5－2x) 28 18 10 4 （4）你知道所求宽度 x (单位：m)是多少吗？ x ＝1 （5）还有其他求解方法吗？与同伴进行交流。 方法小结 用“夹逼”思想估算一元二次方程的解的步骤： ① 根据方程本身特点以及实际意义确定 x 的大致范围； ② 在范围内对 x 进行有规律的取值，并代入方程左边进行计算求值（可以利用表格直观呈现）； ③ 用逐渐逼近的方法（夹逼法）求得 x 的最小取值范围或具体数值。 尝试·思考 在上一课的问题中（如图 2），梯子底端滑动的距 离 x (单位：m)满足方程 (x＋6)2＋72＝102， 也就是x2＋12x－15＝0。 （1）小明认为底端也滑动了 1m，他的说法正确吗？为什么？ 图 2 不正确。当 x＝1时，x2＋12x－15＝－2≠0，所以 x＝1不是原方程的解。 （2）底端滑动的距离可能是 2m 吗？可能是 3m 吗？为什么？ 不可能。当 x＝2时，x2＋12x－15＝13≠0，所以 x＝2不是原方程的解。 不可能。当 x＝3时，x2＋12x－15＝30≠0，所以 x＝3不是原方程的解。 （3）你能猜出滑动距离 x（单位：m）的大致范围吗？ x 的大致范围是: 1＜x＜2。 （4）x 的整数部分是几？十分位是几？ 小亮求解上述“尝试·思考”问题的过程如下。 x 0 0.5 1 1.5 2 x2＋12x－15 －15 －8.75 －2 5.25 13 所以x 的取值范围是1＜x＜1.5。 进一步计算： x 1.1 1.2 1.3 1.4 x x2＋12x－15 －0.59 0.84 2.29 3.76 x2＋12x－15 所以x 的取值范围是1.1＜x＜1.2。 因此x 的整数部分是 1，十分位是 1。 思考·交流 在上一课的问题中（如图 2），梯子底端滑动的距 离 x (单位：m)满足方程 (x＋6)2＋72＝102，也就是 x2＋12x－15＝0。 图 2 （1）你明白小亮估算一元二次方程的解的想法吗？与同伴进行交流。 （2）如果要把 x 的小数部分精确到百分位，应该怎么做呢？说说你的想法。 新知应用，巩固提升 1. 五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和。这五个整数分别是多少？ 方法一： 解：设五个连续整数中的第一个数为 x， 那么后面四个数依次可表示为 x＋1，x＋2，x＋3，x＋4。 根据题意，得 x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2， 即 x2－8x－20＝0。 x －3 －2 … 9 10 X2－8x－20 13 0 … －11 0 所以 x＝－2或x＝10。 所以，这五个整数分别是－2，－1，0，1，2或10，11，12，13，14。 方法二： 解：设五个连续整数中的中间一个数为 x， 那么其余四个数依次可表示为 x－2，x－1，x＋1，x＋2。 根据题意，得 （x－2)2＋(x－1)2＋x2＝(x＋1)2＋(x＋2)2， 即 x2－12x＝0。 x －3 －2 … 9 10 X2－8x－20 13 0 … －11 0 所以 x＝0或 x＝12。 所以，这五个整数分别是－2，－1，0，1，2或10，11，12，13， 1.你知道为什么要先研究一元二次方程的近似解吗？ 2.你以前有过类似的经历吗？思考一下，哪些问题还可以这样解决？ 3.通过本节课的学习，你在知识技能、思想方法等方面有哪些收获？谈谈你的感想。 当堂检测 1. 一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m。这个苗圃的长和宽各是多少？ 四 板书设计 2.1 认识一元二次方程（第2课时） 1. 夹逼法估算步骤： ① 确定大致范围 → ② 列表取值计算 → ③ 逐渐逼近 2. 示例： (8-2x)(5-2x)=18 → x=1 x²+12x-15=0 → 1.1<x<1.2 3. 五个连续整数问题： 设中间数为x → x²-12x=0 → x=0或x=12 五 知识总结 核心知识点： 用夹逼法估算一元二次方程的解或近似解 数学思想方法： 夹逼思想（逐步逼近）、数形结合、估算意识 知识网络图： 方程 → 确定范围 → 列表取值 → 计算比较 → 缩小范围 → 近似解 易错易混警示： ① 取值时遗漏边界值；② 混淆"方程的解"与"方程的近似解"；③ 忽略实际意义对解的限制 六 课后作业 基础类作业：习题 2.1 第4题； 反思类作业：习题 2.1 第5，7题； 综合类作业：习题 2.1 第8题（并尝试准备一个 5 分钟以内的报告）。 6 学科网（北京）股份有限公司 $