6.2 用频率估计概率&综合与实践6 池塘里有多少条鱼-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第六章概率的进一步认识 用频率估计概率 2 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2024贵州中考]小星通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法 中，正确的是 () A.小星定点投篮1次，不一定能投中 B.小星定点投篮1次，一定可以投中 C.小星定点投篮10次，一定投中4次 D.小星定点投篮4次，一定投中1次 2.易错题[2025贵州中考]某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率， 将同学们获得的试验数据整理如下表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 侧抛掷这枚棋子“正面朝上”的概率约为 3.舒青境生活实际小海、小东、小英分别设计了下列三个模拟试验：小海找来一个啤酒瓶盖（如图 ①)进行大量重复抛掷，然后计算瓶盖口朝上的次数与总次数的比值.小东用硬纸片做了一个圆 形转盘，转盘被分成8个大小一样的扇形区域，并依次标上数字1~8（如图②）.转动转盘3次， 然后计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值.小英在一个不透明的盒子里放了4枚除颜 色外都相同的围棋子（如图③），其中有3枚是白子，1枚是黑子.从中随机同时摸出2枚棋子，并 大量重复上述试验，然后计算摸出的2枚棋子颜色不同的次数与总次数的比值.根据以上内容， 判断小海、小东、小英三人中谁设计的试验比较合理，并简要说出其他两人试验的不足之处， ① ② (第3题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.[2025沈阳于洪期末]一个不透明的口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同.将 口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程， 共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则这个口袋中红球的个数最有可能是 () A.3 B.4 C.6 D.7 5.[2025厦门思明期末]一个不透明袋子中有4个红球、3个紫球、2个黄球和1个绿球，这些球除 颜色外无其他差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋中，通过 121 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 大量重复试验后，某色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是 色 频率 0.30 个频率 0.25 0.40 0.35 0.20 0.15H 61002003004005006007008009001000武验次数 0100200300400500600700试验次数 ① ② (第5题)》 (第6题) 6.[2025济南长清期末]如图①，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（涂色部分），为测算 涂色部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录 该点落在涂色部分的频率数据，结果如图②所示.小亮由此估计涂色部分的面积为 cm2. 7.[2025南昌期末]3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3名同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励. 甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小.”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙 小，但要比甲大.”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的.” (1)哪名同学说得对？请说明理由， (2)把“甲、乙、丙3名同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3名同学重复该 试验2700次，估算甲抽到黑桃多少次. ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 8.[2025洛阳期末]小洛和他的伙伴们设计了一个摸球试验：将1个黑球和若干个白球（球除颜色 外其他均相同)放入一个不透明的口袋，每次搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回.在老 师的帮助下，小洛和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，下表是试验得到的一组统计数据. 摸球的次数n 2000 4000 6000 7000 8000 9000 10000 摸到黑球的次数m 478 1027 1460 1728 2017 2234 2509 摸到黑球的频率” 0.239 0.257 0.243 0.247 0.252 0.248 0.251 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是 .(保留两位小数) (2)估算袋中白球的个数， (3)按照(2)的估算结果，若小洛同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸 出一个黑球一个白球的概率， 122 >“答案与解析”见P75 第六章概率的进一步认识 综合与实践6池塘里有多少条鱼 1.在固定区域内用捕鼠笼捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕鼠笼 捕捉了80只田鼠，其中有16只是被标记的，请估算该区域田鼠的数量。 2.某研究小组考查了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题： 年龄 A B C D 个体条数 92 187 y 注：表中A表示鱼的年龄0~1岁，B表示年龄2~3岁，C表示年龄4~5岁，D表示年龄6~ 7岁 (1)年龄为A,B,C的个体条数的平均数为125，年龄为A,B,C,D的个体条数的中位数是95，则 x ,y= (其中92<y<96). (2)若将年龄为D的鱼全部标记后并放回湖泊，充分混合后，捕捉120条鱼，其中被标记的鱼有 12条，则该湖泊里一共约有多少条鱼？ (3)现捕获A,B,C,D年龄段的鱼各一条，从中任抓两条，请用列表或画树状图的方法求抓到的 是A和C年龄的鱼的概率. “答案与解析”见P76 123微专题·概率中的放回与不放回问题 1 1. 设3个社团分别为A(书法)，B(篮球)，C(美 术)，小明和小亮各随机选择一个社团，列表如下，共有 9种等可能的结果，其中两人选择同一个社团的结果有 3种，“.两人选择同一个社团的概率为号=3 31 A B C A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 2.15 由题意，画树状图如图所示.由树状图，可知共 有30种等可能的结果，其中恰好是字母相同的两张卡 片的结果有4种，∴.从中随机抽取2张，恰好是字母相 同的两张卡片的凝率为动一品。 开始 (第2题) 3.(1)用表格列出所有可能的结果： 红 白 蓝1 蓝2 红 红、红 白、红 蓝1、红 蓝2、红 白 红、白 白、白 蓝1、白蓝2、白 蓝1 红、蓝1 白、蓝1蓝1、蓝1蓝2、蓝1 蓝2 红、蓝2白、蓝2 蓝1、蓝2蓝2、蓝2 由表格可知，共有16种可能出现的结果，并且它们都是 等可能的，其中“两次摸到相同颜色的球”的结果有 6种概率为 (2)列表如下： 红 白 蓝1 蓝2 红 白、红 蓝1、红 蓝2、红 白 红、白 蓝1、白 蓝2、白 蓝1 红、蓝1 白、蓝1 蓝2、蓝1 蓝2 红、蓝2 白、蓝2 蓝1、蓝2 由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是 等可能的，其中“两次摸到的球的颜色能配成紫色”的结 果有4种，“.概率为3 2用频率估计概率 1.A用频率估计概率可知，小星定点投篮1次，不一定能 投中 2.0.55 当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数足够 大时，频率稳定在0.55，所以抛掷这枚棋子“正面朝上”的 概率约为0.55 易错警示 用频率估计概率的注意事项 一般地，在大量重复试验中，某个事件发生的频率 会稳定于概率附近，因此可以利用频率估计概率。一般 用试验次数最多时的频率估计概率，注意不能利用频率 的平均值估计概率】 3.小英设计的模拟试验比较合理.小海选择的瓶盖质地不 均匀：小东试验的次数太少，没有进行大量重复试验， 4D估计这个口袋中红球的数量为10×阅7个， 5.黄观察统计图可知，该球的频率稳定在0.20左右， ∴.估计抽到该球的概率为0.20.，球的总数为4+十3十2+ 1=10(个)，抽到红球的概率为0.4，抽到紫球的概率为 0.3,抽到黄球的概率为0.2，抽到绿球的概率为0.1，∴.该 球的颜色最有可能是黄色， 6.22.4根据题中折线统计图可得，随着试验次数的增 加，投放点落在不规则图案上的频率稳定在0.35左右，于 是把0.35作为概率.∴.估计涂色部分的面积为0.35×8× 8=22.4(cm2). 7.(1)丙说得对.理由：设3张扑克牌为A,B,C,其中A为 黑桃，画树状图如图所示.由树状图，可知所有等可能出现 的结果有6种，其中甲得到奖励的结果有2种，P甲中奖= 3:乙得到奖励的结果有2种，P2=了；丙得到奖励 1 的结果有2种，P两奖，=3·因此得到奖励的概率与抽取 顺序无关，先抽的人与后抽的人得到奖励的概率相同. (2)估算甲抽到黑桃2700× 1 =900(次)」 开始 甲 之 丙 CA B (第7题) 75 8.(1)0.25.(2)设袋中白球有x个，则球的总个数为 (.x十1).根据题意，得0.25(1十x)=1,解得x=3,∴.袋中 白球的个数为3.(3)列表如下： 第一次 黑 白 白 白 第二次 黑 (黑，白) (黑，白) (黑，白) 夕 (白，黑) (白，白) (白，白) 白 (白，黑) (白，白) (白，白) 白 (白，黑) (白，白) (白，白) 由表可知有12种等可能的结果，其中摸出一个黑球一个白球 的结果有6种，故摸出一个黑球一个白球的概率为2=2： 61 综合与实践6池塘里有多少条鱼 1.该区域田鼠的数量约为40÷8 6=200(只). 2（4①96：94.由题意知，92+187+工=125.解得x= 3 96,则十96=95，解得y=94.(2)设该湖泊里一共约有 2 ”条鱼.根据题意，得0品解得m=940经检验m 940是原方程的解..该湖泊里一共约有940条鱼. (3)画树状图如图所示.由树状图，可知共有12种等可能 的结果，其中抓到的是A和C年龄的鱼的结果有2种， 21 “抓到的是A和C年龄的鱼的概率为2=6： 开始 B (第2题) 第六章拔尖自主测评 1.D由表格估计，石子落在空白部分的概率为0.64 .矩形的面积为400cm,.估计空白部分的面积为 400×0.64=256(cm). 2.A把以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题 的三款文创产品分别记为A,B,C,列表如下，共有9种等 可能的结果，其中甲、乙两名同学同时抽到“亚醜钺”文创 产品的结果有1种，∴.甲、乙两名同学同时抽到“亚醜钺” 文创产品的概率是日 A B C A (A,A) (B,A) (C,A) B (A,B) (B,B) (C,B) C (A,C) (B,C) (C,C) 3.B画树状图如图所示.由树状图，可知共有4种等可能 的结果，其中该赛车从H口驶出的结果有1种，∴.该赛车 从H口驶出的概率为4： 开始 G H (第3题) 4.C用A,B,C,D分别表示祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得 4位著名数学家，画树状图如图所示.由树状图，可知共有 12种等可能的结果，其中选取的2位都是中国数学家的结 果有6种一选取的2位都是中国数学家的气率一吕一令。 开始 BCD ACD ABD ABC (第4题) 5.A将S,S2,S分别用1,2,3表示.画树状图如图所 示.由图，可知共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的 结果有4种·灯泡能发光的概率为4=号 63 开始 3131 2 (第5题) 6.C三张图片上、中、下三段分别表示为A,a,1;B,b,2; C,c,3.画树状图如图所示.由图，可知共有27种等可能的 结果，其中这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果 有3种.∴.这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率